歷史

事實上，我們需要穿梭回 2500 年前，從著名的古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯開始說起。

畢達哥拉斯有一項鮮為人知的發現：如果用同樣的力度撥動兩根材質相同的繩子，當兩根繩子的長度比例處于整數倍關系時發出的合音會比較悅耳。

打比方說，如果一根繩子的長度是另外一根繩子的一半（1：2 的關系）的話，撥動兩根繩子產生的合音會很悅耳。如果長度關系是 2：3 的話效果也會不錯。

但為什么兩根繩子長度為整數關系時更悅耳呢？為了回答這一問題，讓我們先假設有一根繩子，它的兩端是固定起來的，中間的部分可以任意震動，該繩靜止時的狀態如圖 1 所示。

圖 1：靜止時的繩子

現在撥動一下這根繩子正中間的位置，振動時的狀態如圖 2：

圖 2：撥動繩子中點位置產生的震動

上面列舉的是一個「駐波」的例子。振動過程中，繩子中點的位置會上下反復移動。理想狀態下，以時間為橫軸，繩子移動為縱軸，將繩子的震動過程以圖案形式記錄下來就得到了正弦波（sine wave）（圖 3），我們將這一類圖案稱為「波形（waveform）」。

圖 3：正弦波的波形

波形完成一個周期的頻率被稱之為波形的基本頻率（fundamental frequency），在本例中也就是這根繩子震動的基本頻率。

雖然繩子的兩頭被固定，震動的方式和速度因此會受到限制，然而繩子被撥動這一過程中，并非只會生成一個基本頻率。想象把你的手指放在繩子的正中間（整根繩子還是可以正常震動），接著任意撥動繩子的左半邊或者右半邊，這樣就得到了一個波長為原始長度 1/2 的駐波（如圖 4 所示）。

圖 4：1/2 波長的駐波

同理，如果把手指放在繩子長度 1/3 的位置就可以得到一個波長為原始長度 1/3 的駐波（如圖 5）。

圖 5：1/3 波長的駐波

以此類推，只要處于整數倍關系，駐波就可以被產生。這些駐波叫做基礎頻率的諧波（harmonics）。

如果你對駐波的數學原理有研究，你就會知道駐波可以被認為是在同一根繩子上的兩個相反方向「行進」中的波形合成起來構成的（別問我為什么，否則這篇文章就永遠也寫不完了）。通過這一原理不難可以得到這一結論：如果將波長減半，波形的頻率就會翻番，變成原始頻率的兩倍。類似地，如果將波長縮減至原始波長的三分之一，頻率將升高至原始頻率的三倍；四分之一則會升高至四倍，以此類推...之所以倍數必須是整數是因為如果你想引入一個非整數倍的頻率變化那么繩子就不可以處于其零點位置，也就是繩子的兩端（不滿一個震動周期），然而繩子的兩端是固定起來的，所以這種情況不可能存在。

當然，不光只有震蕩的繩子遵循這一規則。以一個立方體房間中的空氣為例，為了不把這一假設搞得過于復雜，我們暫時不考慮家具等其他可能對條件產生影響的元素，空氣可以在房間中除了墻體、地板和天花板之外的任意位置自由振動。換句話說，房間中空氣的震動方式和繩子的震動方式是完全一致的。房間本身也具備諧波頻率，這也就是普通房間會產生「共振」的原因。管風琴也正是運用了這一原理發聲，管風琴的音管也就是簡單的諧波振蕩器。

震蕩產生的第一諧波（基礎頻率，記作 f）就是當你聽到震蕩產生的聲音的時候感知的音高。第二諧波（也被稱為第一「泛音（overtone）」）的波長為基頻的一半，因此頻率為基頻的兩倍。如果單獨聆聽這一頻率，我們會感知到比基頻高正好一個八度的音高。

第三諧波的頻率為 3f（比基本高一個半八度，純五度關系），第四諧波的頻率為 4f，比基頻高兩個八度。接下來的三個諧波與第四諧波處于同一個八度，第八諧波比基頻高三個八度，以此類推...

通過這一規律我們就可以理解畢達哥拉斯的觀察。當兩根繩子長度成 1:2 關系時，較短的那根繩子被撥動時產生的基頻與較長的那根的第二諧波頻率正好相等。當兩根繩子長度成 2:3 關系時，較長的那根繩子的第三諧波與較短的那根的第二諧波頻率相等。換句話說，如果兩根繩子的諧波構成彼此相似的話，我們聽到的聲音就會比較「悅耳」。

考慮這一點：當你撥動繩子的時候，你并不只會聽到單獨的一個諧波。如此純凈的頻率需要及其精準的條件才可以產生，在自然界中幾乎無法達成。因此自然界中的所有聲音幾乎都是由一系列不同量度的諧波構成的。這一諧波構成決定聲音在任意時間片刻的波形，因為大量諧波的存在，這類波形要比圖 3 中展示的正弦波復雜得多。把吉他采樣或者人聲錄音放在波形編輯器中你就可以看到真實的波形的復雜程度。

聲音的分析或者合成也因為這一點而極其困難，幾乎無法實現。但是一位名叫 Jean Baptiste Joseph Fourier 的數學家發現任何周期運動，無論多么復雜，都可以通過一系列計算將其分解為諧波構成。為了紀念這位數學家，這一程序被命名為傅立葉分析。除此之外，利用傅立葉分析還可以反推出一系列諧波的波形。

等等...波形決定諧波，諧波也可以決定波形？顯然，諧波與波形只是表達同一個概念的兩種不同方式。關鍵在于：音色取決于其諧波的數量與幅度；通過給定的一系列諧波可以合成波形。所以當你看到合成器上的「方波（square）」或者「鋸齒波（sawtooth）」等波形，實際上是在說「這一設置可以生成一系列幅度為 x、y 與 z 的諧波」。

圖 6 ：鋸齒波的波形

讓我們把這一認識運用于合成器上。觀察圖 6 中的波形，這是一個理想的「鋸齒波」波形，其形狀與鋸齒相似而因此得名。撥動繩子的時候絕對無法產生如此簡單的波形，但是幾乎每一臺合成器都可以產生類似的鋸齒波。

這一波形由一系列處于下列簡單關系的諧波構成：

每個諧波均存在，且第 n 諧波的幅度等于基頻幅度的 n 分之一。

圖 7：鋸齒波的諧波頻譜

雖然這一關系聽起來已經不是很簡單了，但相信我，還有其他波形比鋸齒波復雜得多。總之，圖 7 展示的是鋸齒波的前十個諧波，可以看到諧波的頻率越高振幅就越小。

但如果把這一系列的諧波截斷會怎么樣？比方說，（使用濾波器）把除了前五個諧波之外的其他高頻諧波全部移除。圖 8 展示的是經過這一移除之后該波形的頻譜，圖 9 展示的是其對應的波形。

圖 8 ：移除了高頻諧波之后的鋸齒波頻譜

圖 9 ：移除了高頻諧波之后的鋸齒波波形

可以看到，新的波形與鋸齒波的形狀相比有所不同。這一波形的聲音也和鋸齒波有所差別。但是這兩個波形的不同之處只是你將鋸齒波的高頻諧波過濾掉了，只剩了前幾個諧波。換句話說，你使用了一個「濾波器」「減去」了一部分諧波，從而創造了一個新的波形，也因此合成了一個新的聲音。