本文介紹如何設計模擬濾波器。它首先介紹了濾波器的基本原理，然后介紹了巴特沃斯、切比雪夫和貝塞爾等基本類型，然后引導讀者完成低通和高通濾波器的設計過程。包括方程的推導和電路實現。

一個小部落，在茂密的荒野中，受到周圍平原獵頭者的追捧。這片土地以其深奧的專業知識而聞名于世，這是模擬工程師的部落，他們居住在左半平原最遠的地區，經過拉普拉斯的叢林。

模擬工程師的大師是模擬濾波器設計師，他坐在王國的寶座上并傳授智慧。你永遠見不到他，即使有預約，你叫他“先生”。

在大多數關于濾波器設計的書籍中發現的無數頁方程式可能會嚇到小型犬和數字設計師。本文為實際工程師掃清了道路，揭開了濾波器設計的奧秘，使您能夠以最少的數學運算快速設計連續時間模擬濾波器。

模擬電子學理論

模擬電子學有兩個不同的方面：學術機構教授的理論（穩定性方程、相移計算等），以及大多數工程師熟悉的實用方面（通過使用電容器調整增益等來避免振蕩）。不幸的是，濾波器設計完全基于長期建立的方程和理論結果表。根據理論方程設計濾波器可能很困難。因此，此討論采用最少的數學運算 - 要么將理論表轉換為實際組件值，要么推導通用濾波器的響應。

基本原理

簡單的RC低通濾波器具有傳遞函數：

級聯這種濾波器在傳遞函數的分母中產生二次方程，使響應復雜化。因此，任何二階低通濾波器的傳遞函數分母為如2+ BS + C.a、b 和 c 的代入值決定了濾波器在頻率上的響應。任何記得高中數學的人都會注意到，對于等式給出的某些“s”值，上述表達式等于零：

在這個二次方程等于零的“s”值處，傳遞函數理論上具有無限增益。這些值決定了每種類型的濾波器在頻率范圍內的性能，稱為二次方程的極點。極點通常成對出現，以復數 （a + jb） 及其復共軛 （a - jb） 的形式出現。術語 jb 有時為零。

具有無限增益的傳遞函數的想法可能會嚇到緊張的讀者，但實際上這不是問題。極點的實部“a”表示濾波器如何響應瞬變，其虛部“jb”表示頻率范圍內的響應。只要這個實部為負數，系統就是穩定的。以下文本解釋了如何將許多教科書中的極點表轉換為適合電路設計的元件值。

過濾器類型

最常見的濾波器響應是巴特沃斯、切比雪夫和貝塞爾類型。還有許多其他類型可用，但 90% 的應用程序都可以通過這三種類型之一來解決。巴特沃斯可確保通帶中的平坦響應和足夠的滾降率。巴特沃茲濾波器是一個很好的“多面手”，易于理解，適用于音頻處理等應用。切比雪夫的滾降要陡峭得多，但通帶紋波使其不適合音頻系統。它優于通帶僅包含一個目標頻率的應用（例如，通過濾除諧波從方波導出正弦波）。

貝塞爾濾波器在整個輸入頻譜上提供恒定的傳播延遲。因此，將方波（由基波和許多諧波組成）應用于貝塞爾濾波器的輸入會產生沒有過沖的輸出方波（所有頻率延遲相同量）。其他濾波器將諧波延遲不同的量，導致輸出波形過沖。另一種流行的濾波器，橢圓型，是一個更復雜的濾波器，本文不會討論。與切比雪夫響應類似，它在通帶中具有紋波，并以阻帶中的紋波為代價出現嚴重的滾降。

標準過濾器塊

通用濾波器結構（圖1a）允許您通過用電容或電阻代替元件G1至G4來實現高通或低通實現?？紤]到這些元件對運算放大器反饋網絡的影響，通過將G2/G4制成電容，將G1/G3制成電阻，可以很容易地得到一個低通濾波器。（執行相反的操作會產生高通實現。

圖1.通過在通用濾波器模塊 （a） 中替換 G1 到 G4，可以實現低通濾波器 （b） 或高通濾波器 （c）。

低通濾波器的傳遞函數（圖1b）為：

這個方程在電導下更簡單。更換電導為 sC 的電容器和電導為 G 的電阻。如果這看起來很復雜，您可以“規范化”等式。將電阻設置為等于1Ω或電容器等于1F，并更改周圍的元件以適應響應。因此，當所有電阻值均等于1Ω時，低通傳遞函數為：

該傳遞函數描述通用二階低通濾波器的響應?，F在，我們采用描述三個主要濾波器響應的極點理論表，并將它們轉換為實際分量值。

設計過程

要確定所需的濾波器類型，應使用上述說明來選擇所需的通帶性能。確定濾波器階數的最簡單方法是設計一個二階濾波器級，然后根據需要級聯它的多個版本。檢查結果是否給出了所需的阻帶抑制，然后繼續使用正確的極點位置，如附錄中的表格所示。一旦確定了極點位置，就可以很快計算出組件值。

首先，將每個極點位置轉換為類似于通用二階濾波器分母中的二次表達式。如果二次方程的極點為 （a ± jb），則它的根為 （s - a - jb） 和 （s - a + jb）。當這些根相乘時，得到的二次表達式為s2- 2as + a2* C2.

在極點表中，“a”總是負數，因此為方便起見，我們聲明 s2+ 2as + a2* C2并使用“a”的大小，而不考慮其符號。為了將其付諸實踐，請考慮一個四階巴特沃茲濾波器。每個極點位置對應的極點和二次表達式如下：

您可以使用此信息設計四階巴特沃茲低通濾波器。只需將上述二次表達式中的值代入等式 4 的分母即可。因此，第一個濾波器中的 C4C2 = 4 和 1C2 = 4.1，這意味著 C8478 = 4.0F 和 C9239 = 2.1F。對于第二個濾波器，C08C2 = 4 和 1C2 = 4.0，這意味著 C7654 = 4.0F 和 C3827 = 2.2F。兩個濾波器中的所有電阻等于61Ω。級聯這兩個二階濾波器會產生滾降頻率為1rad/s的四階巴特沃茲響應，但無法找到分量值。如果上述頻率或分量值不合適，請繼續閱讀。

碰巧的是，如果保持電抗與電阻的比值，電路響應保持不變。因此，您可以選擇1kΩ電阻。為確保電抗與電阻成相同比例增加，請將電容值除以 1000。

我們仍然有完美的巴特沃斯響應，但不幸的是滾降頻率是1rad / s。為了改變電路的頻率響應，我們必須保持電抗與電阻的比率，但只是在不同的頻率上。對于1kHz而不是1rad/s的滾降，電容值必須進一步降低2倍π×1000。因此，電容器的電抗直到更高的頻率才會達到原始（歸一化）值。得到的具有4kHz滾降的四階巴特沃茲低通濾波器如圖1所示。

圖2.這兩個不相同的二階濾波器部分構成了一個四階巴特沃茲低通濾波器。

使用上述技術，您可以通過級聯二階濾波器獲得任何偶數階濾波器響應。但請注意，四階巴特沃茲濾波器不是簡單地通過計算二階濾波器的分量然后級聯兩個這樣的級來獲得的。必須設計兩個二階濾波器，每個濾波器具有不同的極點位置。如果濾波器的階數為奇數，您可以簡單地級聯二階濾波器并添加RC網絡以獲得額外的極點。例如，紋波為2dB的4階切比雪夫濾波器具有以下極點：

為了確保與等式4描述的通用濾波器一致，并確保最后一項等于單位，前兩個二次元乘以一個常數。因此，在第一個濾波器中，C2C4 = 2.488 和 2C4 = 1.127，這意味著 C4 = 0.5635F 和 C2 = 4.41F。對于第二個濾波器，C2C4 = 1.08 和 2C4 = 0.187，這意味著 C4 = 0.0935F 和 C2 = 11.55F。

早些時候，研究表明，當 1 + sCR = 0 時，RC 電路有一個極點：s = -1/CR。如果 R = 1，則要在 s = -0.28 處獲得最終極點，您必須設置 C = 3.57F。使用1kΩ電阻，可以歸一化1kHz滾降頻率，如圖3所示。因此，設計人員可以大膽地設計任何頻率下任何階次的低通濾波器。

圖3.5階、1dB紋波切比雪夫低通濾波器由兩個不相同的二階部分和一個輸出RC網絡構成<

所有這些理論也適用于高通濾波器的設計。已經表明，一個簡單的RC低通濾波器具有傳遞函數：

類似地，一個簡單的RC高通濾波器具有傳遞函數：

歸一化這些函數以與歸一化極點表相對應，低通的TF = 1/（1 + s），高通的TF = 1/（1 + 1/s）。

請注意，高通極位置“s”可以通過反轉低通極位置來獲得。將這些值插入高通濾波器模塊可確保正確的頻率響應。為了獲得高通濾波器模塊的傳遞函數，我們需要回到低通濾波器模塊的傳遞函數。因此，從

我們通過互換電容器和電阻來獲得等效高通濾波器模塊的傳遞函數：

同樣，如果對電容器而不是電阻進行歸一化，生活會簡單得多：

公式9是高通濾波器模塊的傳遞函數。這一次，我們計算電阻值而不是電容值。給定一般高通濾波器響應，我們可以通過反轉低通極點位置并像以前一樣繼續得出高通極點位置。然而，反轉一個復雜的極點位置說起來容易做起來難。例如，考慮前面討論的五階5dB紋波切比雪夫濾波器。它在 （-1.0 ± j2265.0） 處有兩個極點位置。

反轉復數的最簡單方法是乘除復共軛，從而在分子中獲得一個實數。然后，通過反轉分數找到倒數，如下所示：

反轉此表達式會產生極點位置，然后可以將其轉換為相應的二次表達式，并像以前一樣計算值。結果是：

根據公式2，我們可以計算出第一個濾波器元件值，即R2R4 = 0.401和2R2 = 0.453，這意味著R2 = 0.227Ω和R4 = 1.77Ω。然后可以對其他極點位置重復此過程。

由于已經表明s = -1/CR，因此更簡單的方法是使用合適的低通極點設計低通濾波器，然后將濾波器中的每個極點視為單個RC電路。要反轉每個低通極點以獲得相應的高通極點，只需反轉CR的值即可。一旦獲得高通極點位置，我們就可以通過插入電容器和電阻來確保正確的頻率響應。

計算低通實現的歸一化電容值，假設R = 1Ω。因此，CR的值等于C的值，C的值的倒數是高通極點。將此極點視為 R 的新值可生成適當的高通分量值。

再次考慮五階、5dB紋波切比雪夫低通濾波器，計算出的電容值為C1 = 4.0F和C5635 = 2.4F。要獲得等效的高通電阻值，請將C的值反轉（以獲得高通極點位置），并將這些極點視為新的歸一化電阻值：R41 = 4.1和R77 = 2.0。此方法提供的結果與前面提到的更正式的方法相同。

因此，現在可以通過反轉歸一化電容值、插入電阻和電容并相應地縮放值，將圖3電路轉換為具有1kHz滾降的高通濾波器。早些時候，我們除以 2πfR 來規范化低通值。在這種情況下，比例因子為 2πfC，其中 C 是電容器值，f 是以赫茲為單位的頻率。得到的電路如圖 4 所示，SPICE 仿真顯示了每個濾波器輸出端的預期特性（圖 5）。

圖4.圖3電路中的電阻和電容轉置產生一個5階、1dB紋波切比雪夫高通濾波器。

圖5.這些SPICE輸出模擬高通和低通切比雪夫電路的響應。

結論

使用上述方法，您可以設計具有任何頻率響應的低通和高通濾波器。帶通和帶阻濾波器也可以使用類似于所示的技術來實現（使用單個運算放大器），但這些應用超出了本文的范圍。但是，您可以通過級聯低通和高通濾波器來實現帶通和帶阻濾波器。

審核編輯：郭婷