相平面法

前言

非線性系統的相平面法是一種分析和研究非線性系統動力學行為的方法。相平面法通過將系統的狀態變量表示為二維平面上的軌跡，來揭示非線性系統的穩定性、周期性、吸引子等特性。

對于非線性系統，其狀態變量的演化不再遵循簡單的線性關系。相平面法的基本思想是將非線性系統的動力學方程轉化成一組一階微分方程，并將其表示為相平面上的向量場。這樣，系統的狀態變量就可以在相平面上以軌跡的形式展示。

通過相平面法，可以觀察到系統在相平面上的軌跡的形狀和特性，從而推斷系統的穩定性和行為。常見的特性包括平衡點（穩定點）、極限環、吸引子等。通過分析軌跡的形狀、軌跡的相交點以及軌跡的變化趨勢，可以確定系統的穩定性、周期性或者混沌行為。

相平面法也存在一些缺點需要考慮：

1. 限于二維系統：相平面法只適用于二維系統，對于高維系統無法直接應用。在高維系統中，相平面法無法提供完整的動力學行為描述，因為它無法展示高維空間中的復雜軌跡。
2. 無法精確解析求解：相平面法主要是基于圖形觀察和分析，而不是通過解析計算得到精確解。因此，特別是對于非線性系統和復雜的微分方程，相平面法無法提供準確的定量信息。
3. 可視化有限：相平面法能夠提供關于系統行為的直觀圖像，但在大規模系統或長時間尺度上，圖像可能變得復雜且難以解釋。對于復雜的相軌跡和相平面，僅憑人眼可能無法完全捕捉到細微的變化和行為特征。
4. 不能涵蓋所有情況：相平面法主要用于研究振蕩、穩定性和周期性等特定系統行為。對于其他類型的非線性動力學行為，如混沌行為，相平面法可能無法提供全面的理解。
5. 對數值求解的依賴：在實際應用中，相平面法通常依賴于數值計算和數值模擬。這涉及到選擇適當的數值方法，并且對數值誤差和數值穩定性要有充分的認識。

相平面

奇點

平衡點是使系統永久停駐的點，即

非線性系統的相平面分析

在奇點附近，相軌跡的特征與線性系統比較接近，因此可以通過進行非線性系統的線性化，然后進行分析。常用的方法是利用泰勒公式進行展開。泰勒公式是一個關于函數在某點附近的展開式，通過展開可以將非線性函數近似為線性函數，從而方便進行局部分析。

極限環

奇線是相軌跡中的特殊情況，將相平面劃分為具有不同運動特性的區域。最常見的奇線是極限環。非線性系統會出現自振蕩，因此在相平面上會形成一條孤立的曲線，這條曲線附近的相軌跡會逐漸趨向或離開這條曲線，這就是極限環。

極限環將相平面分為內部平面和外部平面兩部分，軌跡無法從極限環內部穿過進入外部，反之亦然。這樣就將相平面劃分為具有不同運動特性的區域，因此，極限環也是相平面上的分界線，對于確定系統的全部運動狀態非常重要。

需要指出的是，并非相平面上的所有孤立曲線都是極限環。在無阻尼的線性二階系統中，由于沒有阻尼造成的能量損耗，相平面圖是一系列連續的閉合曲線，這些曲線并非極限環，因為它們不是孤立的，在任何特定閉合曲線的鄰近仍然存在其他的曲線。而極限環是相互孤立的，在任何極限環的鄰近不可能有其他的極限環。極限環是非線性系統中獨有的現象，它僅在非保守系統中出現。這種周期運動的原因不在于系統無阻尼，而是系統的非線性特性，導致系統能量交替變化，因此可以從非周期性的能源中獲取能量，從而維持周期運動。

根據極限環附近相軌跡的運動特點，極限環可分為以下三種類型：

得出平衡點（奇點）

得到奇點類型

繪制相軌跡

根據奇點的位置和類型，圖中與鞍點（-2，0）相交的兩條相軌跡可稱為奇線，將相平面劃分為兩個區域：系統的穩定區域位于相平面圖中的內區域，而不穩定區域位于外區域。當初始條件位于陰影線內區域時，系統的運動將收斂至原點；當初始條件位于陰影線外區域時，系統的運動將發散至無窮大。該例說明非線性系統的運動及其穩定性與初始條件有關。

Example3 ：已知帶死區特性的非線性系統的微分方程為

確定平衡點

得到奇點類型

得到相軌跡