什么是微分代數(shù)方程？

微分代數(shù)方程是一類微分方程，其中一個(gè)或多個(gè)因變量導(dǎo)數(shù)未出現(xiàn)在方程中。方程中出現(xiàn)的未包含其導(dǎo)數(shù)的變量稱為代數(shù)變量，代數(shù)變量的存在意味著不能將這些方程記為顯式形式 y′=f(t,y)。

ode15s 和 ode23t 求解器可以使用奇異質(zhì)量矩陣 M(t,y)y′=f(t,y) 來解算微分指數(shù)為1的線性隱式問題，包括以下形式的半顯式 DAE

y′0=f(t,y,z)

0 =g(t,y,z)

在此形式中，由于主對(duì)角線存在一個(gè)或多個(gè)零值，因此代數(shù)變量的存在會(huì)產(chǎn)生奇異質(zhì)量矩陣。

默認(rèn)情況下，求解器會(huì)自動(dòng)檢驗(yàn)質(zhì)量矩陣的奇異性，以檢測(cè) DAE 方程組。如果提前知道奇異性，則可將 odeset 的 MassSingular 選項(xiàng)設(shè)為 'yes'。對(duì)于 DAE，還可以使用 odeset 的 InitialSlope 屬性為求解器提供 y′(0) 的初始條件估計(jì)值。

舉個(gè)例子

其中x1(0)=0.8;x2(0)=x3(0)=0.1;

1）方程寫成DAE形式

2）編程求解

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odefun = @(t,x)[-0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2);
                2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)^2;
                x(1)+x(2)+x(3)-1]; %微分方程
M = [1 0 0;0 1 0;0 0 0]; % 質(zhì)量矩陣
options=odeset('mass',M); % 定義mass屬性
x0=[0.8;0.1;0.1];
[t,x]=ode15s(odefun,[0 10],x0,options);
figure
plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3))
grid on
legend('x1','x2','x3')