摘要：多項式回歸（Polynomial Regression）是一種回歸分析方法，通過擬合一個多項式方程來模擬自變量與因變量之間的非線性關(guān)系。多項式回歸的目標(biāo)是找到一組多項式系數(shù)，使得擬合曲線盡可能地接近數(shù)據(jù)點。這種方法可以用于預(yù)測、設(shè)計和推理、其他數(shù)據(jù)分析任務(wù)。多項式回歸是一種統(tǒng)計學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域常用的回歸分析方法，屬于線性回歸的一種形式，將自變量x和因變量y之間的關(guān)系建模為n次多項式。

目前求解多項式回歸問題，主要是把多項式回歸轉(zhuǎn)化成線性回歸并用最小二乘法得到損失函數(shù)，令偏導(dǎo)等于0來求解。另外也可以直接使用梯度下降等方法來最小化損失函數(shù)。這些優(yōu)化技術(shù)的時間復(fù)雜度是多項式級別的，隨著問題規(guī)模的增長，很難在短時間找到滿意的解。

鑒于摩爾定律即將走到盡頭，就要探索非常規(guī)計算范式（如量子計算）解決大規(guī)模優(yōu)化問題的適用性。量子計算機(jī)擅長解決困難的優(yōu)化問題，并為加速求解問題提供了更快、更精準(zhǔn)有效的替代方案。

在場景應(yīng)用上，多項式回歸分析可用來估計功率失配問題。如孤島配電系統(tǒng)減載的策略用例上，精準(zhǔn)制定負(fù)載優(yōu)先級以準(zhǔn)確估計頻率失衡問題，穩(wěn)定系統(tǒng)頻率，高效克服配電系統(tǒng)因分布式發(fā)電（DG）集成而帶來的系統(tǒng)穩(wěn)定性不足造成的停電等問題。此外，在煉鋼場景下，如將生鐵和回收廢料的混合物還原為低碳鋼，對這一過程的預(yù)測及演變能力操作員可以通過過程目標(biāo)預(yù)測系統(tǒng)來增強(qiáng)。而多項式分析方法就可以從過程參數(shù)的較小子集來預(yù)測過程，對復(fù)雜預(yù)測模型實現(xiàn)高精確推理。

同樣，在預(yù)測農(nóng)作物產(chǎn)量和降雨量的關(guān)系、每日用水量預(yù)測、光伏發(fā)電預(yù)測等場景下，多項式回歸分析都能高度適配。

5月16日，北京玻色量子科技有限公司（以下簡稱“玻色量子”）在新品發(fā)布會上推出的100量子比特相干光量子計算機(jī)真機(jī)——“天工量子大腦”，旨在快速、高效地求解NP-hard的Ising問題。而多項式回歸系數(shù)的擬合就可以轉(zhuǎn)化為一個Ising/QUBO模型，由“天工量子大腦”快速求解。“天工量子大腦”可以極大簡化求解步驟并在毫秒級的時間里給出較好的擬合系數(shù)取值。同時，多項式回歸是機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的基礎(chǔ)問題，量子計算可以在統(tǒng)計學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的其他問題發(fā)揮更好的效果。

建模思路

首先給出符號的定義：

下面是多項式回歸的原問題，其中d為多項式的次數(shù)

為了將多項式回歸問題轉(zhuǎn)換為QUBO形式，我們先將（1）式進(jìn)行改寫

接著，引入一個精度向量P=[p1，p2，...，pk]T，k∈N。p中的每個項可以是2的整數(shù)次冪，冪指數(shù)可以為正也可以為負(fù)。同時，引入k個二元變量。

則每個系數(shù)w可以表示為：

式（3）可以用矩陣表示如下

式（4）帶入式（2）替換后可得

該問題本身沒有額外約束，我們已經(jīng)將問題的變量進(jìn)行二值化處理，式（5）即為多項式回歸的QUBO模型。

案例求解

我們以如下三次曲線為例進(jìn)行多項式回歸分析，

通過在目標(biāo)值y中加入符合正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲, 生成的隨機(jī)樣本圖像如圖1所示。

圖1三次曲線隨機(jī)樣本

在本案例中，回歸系數(shù)w=[w0，w1，w2]，即

我們可以設(shè)置P=[21,20,2-1,...,2-4]，每個系數(shù)設(shè)置6個比特，共設(shè)置18個比特，求解后可以得到

所以，各個系數(shù)取值結(jié)果如下：

擬合結(jié)果如圖2所示。

圖2擬合結(jié)果

問題拓展

多項式回歸是機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域的基礎(chǔ)的問題，量子計算還可以在機(jī)器學(xué)習(xí)的其他問題中發(fā)揮優(yōu)勢。

未來，玻色量子將依托100計算量子比特相干光量子計算機(jī)真機(jī)——“天工量子大腦”，聚焦“實用化量子計算”，不斷深入研究包括NP-Complete問題在內(nèi)的眾多問題，拓展更多可實用化量子計算的真實應(yīng)用場景。

玻色量子還將啟動“燎原計劃”開發(fā)者平臺，并持續(xù)對外開放“天工量子大腦”的真機(jī)測試，熱忱歡迎更多不同領(lǐng)域的研究伙伴前來了解相干量子計算的原理和能力，在此基礎(chǔ)上展開共同研發(fā)，用量子計算去解決更多真實場景中的問題，讓量子計算的超強(qiáng)算力能真正服務(wù)于各行各業(yè)，滿足未來時代對于計算的需求。