混頻器

這是數(shù)學(xué)極客的一個(gè)，他們甚至可以提供額外的見(jiàn)解和更正。即使你不是數(shù)學(xué)極客，我相信功能安全領(lǐng)域的每個(gè)人都需要了解這些方程式。在某些時(shí)候，您將不得不調(diào)用其中的一個(gè)或多個(gè)。我將嘗試對(duì)方程有一個(gè)直觀的感覺(jué)，所以希望它不會(huì)太糟糕。我確信在我下面的嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上存在錯(cuò)誤，但希望它足夠準(zhǔn)確，可以理解含義并讓您對(duì)這個(gè)主題有良好的感覺(jué)。

此處顯示的方程顯然是針對(duì)隨機(jī)硬件故障的，而不是系統(tǒng)故障模式，因?yàn)槿绻霈F(xiàn)正確的條件，系統(tǒng)故障模式的發(fā)生概率將為 1。

IEC 62308的范圍規(guī)定“本標(biāo)準(zhǔn)描述了項(xiàng)目的可靠性評(píng)估方法。適用于任務(wù)、安全、業(yè)務(wù)關(guān)鍵、高完整性、復(fù)雜電子產(chǎn)品。它包含有關(guān)為什么需要可靠性以及如何以及在何處使用評(píng)估結(jié)果的信息。最后，它詳細(xì)說(shuō)明了如何選擇可靠性評(píng)估方法以及支持評(píng)估所需的數(shù)據(jù)。

所以，讓我們陷入方程（1），它實(shí)際上看起來(lái)最令人生畏。誰(shuí)不喜歡積分和指數(shù)的混合？

圖2 - 項(xiàng)目隨時(shí)間推移的可靠性的第一個(gè)方程

第一個(gè)等式給出了一個(gè)項(xiàng)目的可靠性，假設(shè)故障率與時(shí)間有關(guān)。在時(shí)間 0 R（t）=1 和時(shí)間 = 無(wú)窮大時(shí)，可靠性為 R（t）=0。R（t）可以說(shuō)顯示了可用性，在時(shí)間t仍然存活的設(shè)備比例，這就是為什么積分系數(shù)從t到無(wú)窮大代表所有尚未失效的設(shè)備，這讓我想起了關(guān)于健康只是你可以死亡的最慢速度的笑話。R（t） 的對(duì)正數(shù)是 F（t），表示在時(shí)間 t 之前發(fā)生故障的設(shè)備的比例，然后由 F（t）=1-R（t） 給出，其中“F”代表故障。

λ（t） 表示設(shè)備的故障率，隨著時(shí)間的推移，該故障率可能是恒定的，也可能不是恒定的。對(duì)于功能安全，我們通常假設(shè)λ（t）是一個(gè)常量值λ，所以讓我們這樣做，這使我們能夠簡(jiǎn)化和探索方程。然后我們有 R（t）=exp（-λt），這使得更明顯的是，如果 t=0 R（t）=exp （0） =1 和 t=∞我們有 R（t）=exp（-∞） =0，所以一切都很好。

圖 3 - 顯示恒定故障率下大約 20 年內(nèi) R（t） 和 F（t） 形狀的圖

基于它在上述方程中的使用，λ（t） 表示設(shè)備在 t 到 t+dt 區(qū)間內(nèi)發(fā)生故障的幾率，前提是它已經(jīng)存活到時(shí)間 t。它必須存活到時(shí)間t的事實(shí)意味著這被稱為條件概率。條件是它必須幸存到那時(shí)才能在該間隔內(nèi)失敗。

對(duì)于功能安全，dt 通常為 1 小時(shí)，因此 λ（8760） 表示設(shè)備在其運(yùn)行第二年的第一個(gè)小時(shí)內(nèi)發(fā)生故障的概率，前提是它設(shè)法運(yùn)行至少 1 年。

說(shuō)明故障率是恒定的，這意味著如果一個(gè)設(shè)備已經(jīng)存活了 1 年，它就有可能在 λ 的下一個(gè)小時(shí)內(nèi)發(fā)生故障，如果一個(gè)設(shè)備已經(jīng)存活了 20 年，它仍然有可能在 λ 的下一個(gè)小時(shí)內(nèi)發(fā)生故障，λ 與它已經(jīng)運(yùn)行了多長(zhǎng)時(shí)間無(wú)關(guān)。

注意 – 對(duì)于功能安全，我們通常對(duì)危險(xiǎn)的未檢測(cè)到故障率比實(shí)際故障率更感興趣。設(shè)備無(wú)法進(jìn)入安全狀態(tài)主要是別人的問(wèn)題。因此 λ 實(shí)際上更有可能是 λD危險(xiǎn)故障率甚至λ的危險(xiǎn)的未檢測(cè)到的故障率。

順便說(shuō)一句，這意味著如果您在 10 年后用相同設(shè)計(jì)的完美新設(shè)備替換完全工作的設(shè)備，您將一無(wú)所獲，因?yàn)樵诮酉聛?lái)的一小時(shí)內(nèi)，兩者都會(huì)有 λ 的故障率。

此外，值得提醒的是，如果設(shè)備的故障率為 1e-9/h，這并不意味著它會(huì)持續(xù)十億年。相反，這意味著如果您有十億臺(tái)設(shè)備運(yùn)行 1 小時(shí)，您可以預(yù)期其中 1 臺(tái)在該小時(shí)內(nèi)出現(xiàn)故障。同樣，如果您只有 100k 個(gè)單位并且它們運(yùn)行了一年，您可以預(yù)期其中一個(gè)在該年的某個(gè)時(shí)候出現(xiàn)故障。

讓我們繼續(xù)第二個(gè)等式。下面，f（t）顯示為可靠性函數(shù)微分的負(fù)值，對(duì)于恒定故障率，這意味著R（t）具有平滑下降的形狀（見(jiàn)上圖3）。這意味著這種差分的負(fù)值將是正數(shù)（不確定負(fù)失敗率意味著什么）。在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，f（t）是失敗概率密度函數(shù)。它還表示在 t 到 t+dt 區(qū)間內(nèi)無(wú)條件地失效，即不需要存活到時(shí)間 t。與λ（t）相比，即使故障率恒定，1年后f（t）也會(huì)比20年后的f（t）高得多，因?yàn)榇蠖鄶?shù)設(shè)備在此之前就已經(jīng)失效了。當(dāng)它達(dá)到20年時(shí)，它必須度過(guò)所有其他年份，因此在接下來(lái)的一個(gè)小時(shí)內(nèi)它仍然失敗的可能性非常小。如果 0.9 是預(yù)計(jì)存活 1 年的設(shè)備比例，如果預(yù)計(jì)在 1 年 + 1 小時(shí)存活的比例為 0.89，則 f（t）= （0.9-0.89）/1=0.01 在 1 年，即 delta R/delta t。從數(shù)學(xué)上看，如下所示。

圖 4 - 失效概率密度函數(shù)的第二個(gè)方程

注意 – 快速刷新。要區(qū)分 y=exp（f（x）） 使用 dy/dx = d（f（x）/dx））* exp（f（x））

讓我們以常數(shù)故障率為例，使 R（t）=exp（-λt） 然后 d（R（t））/d（t）= -λexp（-λt） =-λR（t） 這樣 f（t）=λR（t）。由于R（t）=1在時(shí)間0（所有設(shè)備仍然存活）和R（t）=0在時(shí)間無(wú)窮大，那么f（t）從λ到0，其中λ（t）是一個(gè)常數(shù)λ。

下面的第三個(gè)等式是用λ（t）替換λ并重新排列項(xiàng)。

圖 5 - 瞬時(shí)故障率的第三個(gè)公式

下圖顯示了條件失效率 λ（t） 和非條件失效率 f（t），繪制在大約 20 年的時(shí)間內(nèi)，常數(shù) λ（t） 為 2e-6/h。理論上，λ（t） 一直恒定到無(wú)窮大，但 f（t） “迅速”下降到零，因?yàn)闆](méi)有設(shè)備會(huì)失效（在概率意義上）。

圖 6 有條件和無(wú)條件故障率圖

最后，我們只剩下可靠性和平均故障時(shí)間之間的關(guān)系。查看史密斯的書(shū)以獲得指導(dǎo)，請(qǐng)考慮R（t）如下。如果有 N 個(gè)項(xiàng)目，并且 NS（t） 是在時(shí)間 t 時(shí)仍存活的設(shè)備數(shù)，則 R（t）=NS（t）/N。

注意 – NS 代表 N琥珀色 S孵化。

假設(shè)我們想知道在所有設(shè)備發(fā)生故障之前，N 個(gè)單元可以預(yù)期運(yùn)行多少小時(shí)。在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，總運(yùn)行小時(shí)數(shù)增加 NS（t）*dt。因此，總運(yùn)行小時(shí)數(shù)由 NS（t） wrt dt 的 0 到 ∞ 的積分給出。一個(gè)器件的平均預(yù)期時(shí)間為積分除以 N，但 NS（t）/N = R（t） 給出以下等式。

圖 7 - 顯示平均故障時(shí)間的第四個(gè)方程

推導(dǎo)清楚地表明了MTTF實(shí)際上是什么。如果您有 5 臺(tái)設(shè)備，并且它們存活 100 小時(shí)、1000 小時(shí)、2000 小時(shí)、5000 小時(shí)和 10000 小時(shí)，則 5 臺(tái)設(shè)備的總運(yùn)行時(shí)間為 18，100 小時(shí)，MTTF = 18100/5 = 3620 小時(shí)。

最后，讓我們總結(jié)一下IEC 62308中的方程式，以假設(shè)功能安全中通常發(fā)現(xiàn)的恒定故障率。

圖 8 - 如果 lambda 是常數(shù)，則為上述等式

上面沒(méi)有說(shuō)明，但可以從數(shù)學(xué)中得出，如果 MTTF 為 X 并且故障率恒定，那么 63.2% 的項(xiàng)目將在 X 小時(shí)運(yùn)行后出現(xiàn)故障。另外值得說(shuō)明的是，對(duì)于假設(shè)的恒定故障率，1 臺(tái)設(shè)備運(yùn)行 1 萬(wàn)小時(shí)與 1 萬(wàn)臺(tái)設(shè)備運(yùn)行 1 小時(shí)相同。

您還可以以其他方式操作方程式。例如，如果一個(gè)IC的恒定故障率為1000 FIT它能存活20年的機(jī)會(huì)有多大。R（t）=exp（-1e-6*20*8760）=0.84。

希望這個(gè)博客能給你信心，不要害怕圍繞可靠性的數(shù)學(xué)。希望它能讓你能夠嘗試方程式。

審核編輯：郭婷