一．亨利·喬治·布克阻抗關系式

亨利·喬治·布克（Henry George Booker, 1910-1988） 先生系出劍橋學術名門，師爺愛德華·維克多·阿普爾頓爵士因無線電物理學（Radio Physics）研究獲1947年度諾貝爾物理學獎；導師約翰·阿什沃斯·拉特克利夫在劍橋大學享有崇高聲譽，他寫的書籍和論文是清晰闡述的典范，在使用英語進行科學解釋方面，無人能出其右；師弟馬丁·賴爾爵士因射電天文學 （Radio Astronomy）研究獲1974年度諾貝爾物理學獎。二戰期間布克與師弟馬丁都在英國電信研究所從事無線電波傳播與天線相關研究工作。 布克于1941年就完成了將光學中的巴比涅原理拓展到電磁學領域的工作，因為當時二戰戰事正酣，出于保密的原因，成果僅在英國電信研究所內部以機密的形式傳閱。布克于二戰結束后1946年正式公開發表了電磁學巴比涅原理及適用于互互補電磁結構的阻抗關系式1。該關系式如公式（1）所示

Z1×Z2 = Z02/4,

（1）

其中 Z0代表自由空間波阻抗約等于 377 歐姆，Z1與Z2分別代表互互補電磁結構的輸入阻抗。公式（1）后來被稱之為布克關系式，它表明互互補電磁結構的輸入阻抗之積可以是一個常量，與激勵信號的頻率無關。在天線領域，偶極子天線和與之對應的縫隙天線是典型的互互補電磁結構。

二．蟲明康人阻抗關系式

蟲明康人（Yasuto Mushiake, 1921-2020）先生畢業于日本東北大學，師從著名天線專家宇田慎太郎。宇田是八木-宇田天線的主要發明者。蟲明康人先生也獨立地推導出公式（1），他因沒能占先發表而感到沮喪。后來經過進一步思考，蟲明康人于1948年正式公開發表了公式（2）

Zi=Z1= Z2= Z0/2.

（2）

公式（2）后來被稱之為蟲明康人關系式2，它表明自互補電磁結構的輸入阻抗Zi可以是一個常量，與激勵信號的頻率無關。在天線領域，雙臂平面等角螺旋天線是典型的自互補電磁結構。 蟲明康人所在的日本東北大學電磁工程研究室近一百年來成果突出，人才輩出。其中一位在該研究室做過本科畢業設計的學生田中耕一先生，后來獲得了2002年度諾貝爾化學獎。蟲明康人老先生受此鼓舞，也期望他提出的自互補原理能受到諾貝爾獎委員會的青睞。

三．拓展亨利·喬治·布克阻抗關系式

作者1990年代初在香港中文大學開始接觸天線，期間面見過時任校長的高錕教授，親耳聆聽過他的教誨。他說過的話 “Miniaturisation of a four-leg bench to a three-leg stool is evolutionary. The university should do something revolutionary." 一直在鞭策著作者，踔厲奮發、篤行不怠。高錕校長是2009年度諾貝爾物理學獎得主。 2021年作者研究現代差分天線與單端口天線之間阻抗關系時，自然地拓展了布克關系式，也給出了嚴格的數學證明，成果發表在2022年2月IEEE天線與傳播匯刊上3。公式（3)-(5）是三種情況下拓展的結果。

Zm × Zhs = (Z1/2) × (Z2/2)= Z02/16,

（3）

Zm × Z2 = (Z1/2) × Z2= Z02/8,

（4）

Z1 × Zhs = Z1 × (Z2/2) =Z02/8.

(5)

公式（3)-(5）中Zm與Zhs分別代表單端口振子及縫隙天線的輸入阻抗，Z1與Z2分別代表差分振子及縫隙天線的輸入阻抗。拓展的布克關系式（3)-(5）都表明兩個天線的輸入阻抗的乘積始終恒定且與激勵信號頻率無關。但必須注意的是，滿足拓展的布克關系式的天線結構之間，電磁學巴比涅原理并不成立。換句話說，滿足電磁學巴比涅原理并不是兩個天線輸入阻抗的乘積與頻率無關的必要條件。

四．利用拓展的布克關系式指導寬帶天線設計

2021年中，束俊博士與作者通過全波仿真與天線實物測試驗證了拓展的布克關系式（3），并利用拓展的布克關系式（3）與（4）指導設計了兩種寬帶天線。成果整理成文章投到IEEE天線與傳播匯刊后，受到三位評審專家一致肯定。文章經過一輪評審與修改后，很快獲得錄用，于2022年11月在IEEE天線與傳播匯刊正式發表4。作為文章的通訊作者，2023年初我被告知，文章獲得編委會推薦，入圍R. W. P. King 論文獎候選名單。下面我將介紹如何利用拓展的布克關系式（4）來指導設計一種寬帶天線。

A. 天線結構

圖 1 示意了天線的幾何形狀和結構。請注意，天線由三角形單極子和雙三角形縫隙組成。天線具有結構簡單，易于加工的優點。為了弘揚我們中華哲學與智慧，我將雙三角形縫隙稱為陰天線，將三角形單極子稱為陽天線，將整體結構稱為陰陽天線。我將說明互耦在設計中起著至關重要的作用。互耦可以被認為是中華哲學陰陽符號中白色區域內的黑點和黑色區域內的白點。需要提及的是，蟲明康人自互補天線不涉及任何互耦，因為自互補天線就一個端口2，布克互互補天線也不涉及任何耦合，因為互互補天線是各自孤立的天線1。

圖 1 陰陽天線的幾何形狀和尺寸示意圖

B. 設計策略

拓展的布克關系式（4）告訴我們陽天線與陰天線必須具有相同的諧振頻率。我們發現按照公式（6)-(9）選擇角度與尺度可以保證它們各自諧振在同一頻率。

a = 60o,

(6)

h = 0.15λ,

(7)

b = 180o ? a,

(8)

l = 2h.

(9)

公式（7）中λ是自由空間中的波長。 考慮到通過SMA連接器更容易在三角單極子的輸入端提供饋電，我們發現采用二端口導納矩陣處理更方便。一與二端口分別位于雙三角形縫最細處與單極子的輸入處，我們可以得到方程（10）與（11）：

Y11V1 + Y12V2 = 0,

（10）

Y21V1 + Y22V2 = I2.

（11）

在三角單極子的輸入處看到的天線輸入導納Yi可由方程(10)與（11）表示為：

Yi =I2/V2 = Y22 – (Y122/Y11)

= (Y11 Y22 – Y122)/Y11.

（12）

為了使天線的輸入與源導納Y0匹配，互導納Y12必須滿足如下方程：

Y12 = ± Sqrt (Y11 Y22 – Y0Y11).

（13）

方程（13）中所需要的互導納Y12，可以通過優化圖1中的參數d得到。

C. 特征模式

陰陽天線有如圖2所示的兩個特征模式。而兩個模式之間的唯一區別是沿著雙三角形縫隙的模式電流流向相反。造成的結果是模式1地板上的有效電流區域大，諧振頻率低；模式2地板上的有效電流區域小，諧振頻率高。圖3是兩個模式在各自諧振頻率處三維輻射方向圖。對比發現兩個模式的輻射方向圖非常相似， 這就意味著陰陽天線的輻射方向圖可以在較寬的頻帶上保持穩定。陰陽天線實測發現分數頻帶寬度可達45%。

模式1 模式2

圖 2 陰陽天線的特征模式

模式1

模式2

圖 3 陰陽天線的特征模式三維輻射方向圖

四．結論

文章簡單地介紹了基于電磁學巴比涅原理的布克關系式與蟲明康人關系式。文章也介紹了作者如何自然地拓展了基于電磁學巴比涅原理的布克關系式。文章的重點是首次指出滿足拓展的布克關系式的天線結構之間，電磁學巴比涅原理并不成立。換句話說，滿足電磁學巴比涅原理并不是兩個天線輸入阻抗的乘積與頻率無關的必要條件。拓展的布克關系式對研發簡單結構的寬帶天線有指導意義。最后，讓我以下表所列天線阻抗關系來結束此文。

表1 普適的天線阻抗關系

審核編輯：劉清