使用信賴域法求解無約束優化問題

在 MATLAB 中，可以使用 fminunc 函數來求解無約束優化問題，其中包括信賴域法。fminunc 函數的使用方法非常靈活，可以通過修改參數來指定不同的算法、梯度計算方法等。

以下是一個使用信賴域法求解無約束優化問題的簡單示例：

假設有以下無約束優化問題：

下面是 MATLAB 的代碼實現：

%定義目標函數和梯度函數
f=@(x)(x(1)-1)^2+x(2)^2;
grad_f=@(x)[2*(x(1)-1);2*x(2)];

%定義初始點和參數
x0=[0;0];
options=optimoptions('fminunc','Display','iter','Algorithm','trust-region');

%調用fminunc函數進行優化
[x,fval,eflag,output,grad,hessian]=fminunc(f,x0,options);

在上面的代碼中，首先定義了目標函數 f 和梯度函數 grad_f，然后調用 fminunc 函數來求解優化問題。需要注意的是，信賴域法需要計算 Hessian 矩陣，因此需要將 fminunc 函數的輸出參數中的 Hessian 矩陣 hessian 提取出來。如果不需要計算 Hessian 矩陣，可以通過將 fminunc 函數的參數 'Hessian','off' 來禁用 Hessian 計算。

信賴域法還有一些其他的參數可以調整，例如信賴域半徑、最大迭代次數、收斂容限等。我們可以通過修改 options 結構體中的參數來指定不同的值。在上面的代碼中，我們指定了 Algorithm 為 'trust-region'，即使用信賴域法求解無約束優化問題，默認情況下 fminunc 函數使用擬牛頓法進行優化。

需要注意的是，信賴域法需要計算目標函數的梯度，因此要確保梯度函數的正確性。如果沒有提供梯度函數，則 fminunc 函數會通過自動微分方法計算梯度。

審核編輯：湯梓紅