這一期接著聊連續時間的傅里葉分析，主要內容如下。

1、大牛傅里葉的簡介；

2、傅里葉級數到傅里葉變換的轉換過程；

3、周期信號的傅里葉變換表示；

4、卷積和乘法在時域及頻域的對偶關系。

上一期，我們講到了連續時間周期信號的傅里葉級數展開。傅里葉的名字可謂聲名遠播，是個不得不聊的人物。

約瑟夫·傅里葉(1768-1830)，法國數學家，物理學家。一生富有傳奇色彩。兒時淪為孤兒，長大后，扛過槍，當過地方行政長官，出將入相。又那么熱愛學習。在研究熱傳導問題時，于1811年，通過論文《熱的傳播》提出了任一函數可以展開成三角函數的無窮級數，也就是上一期中關于傅里葉級數的內容，積分變換基礎。

1822年，出版專著《熱的解析理論》將三角函數級數的理論一般化。將周期信號推廣到更一般的信號，更系統地總結歸納為傅里葉分析。

根據時域信號的表現的不同特點（連續或離 散 ，周期或 非周期 ），傅里葉分析有不同的類型，不同的叫法以示區別，如圖1所示。這里也看到了時域和頻率的對偶性（Duality）。這期還是先討論連續時間類型，對于離散情況，后續會專門總結。

圖1

傅里葉變換可以認為是對傅里葉級數結論的一般化推廣過程，這里先給出兩個動圖說明這個趨近過程。其中圖2是上一篇(積分變換基礎中講到的定義在區間[-1,1]的三角波，周期T=2。隨著周期T增加，并趨近于+∞，信號就等效為單周期的三角波（其他定義域的值都為零）。

圖2

當周期T增加時，其傅里葉級數ak和周期T乘積的變化過程如圖3中藍色的離散幅值，紅色為akT的包絡線。至于為什么是akT的乘積，我們先留個疑問。

圖3

圖2和3可以看到，當周期T增加時，時域信號越來越稀疏，而其傅里葉級數的頻譜卻越來越密集。直覺相信，在極限情況下，其終極形態就是 紅色的包絡線函數 。

下邊試著從極限的角度，理清如何將周期信號傅里葉級數轉化為非周期信號的 傅里葉變換 。

圖4

圖4重新給出了周期為T的周期信號圖4(a)和其極限情況，僅定義在-T/2和T/2區間的非周期信號圖4(b)。

圖4(a)周期信號的傅里葉級數系數如圖5。通過變形，注意和定義函數 X(jω) 的關系。 X(jω) 就是akT的包絡線函數。

圖5

我們再看看圖4(a)周期信號的傅里葉級數表示。利用圖5的包絡線函數 X(jω) 定義，可以看到圖6中的階梯型面積之和。極限情況下，等于被積函數 X(jω)e^(j ωt ) 和ω軸形成面積。

圖6

把傅里葉變換對重寫如圖7所示。時域信號x(t)的表示從周期信號的 線性累加 ，變成非周期信號的積分表示形式。注意其傅里葉變換實際上是 復變函數 ，自變量為jω，僅僅位于復平面的虛軸上。函數值也為復數形式，同時包含了幅度和相位的信息復合形式。

圖7

注意傅里葉變換 X(jω) 的積分結果收斂存在，同樣需要滿足狄利克雷條件。

針對時域一般信號，通過傅里葉變換對，將信號從時域和頻域緊密的聯系在一起，建立了人們認識問題的新角度。從頻域分析去解釋問題也能夠很好的符合人們實驗觀測的結果。使傅里葉變換在現代眾多技術領域中得到廣泛應用。

我們希望能夠將傅里葉變換推廣到更寬的適用范圍。就必須解釋和回答第三個問題，周期信號如何用傅里葉變換來表示？

如圖8所示，首先考慮頻域中位于頻率點（ kω0 ）處的單位沖激函數。單位沖激函數（出于傅里葉級數的頻譜是離散頻率點的若干值，所以考慮頻域的單位沖激函數）的傅里葉反變換對應的時域信號應該是什么樣的。

圖8

圖8中可給出了周期信號的傅里葉變化表示，是在k次諧波位置，為ak乘2π的離散頻譜形式。(注意2πak****也是包含了幅度和相位的符合信息，也就是說是復數形式)

從時域和頻域不同角度分析，就像觀察硬幣的正反面。雖然觀測角度不同，事物本質上是一致的。就像歷史上人們對電磁波的認識過程，到底是“波”還是“粒子”，是人們對電磁波“波粒二象性”不同角度的觀測結果。

圖9

就像我們對聲音的理解一樣，物體的振動產生聲音。不同的樂器，根據同樣的樂譜，都能演奏出近乎一樣的樂曲（音色有各自的特色）。實際感受到的是悅耳動聽的音樂（時域）。樂譜就算是從頻域記錄音樂的方式。

傅里葉變換中兩個重要到不能再重要的關系，值得我們重點回顧一下，卷積和 乘法 。兩者之間的相互轉換的近似性關系稱之為 對偶性（Duality） 。

圖10

我們知道，時域卷積是信號與系統的基礎概念，時域中，需要通過卷積運算計算系統響應。相信很多人，都知道卷積這概念，要真是讓大家通過卷積來推導一下時域中系統響應。估計還是要撓撓頭皮的。相反，時域的卷積運算映射到頻域，仿佛一下子就降級到了只需要小學生的運算能力了，即乘法。從而大幅度降低運算復雜性，也符合我們一貫懶惰的本性。

轉換為頻域乘法，一個簡單概念為濾波器。從頻域角度描，對不同頻率分量的幅度和相位進行需要的衰減和增強等操作。

另一個就是時域的乘法，映射到頻域為卷積運算，貌似變復雜了。

其實在通信領域，時域乘法具有重要的意義。為了提高通信過程中傳遞信息的效率和距離。通常會將有用信息調制（Mixer乘法器）到高頻率的載波上，便于信息的傳遞。接收端接收后，又需要把有用信息摘出。（原諒我這非專業人士的蹩腳描述）。其頻域解釋就是頻譜搬移，將有用信號從低頻搬移到高頻載波上。

如圖11，在高中的三角函數的學習過程中。比如說“積化和差”，如果把角度換做角頻率。我們仔細再思考一下，肯定會會心一笑。這就是最基礎的模擬調制方式，調幅（amplitude modulation）。

圖11

再舉一個例子，在后續回顧離散傅里葉變換（DTFT）時，也會看到為避免時域信號周期延拓后出現頻譜泄露，需要對時域采樣加 "窗函數" 。這也是一個在時域做乘積的例子，到時候，我們再仔細思考。

關于傅里葉變換的各種性質這里就不詳細介紹了，大家還是翻翻書，多記多用才行。