其原因有兩條：一是看似簡單的數學公式可以生成十分復雜的圖像圖形，二是看似十分復雜的圖像圖形可以由簡單的數學公式實現。 顯然這兩句話是一個意思，也并沒有什么營養。

最初我以為笑話里講的“數字里添加的字母”是代數里用的x、y、z。后來我慢慢意識到，罪孽深重最大惡極的sin會導致數學變得更加險惡。 為了洞悉數學的險惡，我曾試圖將數學以圖形圖像的方式顯示出來，并寫過幾個程序DEMO可以利用數學公式轉化成圖形圖像。DEMO發在葉飛影 - 博客園里，有興趣可以去看看。現在很多數學軟件都有類似的功能，我只是習慣用自己的這套邏輯，自得其樂而已。文中所發的圖片都是從我寫的程序DEMO中截屏出來的。 1

正弦波

提到“波”這個詞，我第一會想到波波，第二則想到正弦sin。很容易畫出函數y=sin(x)的圖形：



正弦波

我有個大學同學曾經說過：“人生就像一條正弦波，有時在波峰，有時在波谷。我現在正處于波谷，但我相信將來不久，我就會爬上波峰。” 然而，這個比喻并不準確，否則人生就不會起起落落落落落落落落......了。我覺得更準確的比喻是：人生就像若干條正弦波的疊加，你永遠不知道自己下一步是起還是落。



看看這個正弦波疊加函數： y = sin(x) + sin(x*2)/2 + sin(x*4)/4 + sin(x*8)/8 + sin(x*16)/16 + sin(x*32)/32 + sin(x*64)/64 + sin(x*128)/128

有規律的正弦波疊加 該函數由8個正弦波疊加組成，每個波有它的振幅和頻率。然而世事無常，每個波的振幅和頻率決不會那么地有規律，如果用隨機數設置這8個波的振幅和頻率，可以得到如下圖像：



隨機的正弦波疊加 現在問題來了，隨意選中圖像所繪曲線上的一點，該如何判斷該點將來是漲還是跌？漲又能漲多少？跌又能跌多少？這只有知道每個正弦波的振幅和頻率才能知道。小時候看電視劇《大時代》，里面講炒股要追“勢”，將股票的波動曲線析構成一個個的“勢”的作用結果。通過對股票波動曲線的研究，分析出每個“勢”的大小和周期，以此漲勢則買入，跌勢則賣出，無往不利。

然而單看這么一根根屌絲一樣的曲線，我是沒有辦法得到振幅和頻率的具體數值，我甚至連有幾個正弦波都看不出來。理論是美好的，現實是殘酷的，我斷然沒有這方面的才能，所以不敢踏入股市。就如同我知道一點點概率論的知識（投入值大于期望值八成會虧本），就不敢買彩票一樣。 加大正弦波的振幅，加快正弦波的頻率，可以生成類似下面這樣的圖像：



波動圖

是不是感覺有點亂糟糟的，還可以更亂嗎？當然可以！ 看看函數：y = fract(sin(x)*1000000.0)。fract是對實數忽略整數位只取小數位的操作。這個函數的圖像如下：



隨機圖

這個函數的用處就是為了生成隨機數。當然真正大神寫的隨機數生成的函數是： y = fract(sin(x*12.9898)*43758.5453123)。

至于為什么設置12.9898和43758.5453123這兩個常數值，我也不知道呀！大神的思維不是我等凡人所能理解的，我只知道如果設置了其他數，生成的數值可能就不夠隨機了。 2

二維三維......

題目提到的方程是個二元方程，對應的圖形是個二維圖形。我們先從簡單的來講： 函數y = sin(x)擴展到二維可以是z = sin(x) + sin(y),也可以是z = sin(x + y)，還可以是z = sin(x）*sin(y)、z = sin(x * y)。

每一個函數都是讓人頭暈目炫，憑我怎么去想，也想不清晰這些函數應該是什么樣。

有一天晚上，我半夜醒來睡不覺，就閉著眼睛想z = sin(x) + sin(y)這個函數應該是什么樣，這貨應該是圓的還是方的呢？怎么都想不清楚，第二天早上，起來用程序畫了一下。OK，原來它是這個樣子的：



z = sin(x) + sin(y) 加點偽彩顏色后，看讓去不會那么讓人眼暈：



z = sin(x) + sin(y) 原來這貨是既圓又方，這圖像真讓人眩暈，如果那晚我能想象出這個函數的圖像，應該會很快再度安然入睡。。 方程sin(x) + sin(y) = 1的圖像：



sin(x) + sin(y) = 1 方程sin(x) + sin(y) = 0的圖像：



sin(x) + sin(y) = 0 如果再增加一維，函數變為：w = sin(x) + sin(y) + sin(z)，這就有點難畫了。

這是個三維函數，屬于體素數據，是個實心的。

要看體素的內部數值，可以使用體繪制，但我只有顯示其切片的辦法。當然切片不一定是平面，可以用個曲面來切，將切到的數值以顏色的形式顯示出來。

下圖為用一個半徑為40的球體切割函數w = sin(x) + sin(y) + sin(z)，然后把數值轉化成灰度，得到的圖形：



w = sin(x) + sin(y) + sin(z) 灰度圖看著不爽，加點偽彩顏色瞧瞧：



w = sin(x) + sin(y) + sin(z) 球看著也不爽，既然z = sin(x) + sin(y)可以生成一個平面地形高度圖形，那么就可以用w = sin(x) + sin(y) + sin(z)生成一個星球高度圖形：



w = sin(x) + sin(y) + sin(z)



w = sin(x) + sin(y) + sin(z) 如果你們還想知道四元及以上的可視化效果，諸如：k = sin(x) + sin(y) + sin(z) + sin(w)，我也沒辦法啊！四維世界的險惡，我做為三維世界的生物根本看不到，也想不懂。 3

sin(x2)+sin(y2)=1

話題回到問題中的方程上。先看函數y = sin(x2)，我們可以很容易畫出它的圖像：



y = sin(x2) 然后將一元變量的函數擴展到二元變量：z = sin(x2)+sin(y2) 可以將該函數以地形高度圖的方式進行顯示：



正面



反面

然后用平面z = 1橫切該地形，就可以得到方程sin(x2)+sin(y2)=1的圖像：



sin(x2)+sin(y2)=1 不過我更愿意將z轉化成一個像素值而不是高度值，下圖為將z轉化成灰度值生成的一幅黑白圖像：



灰度圖 可以將z = 1的區域用紅色標識一下：



灰色圖+勾勒sin(x2)+sin(y2)=1 既然是灰度值，就可以對其做偽彩調色，以生成更漂亮的彩色圖像：



偽彩圖1



偽彩圖2



偽彩圖3

再增加一維，函數變為：w = sin(x2) + sin(y2) + sin(z2)。下圖為用一個半徑為10的球體切割得到的圖形：



w = sin(x2) + sin(y2) + sin(z2)



w = sin(x2) + sin(y2) + sin(z2)



w = sin(x2) + sin(y2) + sin(z2)



w = sin(x2) + sin(y2) + sin(z2) 最后，大家想不想看看方程sin(x2)+sin(y2)+sin(z2)=1的圖形效果？圖形中含有很多可愛的激凸喲！



數值范圍(-2.2, 2.2)



數值范圍(-3.3, 3.3)



數值范圍(-4.15, 4.15)



數值范圍(-10, 10)



數值范圍(-10, 10) 當然也有方程sin(x2)+sin(y2)+sin(z2)=0的圖形效果，密集恐懼癥患者的福利：



數值范圍(-6, 6)



數值范圍(-10, 10)

審核編輯：劉清