本應(yīng)用筆記解釋了一種使用積分器模塊和一些簡單的數(shù)學操作來產(chǎn)生任意階次濾波器響應(yīng)的方法。該方法精確，易于應(yīng)用，并且在需要非標準濾波器響應(yīng)時可替代“標準”濾波器網(wǎng)絡(luò)集。

介紹

關(guān)于標準濾波器響應(yīng)的設(shè)計和實現(xiàn)，已經(jīng)發(fā)表了許多文獻和軟件。當需要非標準濾波器響應(yīng)時，通常由電路設(shè)計人員使用自己的“標準”濾波器網(wǎng)絡(luò)集來生成解決方案。但是，這種方法還有另一種選擇，該方法精確，易于應(yīng)用，并使用積分器塊和一些簡單的數(shù)學操作來生成任何階次的濾波器響應(yīng)。

濾波器設(shè)計方法

該系統(tǒng)使用簡單的運算放大器積分器模塊，其示例如圖1所示。該方法可應(yīng)用于連續(xù)時間和開關(guān)濾波器（例如開關(guān)電容濾波器）設(shè)計。

圖1.基于運算放大器的（線性）積分器電路模塊和符號表示。

圖1中積分器的傳遞函數(shù)及其符號表示如圖2中的表達式所示。該電路對輸入電壓的響應(yīng)（輸出）以每倍頻程6dB的速率隨頻率而減小增益，單位增益以赫茲為單位的頻率為1/2πCR。

圖2.圖1中積分器電路模塊的傳遞函數(shù)。

該技術(shù)的應(yīng)用

設(shè)計過程從所需的濾波器傳遞函數(shù)開始。圖3中的公式表示二階低通濾波器響應(yīng)，將用于說明。該技術(shù)可用于任何濾波器類型，并且易于擴展到高階系統(tǒng)。

圖3.具有低通響應(yīng)的二階濾波器的傳遞函數(shù)。

然后將一系列數(shù)學步驟應(yīng)用于傳遞函數(shù)，以獲得以下形式的表達式：

VOUT = ?(VIN, VOUT, 1/S)

請注意，結(jié)果表達式中的所有頻率相關(guān)項（出現(xiàn) S）都必須出現(xiàn)在分母項中。這是因為最終電路將由積分器組成，即1/S的功能。需要三個基本的數(shù)學步驟。每個階段獲得的表達式如下。

第 1 步。交叉乘法得到

S2 × VOUT + ω0/q × S × VOUT + ω02 × VOUT = ω02 × VIN

第 2 步。除以 S 的最高冪得到

VOUT + [(ω0/q) × VOUT]/S + (ω02 × VOUT)/S2 = ω02 × VIN/S2

第 3 步。重新排列以獲取 V 的表達式外

VOUT = VIN × (ω02/S2) - VOUT × (ω02/S2) - VOUT × [(ω0/q)/S]

步驟3中產(chǎn)生的方程現(xiàn)在是將執(zhí)行所需濾波功能的積分器模塊網(wǎng)絡(luò)的定義方程。

剩下的兩個設(shè)計步驟有些直觀，但規(guī)則很簡單。首先，生成集成器網(wǎng)絡(luò)圖。這使用許多積分器和求和節(jié)點來生成由步驟 3 中的定義方程描述的網(wǎng)絡(luò)。要生成此網(wǎng)絡(luò)，首先要考慮定義方程的形式。這表示輸出電壓（V外） 就 V 的功能而言外和 V在，其中每個函數(shù)都是一個或多個積分器項的乘積。

從左到右考慮這些項，第一項是VIN和兩個積分器級（1/S2）的函數(shù)。因此，信號VIN必須通過兩個積分器模塊，然后才能出現(xiàn)在VOUT上。生成圖表的第一步是繪制VIN碼，為兩個串聯(lián)的積分器模塊供電，第二個積分器的輸出連接到VOUT。第二項也是兩個積分器級的函數(shù)，但這次積分器模塊從VOUT信號饋電。此外，前兩項的1/S2系數(shù)相同，為ω02，因此使前兩項的源電壓共享一條通往輸出的公共路徑是合理的。因此，求和結(jié)插入到第一個積分器級之前，并通過與VIN和VOUT的連接提供。方程的第三項是VOUT和單個積分器級的函數(shù)。為了說明這一點，VOUT還必須饋送到第二個積分器模塊的輸入端。這是通過插入第二個求和結(jié)來完成的，這次是在第二個積分器塊之前，輸入來自第一個積分器塊和 V外.

要完成網(wǎng)絡(luò)，必須為每個求和結(jié)輸入分配正確的符號（反相或同相）。圖1所示積分器的傳遞函數(shù)形式為-1/ST，因此積分器模塊將內(nèi)置信號反轉(zhuǎn)。符號被分配給從輸出返回到輸入的求和交匯點。步驟 3 等式中的第三項表明來自 V 的反饋路徑外通過第二個求和結(jié)和第二個積分器，然后回到 V外應(yīng)該是反轉(zhuǎn)的。由于積分器已經(jīng)包含反轉(zhuǎn)，因此從 V 到第二個求和結(jié)的輸入外應(yīng)該是同相的。通過類似的分析可以看出，由于定義方程的第一項是正數(shù)，因此從 V 開始的路徑在到 V外應(yīng)該是同相的。由于兩個積分器都反轉(zhuǎn)信號，因此如果第一和第二求和結(jié)的輸入，即來自V在和第一個積分器模塊分別是同相的。請注意，如果兩個輸入都反相，這也適用。然而，正如我們將在最終設(shè)計階段看到的那樣，簡單積分器電路的自然形式是同相求和結(jié)，然后是反相積分器。積分器圖是通過將一個符號分配給最終求和結(jié)輸入來完成的，該輸入來自 V外到第一個求和交匯點。這是由定義方程中的第二項給出的，該項為負數(shù)。由于通過兩個積分器的路徑是同相的，因此必須將所需的反演置于信號輸入端，以便從V進行第一次求和外.步驟 3 定義方程的結(jié)果網(wǎng)絡(luò)如圖 4 所示。

圖4.積分器網(wǎng)絡(luò)表示步驟 3 的定義方程。

積分器時間常數(shù)，T1和 T2現(xiàn)在可以分配。從積分器網(wǎng)絡(luò)中，對定義方程的第三項的推導和分析，我們發(fā)現(xiàn)：

-ω0/qS = -1/ST2 → T2 = q/ω0

同樣，從定義方程的第一項和第二項中，我們發(fā)現(xiàn)：

ω02/S2 = 1/S2T1T2 → T1 = 1/ω02T2 = 1/ω0q

ω 的值0然后選擇 q 和時間常數(shù) T1和 T2計算方法如下：

最后一步是將圖4所示的積分器網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換為運算放大器/電阻/電容電路。標準反相運算放大器積分器模塊由運算放大器、反饋電容和輸入電阻組成，相當于單個（同相）求和節(jié)點，后跟一個（反相）積分器。然后，通過在運算放大器積分器模塊中添加更多輸入電阻來容納多個輸入求和節(jié)點。

圖5所示電路為所得有源濾波電路，由圍繞MAX4322運算放大器構(gòu)建的運算放大器積分模塊構(gòu)成。為 R 給出的值1/ 12， C1和 C2T的產(chǎn)生值分別為14.96μs和7.05μs。濾波器的增益響應(yīng)如圖6所示。

注意向 IC 反饋的技巧1.要嚴格再現(xiàn)圖2中的網(wǎng)絡(luò)，需要在第一個求和節(jié)點的反饋中放置一個逆變器。應(yīng)用來自 V 的反饋外到IC的同相輸入1在IC的輸出端產(chǎn)生信號1的 （V外+ V外/圣1），提供必要的積分輸出以及從 V 施加的信號的副本外到第二個求和節(jié)點。刪除第二個求和節(jié)點的反饋路徑可恢復(fù)正確的傳遞函數(shù)。

圖5.圖2中積分器網(wǎng)絡(luò)的電路實現(xiàn)。

圖6.濾波器的增益響應(yīng)如圖5所示。

上述示例可以使用簡單的雙通道運算放大器IC和少量無源元件來實現(xiàn)。在考慮高階系統(tǒng)的情況下，通過使用多級濾波器IC，可以大大簡化整體設(shè)計任務(wù)。這類元件的兩個例子是MAX274/MAX275。這些器件分別提供基于一系列積分器模塊的四階和八階連續(xù)時間濾波。這些器件的濾波時間常數(shù)僅由外部電阻值定義，因為每個積分器級的反饋電容均在片內(nèi)提供。

如果設(shè)計人員希望濾波器設(shè)計具有更高程度的可編程性，那么開關(guān)電容濾波器方法可能很合適。提供開關(guān)電容構(gòu)建模塊IC，可通過可編程時鐘或電阻進行調(diào)整。某些器件還具有微處理器接口功能。MAX260和MAX268系列開關(guān)電容濾波器構(gòu)建模塊IC為尋求可編程濾波功能的人士提供了全方位的控制方法。

這里描述的設(shè)計過程功能強大且用途廣泛。它幾乎可以應(yīng)用于任何有源濾波要求和任何順序的功能。此外，由此產(chǎn)生的簡單集成器模塊的實現(xiàn)簡化了組件的選擇和公差問題。一些有源濾波器實現(xiàn)加劇了基本元件容差的影響，而積分器方法產(chǎn)生的基本容差敏感性與無源LCR濾波器電路相同的基本容差敏感性。此外，運算放大器帶寬變化的影響相對容易計算，因為每個積分器模塊的（所需）單位增益帶寬只需由1/T rad/s = 1/2πRC Hz給出。

審核編輯：郭婷