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開環傳遞函數是怎樣影響系統的?

冬至子 ? 來源:iFTrue未來已來 ? 作者:雷 I 神 ? 2023-07-11 14:41 ? 次閱讀

重要參量1/(1+T)與T/(1+T)的釋義

我們可以看到在負反饋系統中,“擾動-輸出”閉環傳遞函數和“給定-輸出”閉環傳遞函數中都包含開環傳遞函數T(s)這一因子,因而我們可以通過分析開環傳遞函數T(s)的特性來確定負反饋系統的特性。并且“擾動-輸出”閉環傳遞函數和“給定-輸出”閉環傳遞函數中含有1/(1+T(s))與T(s)/(1+T(s))兩個參量,因此我們對這兩個參量所代表的意義進行分析。

為了便于說明,我們舉一個具體的例子,如圖3.1所示的波特圖,其對應的開環傳遞函數為:

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圖3.1 開環增益波特圖示例

這個例子看起來似乎有點復雜,然而實際開關電源的開環增益往往更為復雜,可能包含4個、5個或更多的極點,但這個例子可以代表我們常見的穩定系統。所以我們可以采用形如圖3.1所示的圖解法來簡化問題。在分析參量|| T/(1+T) ||和|| 1/(1+T) ||的意義之前,首先來看下二者在特定條件下的近似值。

1/(1+T)與T/(1+T)的近似值

當|| T || = 1時,即其對數幅頻特性為0dB時,所對應的頻率fc稱為截止頻率,如圖3.1所示。由圖3.1可知,當頻率遠遠小于截止頻率時,即在低頻段時,|| T || >> 1,因而1+T ≈ T,則|| T/(1+T) || ≈ 1;當頻率遠遠大于截止頻率時,即在高頻段時,|| T || << 1,因而1+T ≈ 1,則|| T/(1+T) || ≈ T。

同理,我們可以由圖3.1看出,當頻率遠遠小于截止頻率時,即在低頻段時,|| T || >> 1,則|| 1/(1+T) || ≈ T;當頻率遠遠大于截止頻率時,即在高頻段時,|| T || << 1,則|| 1/(1+T) || ≈ 1。

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T/(1+T)釋義

首先給出結論: 參量T/(1+T)對“給定-輸出”閉環傳遞函數有重大影響,其可以反映出低頻段時輸出電壓對給定電壓的跟隨性。 下面進行圖形分析。

通過對參量T/(1+T)的近似,我們可以很方便的繪出其所對應的對數幅頻特性曲線:當頻率較低(f < fc)時,T/(1+T)對數幅頻特性近似線接近0dB,當頻率較高(f > fc)時,T/(1+T)對數幅頻特性近似線跟隨T的對數幅頻特性近似線,如圖3.1所示。

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圖3.2 || T/(1+T) ||近似線的圖形釋義

由圖3.1可知,當頻率遠遠小于截至頻率(低頻段)時,開環增益T(s)有較大的幅值。“給定-輸出”閉環傳遞函數可以近似為

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此時,上式表現的是一種期望的系統特性:低頻段時,輸出電壓根據理想增益1/H(s)跟隨給定電壓。

當頻率遠遠大于截至頻率(高頻段)時,|| T || < 1,此時T/(1+T) ≈ T,“給定-輸出”閉環傳遞函數為

圖片

這時的傳遞函數與“給定-輸出”的開環傳遞函數是一樣的,也就是高頻段時,相當于移除的反饋環路的作用,反饋環路已經無力抑制干擾,這是由于受到了開環傳遞函數T帶寬的限制,而這是我們不希望得到的特性。

1/(1+T)釋義

同樣先給出結論: 參量1(1+T)對“擾動-輸出”閉環傳遞函數有重大影響,其可以反映出低頻段時系統對擾動量(包括線路擾動和負載擾動)的抑制能力。 下面進行圖形分析。

當頻率較低(f < fc)時,|| T || >> 1,1/(1+T) ≈ 1/T,1/(1+T)對數幅頻特性近似線接近1/T對數幅頻特性近似線(-| T |dB);當頻率較高(f > fc)時,|| T || << 1,1/(1+T) ≈ 1,1/(1+T)對數幅頻特性近似線接近0dB。如圖3.3所示。

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圖3.3 || 1/(1+T) ||近似線的圖形釋義(精確曲線被省略)

當頻率遠遠小于截至頻率(低頻段)時,開環增益T(s)有較大的幅值。“擾動-輸出”傳遞函數為

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Gvg(s)為原始開環傳遞函數,可以看出,閉環傳遞函數的模減小到1/T(s)倍,說明系統對擾動量的抑制了使得擾動量減小到1/T(s)倍。例如,期望擾動傳遞函數在120Hz的位置減小20倍,則只需要開環傳遞函數在120Hz的位置對數幅值為(20→26dB)。

對于輸出阻抗,存在同樣的現象。在頻率小于截至頻率(低頻段)時的閉環輸出阻抗為

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輸出阻抗同樣減小了1/T(s)倍,因而當負載電流存在變動時,系統對其的抑制使得其反應在輸出電壓上的值減小到了1/T(s)倍。

當頻率大于截至頻率(高頻段)時,|| T || << 1,1/(1+T) ≈ 1

圖片

這個結果對于擾動回路和輸出阻抗是相同的,可以由上式看出高頻段時系統對擾動的抑制僅由開環傳遞函數決定,表明此時反饋環路將對擾動環節影響甚小,已經無力抑制干擾,這是由于受到了開環傳遞函數T帶寬的限制。 因而在設計系統時,開環傳遞高頻段通常要保證能夠以-40dB/dec衰減且模足夠小

綜上所述,系統開環傳遞函數在校正時需要保證在低頻段有較大的增益,以增強系統輸出對給定的跟隨性和對擾動的抑制能力;而在高頻段時需要保證有迅速衰減且足夠小,以增強系統對高頻擾動的抑制能力。

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