本文將繼續(xù)研究電壓模式Buck，從頻域邊帶效應(yīng)和多頻率模型的角度，深度揭秘：

• PWM調(diào)制器在小信號(hào)環(huán)路中，究竟是何等效模型？在中高頻段，小信號(hào)的精確模型與傳統(tǒng)平均模型的偏差何在？
• 在中高頻段，精確的小信號(hào)模型與真實(shí)PWM變換器的系統(tǒng)是否仍有偏差？

LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)的適用性

頻率響應(yīng)，即穩(wěn)態(tài)下線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)的幅值/相位隨頻率的變化。它反映了任意頻率下，系統(tǒng)正弦輸出和對(duì)應(yīng)正弦輸入的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且LTI系統(tǒng)的輸出響應(yīng)和輸入信號(hào)的注入時(shí)刻無關(guān)。

LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)的定義

然而，前文提過PWM調(diào)制器具有時(shí)變的采樣特性，時(shí)變系統(tǒng)本身已經(jīng)破壞了LTI系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)。若從頻域上考察PWM變換器，在閉環(huán)回路中注入一個(gè)接近fsw的高頻擾動(dòng) fx ，可以明顯看到Buck的輸出電壓* vo存在一個(gè) ** fsw -fx的差頻響應(yīng)(beat frequency)，這是由于fx經(jīng)過開關(guān)頻率fs的載波自然采樣下的邊帶效應(yīng)造成的。如此，系統(tǒng)在某頻率下的輸出響應(yīng)并不僅僅由該頻率的擾動(dòng)輸入貢獻(xiàn)，這是LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)無法描述*的特性。

非LTI系統(tǒng)中頻率響應(yīng)不再適用

PWM變換器的時(shí)變特性，導(dǎo)致越往高頻處越遠(yuǎn)離一個(gè)LTI系統(tǒng)，在LTI波特圖理論下的頻響指標(biāo)(帶寬/穩(wěn)定裕量等)參考價(jià)值越低。有學(xué)者提出利用線性周期LTVP/LTP系統(tǒng)理論建模和分析，這是足夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模治鍪侄卧跀?shù)學(xué)上過于復(fù)雜且物理意義并不直觀。

小信號(hào)精確模型的意義

在介紹系統(tǒng)大小信號(hào)建模時(shí)，已簡單歸納過小信號(hào)建模的部分手法，本文將中高頻小信號(hào)精確建模的途徑重新歸納如下。

小信號(hào)精確建模的方法分類

PWM調(diào)制器在中高頻的時(shí)變特性已然不可忽略，勢(shì)必造成使用LTI系統(tǒng)理論下的小信號(hào)模型，即便是環(huán)路分析儀直接掃頻的結(jié)果，也無法精準(zhǔn)描述實(shí)際PWM變換器的全部特性(下圖可形象說明這個(gè)問題)。但是，從理論上建立小信號(hào)精確模型仍然是有必要的，因?yàn)?頻率響應(yīng)和波特圖分析方法是工程實(shí)踐普遍接受的設(shè)計(jì)習(xí)慣 ，精確建模可在中高頻無限接近實(shí)際的環(huán)路掃頻結(jié)果，從而給基于頻率響應(yīng)的 環(huán)路補(bǔ)償和高帶寬設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo) ，同時(shí)也可從小信號(hào)頻域的角度大致預(yù)測(cè)中高頻的不穩(wěn)定行為(如次諧波振蕩)。另一方面，基于平均模型的建模思路不斷改進(jìn)而來的頻域精確建模方法，最容易被工程實(shí)踐人員理解和使用。

各數(shù)學(xué)模型的關(guān)系

既然通過頻域波特圖設(shè)計(jì)環(huán)路依然是工程實(shí)踐的絕對(duì)主流，本文將從頻域的角度介紹邊帶效應(yīng)和多頻率小信號(hào)精確模型，以幫助大家理解PWM調(diào)制器在中高頻究竟帶來了什么。

邊帶效應(yīng)和頻率混疊/耦合

下圖通過例子說明了開環(huán)的PWM調(diào)制器，自然采樣下的時(shí)變特性：占空比的輸出響應(yīng)和輸入調(diào)制波的注入時(shí)刻相關(guān)。

PWM調(diào)制器自然采樣的時(shí)變特性

開環(huán)情況下，如果把PWM調(diào)制器看做fsw的采樣環(huán)節(jié)，調(diào)制波在某頻率的小信號(hào)擾動(dòng)輸入下，會(huì)在頻域以nfsw為中心，產(chǎn)生周期性的延拓，這些因fsw采樣產(chǎn)生的高頻信號(hào)稱為 **nfsw **的 邊帶效應(yīng) 。

PWM調(diào)制器的邊帶效應(yīng)與頻率混疊

然而，閉環(huán)中的PWM調(diào)制器比僅考慮開環(huán)PWM調(diào)制器的特性更為復(fù)雜。環(huán)路是一個(gè)低通濾波器，調(diào)制波的擾動(dòng)產(chǎn)生的邊帶會(huì)在閉環(huán)繞一圈后重新回到調(diào)制器參與調(diào)制，導(dǎo)致PWM占空比輸出的響應(yīng)既含有擾動(dòng)頻率成分，又含有各邊帶頻率成分， 擾動(dòng)頻率和邊帶頻率相互耦合 (有文獻(xiàn)也稱這種耦合是PWM調(diào)制器的頻率混疊，這取決于頻率混疊如何明確定義)。

PWM調(diào)制器的邊帶效應(yīng)在考慮閉環(huán)以后的頻率耦合

由上圖容易知道：擾動(dòng)頻率越高，越接近 nfsw * ，則越容易在低頻處產(chǎn)生差頻的輸出響應(yīng)； 且環(huán)路的帶寬設(shè)計(jì)得越高，更多落在低頻的邊帶成分將被有效放大，邊帶效應(yīng)造成的頻率耦合越嚴(yán)重 ，傳統(tǒng)的小信號(hào)平均模型造成的誤差是非常顯著的。

頻率越高，越不可忽略邊帶效應(yīng)和閉環(huán)的頻率耦合

多頻率模型

逐步考慮高頻和大紋波

基于頻域邊帶的小信號(hào)精確建模被稱為“多頻率模型”，始于CPES邱陽在2005年左右的研究，考慮采樣帶來的高頻邊帶效應(yīng)以及在閉環(huán)系統(tǒng)中的頻率耦合。

多頻率模型的發(fā)展

近年來，眾多學(xué)者對(duì)邱陽多頻率模型的精度不斷優(yōu)化，考慮的邊帶數(shù)越來越多，配合對(duì)大幅度調(diào)制紋波具體形狀的分析，可以突破“低頻假設(shè)”和“小紋波假設(shè)”的雙重限制，求得和環(huán)路分析儀擾動(dòng)法掃頻幾乎一致的結(jié)果。

不同多頻率模型考慮的邊帶數(shù)

在調(diào)制波幅值和載波相比不可忽略的情況下，調(diào)制波含“大紋波”對(duì)小信號(hào)全頻段增益和中高頻段相位帶來的影響也是顯著的。學(xué)術(shù)界從引入紋波的開關(guān)頻率正弦基波開始，結(jié)合多頻率模型共同分析。

調(diào)制波是“大紋波”情況下對(duì)小信號(hào)模型的影響

為了同時(shí)解決所有高頻邊帶和所有紋波頻率分量對(duì)小信號(hào)的影響，本文引用南航李鑫博士的“拓展頻率模型”及其結(jié)論說明PWM調(diào)制器在小信號(hào)模型中的特性。

拓展頻率模型

完整的PWM調(diào)制器小信號(hào)模型

在已知補(bǔ)償器參數(shù)進(jìn)而考慮“大紋波”形狀的PWM調(diào)制下，結(jié)合邊帶效應(yīng)和閉環(huán)頻率耦合，可得到一個(gè)完整的PWM調(diào)制器小信號(hào)模型。下圖給出的是PI補(bǔ)償器的閉環(huán)Buck，其PWM調(diào)制器的小信號(hào)傳遞函數(shù)GPWM的近似結(jié)果。

PI補(bǔ)償?shù)拈]環(huán)Buck，完整的PWM調(diào)制器小信號(hào)模型GPWM

由下圖的例子可以明顯看到：

• GPWM不再是平均模型中的恒定增益，而是和紋波形狀(補(bǔ)償器參數(shù)、主電路參數(shù)、開關(guān)頻率、占空比共同決定)相關(guān)
• GPWM近似為一階系統(tǒng)，在平均模型1/Vm基礎(chǔ)上多了一個(gè)增益調(diào)節(jié)量和一個(gè)極點(diǎn)，它們均和補(bǔ)償器的Kp相關(guān)(一個(gè)正相關(guān)，一個(gè)反相關(guān))
• 試圖提高帶寬的過程中，增大補(bǔ)償器Kp往往會(huì)增大全頻增益，但會(huì)降低中高頻的相位，無法保證充足的相位裕量
• 有兩點(diǎn)可能性是相當(dāng)反直覺的，因GPWM的增益調(diào)節(jié)量和極點(diǎn)均可正可負(fù)：
  ①有時(shí)，增大補(bǔ)償器Kp反而有可能降低 GPWM的增益 ，導(dǎo)致環(huán)路增益和帶寬不再提升
  ** ②有時(shí)， 極點(diǎn)也有可能成為右半平面的開環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)**

GPWM和小信號(hào)環(huán)路隨增益Kp的變化趨勢(shì)

兩個(gè)反直覺的實(shí)例

嘗試把帶寬提升到逼近fsw/2

綜上所述，我們將PWM調(diào)制器的特點(diǎn)總結(jié)如下。

用邊帶效應(yīng)理解PWM調(diào)制器的總結(jié)

當(dāng)我們?cè)噲D通過增大補(bǔ)償器Kp，盡可能地提升帶寬直至逼近 fsw /2的過程中，不難遇到上述兩點(diǎn)反直覺的可能性，即增大補(bǔ)償器Kp對(duì)環(huán)路增益/帶寬的提升無效，和產(chǎn)生中高頻的右半平面極點(diǎn)。如下的仿真實(shí)例可以印證。

必須再次強(qiáng)調(diào)，正如本文一開始所談的那樣，從結(jié)果上看，帶寬可以提高直到逼近 fsw /2系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，但此時(shí)依然是基于LTI系統(tǒng)理論的分析手段，波特圖上的帶寬和相位裕量等指標(biāo)已經(jīng)部分失去了參考價(jià)值。 這也是設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)提示我們要把小信號(hào)環(huán)路的帶寬設(shè)計(jì)在開關(guān)頻率1/10-1/5范圍內(nèi)的深層原因 。