1、粒子群算法

粒子群算法是一種智能優化算法。關于智能，個人理解，不過是在枚舉法的基礎上加上了一定的尋優機制。試想一下枚舉法，假設問題的解空間很小，比如一個函數 y = x^2 ，解空間在[-1,1],現在求這個函數的最小值，我們完全可以使用枚舉法，比如在這里，在解空間[-1,1]上，取1000等分，也就是步長為0.002，生成1000個x值，然后代入函數中，找到這1000個最小的y就可以了。然而實際情況不是這樣的，比如為什么選1000等分，不是1w，10w等分，很顯然等分的越大，計算量也就越大，帶來的解當然也就越精確，那么實際問題中如何去平衡這兩點呢？也就是既要計算量小（速度快），也要準確（精度高），這就是智能算法的來源了，一般的智能算法基本上都是這樣的，在很大的搜索空間上，即保證了速度快，也能比較好的找到最優解。

再來看看粒子群算法（也稱PSO算法），也是一種進化算法，模擬生物群體的覓食行為，是一種群體智能算法，類似的算法想遺傳算法，模擬退火算法等等。PSO是通過當前已知種群尋找到的所有解來決定新的解的尋找方向，也就是新解的生成方式依賴于這些種群歷史上尋找的所有解。

形象的理解比如下圖：

開始隨機生成一堆種群，那么這些種群之間的每個個體可以相互交流，比如下一時刻，A告訴B說我的解比你好，那么B就往A那個地方飛，也就是B的解朝著A的解方向變化，當然所有粒子間都這樣操作，想想一旦粒子群中間有一個粒子找到了一個最優解，是不是所有的粒子會一窩蜂朝著這個方向而去了，而在這個去的過程中，萬一某個粒子找到了一個更好的解，那它還會走嗎？不會了，它就告訴剩下的所有粒子說我的解更好呀，大家快來呀（很無私的），然后所有粒子又一窩蜂的照著這個粒子方向前進，當然在這個前進的過程中可能又會產生新的解，就這樣一步步的迭代，最終慢慢的趨近于一個最優解，這個解是不是全局最優解，不知道，可能是，也可能不是，取決于原始問題的復雜程度，也取決于粒子前進的多少等等。

粒子群算法相對于其他算法來說還是有很多優點的，典型的就是計算速度很快，在每次迭代時，所有粒子同時迭代，是一種并行計算方式，而且粒子的更新方式簡單，朝著一個優秀解方向更新。這個優秀解包括兩個部分：
1）一個是朝著自己在迭代的歷史上找到的個體最優解gbest前進
2）一個是朝著群體在得帶歷史上找到的全體最優解zbest前進
現在還有一個問題就是每次迭代的時候更新多少呢？也就是自變量的增加步長了，我們用一個速度量V來表示，也就是每個粒子的更新速度了，公式化的表示就是這樣的：

從上面的速度V的更新而已看到，c1那項就是朝著自己的最優解前進，c2那一項就是朝著全局最優解那前進。用簡單的圖表示如下：

2、粒子群的算法步驟

粒子群的核心部分就是上面說到的那兩個公式，一個是速度的更新方式，另一個是位置的更新方式，重點還是速度的更新方式；
總結來說，粒子群的算法步驟如下：

• 初始化粒子群個體；
• 計算每個個體的適應度值（函數值）作為評判好壞的標準；
• 找到每個個體自己在所有迭代過程中的最優解Pbest；
• 找到所有個體在所有迭代過程中的最優解Zbest；
• 根據速度公式更新速度；
• 根據位置公式更新位置；
• 重復步驟二直至迭代次數結束

這里有幾個參數需要說一下，

• 關于速度V，限制速度的范圍，比如需要設置一個最大速度，防止更新過快；
• 關于c1與c2，這兩個參數代表學習因子，決定跟隨歷史優秀解的能力；
• 關于粒子數與迭代次數，粒子數一般50-100，迭代次數視問題而定了；

3、Matlab實現

%% I. 清空環境
clc
clear
close all
%% II. 繪制目標函數曲線圖
x = 1:0.01:2;
fun = @(x)sin(10 * pi * x) ./ x;
y = fun(x);
figure
plot(x, y)
hold on
%% III. 參數初始化
c1 = 1.49445;
c2 = 1.49445;

maxgen = 50;   % 進化次數  
sizepop = 10;   %種群規模

Vmax = 0.5;   %速度的范圍，超過則用邊界值。
Vmin = -0.5;  
popmax = 2;   %個體的變化范圍
popmin = 1;

%% IV. 產生初始粒子和速度
for i = 1:sizepop
    % 隨機產生一個種群
    pop(i,:) = (rands(1) + 1) / 2 + 1;    %初始種群，rands產生(-1,1)，調整到(1,2)
    V(i,:) = 0.5 * rands(1);  %初始化速度
    % 計算適應度
    fitness(i) = fun(pop(i,:));   
end

%% V. 個體極值和群體極值
[bestfitness,bestindex] = max(fitness);
zbest = pop(bestindex,:);   %全局最佳
gbest = pop;    %個體最佳
fitnessgbest = fitness;   %個體最佳適應度值
fitnesszbest = bestfitness;   %全局最佳適應度值

%% VI. 迭代尋優
for i = 1:maxgen

    for j = 1:sizepop
        % 速度更新
        V(j,:) = V(j,:) + c1*rand*(gbest(j,:) - pop(j,:)) + c2*rand*(zbest - pop(j,:));
        V(j,V(j,:) >Vmax) = Vmax;
        V(j,V(j,:)< Vmin) = Vmin;

        % 種群更新
        pop(j,:) = pop(j,:) + V(j,:);
        pop(j,pop(j,:) >popmax) = popmax;
        pop(j,pop(j,:)< popmin) = popmin;

        % 適應度值更新
        fitness(j) = fun(pop(j,:)); 
    end

    for j = 1:sizepop    
        % 個體最優更新
        if fitness(j) > fitnessgbest(j)
            gbest(j,:) = pop(j,:);
            fitnessgbest(j) = fitness(j);
        end

        % 群體最優更新
        if fitness(j) > fitnesszbest
            zbest = pop(j,:);
            fitnesszbest = fitness(j);
        end
    end 
    yy(i) = fitnesszbest;          
end

%% VII. 輸出結果并繪圖
disp([fitnesszbest zbest])
plot(zbest, fitnesszbest,'r*')


figure
plot(yy)
title('最優個體適應度','fontsize',12);
xlabel('進化代數','fontsize',12);ylabel('適應度','fontsize',12);

結果如下

動畫過程