本文首先將介紹在目標跟蹤任務中常用的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）和卡爾曼濾波（Kalman Filter），然后介紹經典算法DeepSORT的工作流程以及對相關源碼進行解析。

目前主流的目標跟蹤算法都是基于Tracking-by-Detecton策略，即基于目標檢測的結果來進行目標跟蹤。DeepSORT運用的就是這個策略，上面的視頻是DeepSORT對人群進行跟蹤的結果，每個bbox左上角的數字是用來標識某個人的唯一ID號。

這里就有個問題，視頻中不同時刻的同一個人，位置發生了變化，那么是如何關聯上的呢？答案就是匈牙利算法和卡爾曼濾波。

• 匈牙利算法可以告訴我們當前幀的某個目標，是否與前一幀的某個目標相同。

• 卡爾曼濾波可以基于目標前一時刻的位置，來預測當前時刻的位置，并且可以比傳感器（在目標跟蹤中即目標檢測器，比如Yolo等）更準確的估計目標的位置。

匈牙利算法（Hungarian Algorithm）

首先，先介紹一下什么是分配問題（Assignment Problem）：假設有N個人和N個任務，每個任務可以任意分配給不同的人，已知每個人完成每個任務要花費的代價不盡相同，那么如何分配可以使得總的代價最小。

舉個例子，假設現在有3個任務，要分別分配給3個人，每個人完成各個任務所需代價矩陣（cost matrix）如下所示（這個代價可以是金錢、時間等等）：

怎樣才能找到一個最優分配，使得完成所有任務花費的代價最小呢？

匈牙利算法（又叫KM算法）就是用來解決分配問題的一種方法，它基于定理：

如果代價矩陣的某一行或某一列同時加上或減去某個數，則這個新的代價矩陣的最優分配仍然是原代價矩陣的最優分配。

算法步驟（假設矩陣為NxN方陣）：

1. 對于矩陣的每一行，減去其中最小的元素

2. 對于矩陣的每一列，減去其中最小的元素

3. 用最少的水平線或垂直線覆蓋矩陣中所有的0

4. 如果線的數量等于N，則找到了最優分配，算法結束，否則進入步驟5

5. 找到沒有被任何線覆蓋的最小元素，每個沒被線覆蓋的行減去這個元素，每個被線覆蓋的列加上這個元素，返回步驟3

繼續拿上面的例子做演示：

step1 每一行最小的元素分別為15、20、20，減去得到：

step2 每一列最小的元素分別為0、20、5，減去得到：

step3 用最少的水平線或垂直線覆蓋所有的0，得到：

step4 線的數量為2，小于3，進入下一步；

step5 現在沒被覆蓋的最小元素是5，沒被覆蓋的行（第一和第二行）減去5，得到：

被覆蓋的列（第一列）加上5，得到：

跳轉到step3，用最少的水平線或垂直線覆蓋所有的0，得到：

step4：線的數量為3，滿足條件，算法結束。顯然，將任務2分配給第1個人、任務1分配給第2個人、任務3分配給第3個人時，總的代價最小（0+0+0=0）：

所以原矩陣的最小總代價為（40+20+25=85）：

sklearn里的linear_assignment()函數以及scipy里的linear_sum_assignment()函數都實現了匈牙利算法，兩者的返回值的形式不同：

import numpy as np 
from sklearn.utils.linear_assignment_ import linear_assignment
from scipy.optimize import linear_sum_assignment




cost_matrix = np.array([
    [15,40,45],
    [20,60,35],
    [20,40,25]
])


matches = linear_assignment(cost_matrix)
print('sklearn API result:
', matches)
matches = linear_sum_assignment(cost_matrix)
print('scipy API result:
', matches)




"""Outputs
sklearn API result:
 [[0 1]
  [1 0]
  [2 2]]
scipy API result:
 (array([0, 1, 2], dtype=int64), array([1, 0, 2], dtype=int64))
"""

在DeepSORT中，匈牙利算法用來將前一幀中的跟蹤框tracks與當前幀中的檢測框detections進行關聯，通過外觀信息（appearance information）和馬氏距離（Mahalanobis distance），或者IOU來計算代價矩陣。

源碼解讀：

#  linear_assignment.py
def min_cost_matching(distance_metric, max_distance, tracks, detections, 
                      track_indices=None, detection_indices=None):
    ...


    # 計算代價矩陣
    cost_matrix = distance_metric(tracks, detections, track_indices, detection_indices)
    cost_matrix[cost_matrix > max_distance] = max_distance + 1e-5


    # 執行匈牙利算法，得到匹配成功的索引對，行索引為tracks的索引，列索引為detections的索引
    row_indices, col_indices = linear_assignment(cost_matrix)


    matches, unmatched_tracks, unmatched_detections = [], [], []


    # 找出未匹配的detections
    for col, detection_idx in enumerate(detection_indices):
        if col not in col_indices:
            unmatched_detections.append(detection_idx)


    # 找出未匹配的tracks
    for row, track_idx in enumerate(track_indices):
        if row not in row_indices:
            unmatched_tracks.append(track_idx)


    # 遍歷匹配的(track, detection)索引對
    for row, col in zip(row_indices, col_indices):
        track_idx = track_indices[row]
        detection_idx = detection_indices[col]
        # 如果相應的cost大于閾值max_distance，也視為未匹配成功
        if cost_matrix[row, col] > max_distance:
            unmatched_tracks.append(track_idx)
            unmatched_detections.append(detection_idx)
        else:
            matches.append((track_idx, detection_idx))


    return matches, unmatched_tracks, unmatched_detections

卡爾曼濾波被廣泛應用于無人機、自動駕駛、衛星導航等領域，簡單來說，其作用就是基于傳感器的測量值來更新預測值，以達到更精確的估計。

假設我們要跟蹤小車的位置變化，如下圖所示，藍色的分布是卡爾曼濾波預測值，棕色的分布是傳感器的測量值，灰色的分布就是預測值基于測量值更新后的最優估計。

在目標跟蹤中，需要估計track的以下兩個狀態：

• 均值(Mean)：表示目標的位置信息，由bbox的中心坐標 (cx, cy)，寬高比r，高h，以及各自的速度變化值組成，由8維向量表示為 x = [cx, cy, r, h, vx, vy, vr, vh]，各個速度值初始化為0。

• 協方差(Covariance )：表示目標位置信息的不確定性，由8x8的對角矩陣表示，矩陣中數字越大則表明不確定性越大，可以以任意值初始化。

卡爾曼濾波分為兩個階段：(1)預測track在下一時刻的位置，(2) 基于detection來更新預測的位置。

下面將介紹這兩個階段用到的計算公式。（這里不涉及公式的原理推導，因為我也不清楚原理(?_?) ，只是說明一下各個公式的作用）

預測

基于track在t-1時刻的狀態來預測其在t時刻的狀態。

在公式1中，x為track在t-1時刻的均值，F稱為狀態轉移矩陣，該公式預測t時刻的x'：

矩陣F中的dt是當前幀和前一幀之間的差，將等號右邊的矩陣乘法展開，可以得到cx'=cx+dt*vx，cy'=cy+dt*vy...，所以這里的卡爾曼濾波是一個勻速模型（Constant Velocity Model）。

在公式2中，P為track在t-1時刻的協方差，Q為系統的噪聲矩陣，代表整個系統的可靠程度，一般初始化為很小的值，該公式預測t時刻的P'。

源碼解讀：

#  kalman_filter.py
def predict(self, mean, covariance):
    """Run Kalman filter prediction step.


    Parameters
    ----------
    mean: ndarray, the 8 dimensional mean vector of the object state at the previous time step.
    covariance: ndarray, the 8x8 dimensional covariance matrix of the object state at the previous time step.


    Returns
    -------
    (ndarray, ndarray), the mean vector and covariance matrix of the predicted state. 
     Unobserved velocities are initialized to 0 mean.
    """
    std_pos = [
        self._std_weight_position * mean[3],
        self._std_weight_position * mean[3],
        1e-2,
        self._std_weight_position * mean[3]]
    std_vel = [
        self._std_weight_velocity * mean[3],
        self._std_weight_velocity * mean[3],
        1e-5,
        self._std_weight_velocity * mean[3]]


    motion_cov = np.diag(np.square(np.r_[std_pos, std_vel]))  # 初始化噪聲矩陣Q
    mean = np.dot(self._motion_mat, mean)  # x' = Fx
    covariance = np.linalg.multi_dot((self._motion_mat, covariance, self._motion_mat.T)) + motion_cov  # P' = FPF(T) + Q


    return mean, covariance

更新

基于t時刻檢測到的detection，校正與其關聯的track的狀態，得到一個更精確的結果。

在公式3中，z為detection的均值向量，不包含速度變化值，即z=[cx, cy, r, h]，H稱為測量矩陣，它將track的均值向量x'映射到檢測空間，該公式計算detection和track的均值誤差；

在公式4中，R為檢測器的噪聲矩陣，它是一個4x4的對角矩陣，對角線上的值分別為中心點兩個坐標以及寬高的噪聲，以任意值初始化，一般設置寬高的噪聲大于中心點的噪聲，該公式先將協方差矩陣P'映射到檢測空間，然后再加上噪聲矩陣R；

公式5計算卡爾曼增益K，卡爾曼增益用于估計誤差的重要程度；

公式6和公式7得到更新后的均值向量x和協方差矩陣P。

源碼解讀：

#  kalman_filter.py
def project(self, mean, covariance):
    """Project state distribution to measurement space.
        
    Parameters
    ----------
    mean: ndarray, the state's mean vector (8 dimensional array).
    covariance: ndarray, the state's covariance matrix (8x8 dimensional).
    Returns
    -------
    (ndarray, ndarray), the projected mean and covariance matrix of the given state estimate.
    """
    std = [self._std_weight_position * mean[3],
           self._std_weight_position * mean[3],
           1e-1,
           self._std_weight_position * mean[3]]
        
    innovation_cov = np.diag(np.square(std))  # 初始化噪聲矩陣R
    mean = np.dot(self._update_mat, mean)  # 將均值向量映射到檢測空間，即Hx'
    covariance = np.linalg.multi_dot((
        self._update_mat, covariance, self._update_mat.T))  # 將協方差矩陣映射到檢測空間，即HP'H^T
    return mean, covariance + innovation_cov


def update(self, mean, covariance, measurement):
    """Run Kalman filter correction step.
    Parameters
    ----------
    mean: ndarra, the predicted state's mean vector (8 dimensional).
    covariance: ndarray, the state's covariance matrix (8x8 dimensional).
    measurement: ndarray, the 4 dimensional measurement vector (x, y, a, h), where (x, y) is the 
                 center position, a the aspect ratio, and h the height of the bounding box.
    Returns
    -------
    (ndarray, ndarray), the measurement-corrected state distribution.
    """
    # 將mean和covariance映射到檢測空間，得到Hx'和S
    projected_mean, projected_cov = self.project(mean, covariance)
    # 矩陣分解（這一步沒看懂）
    chol_factor, lower = scipy.linalg.cho_factor(projected_cov, lower=True, check_finite=False)
    # 計算卡爾曼增益K（這一步沒看明白是如何對應上公式5的，求線代大佬指教）
    kalman_gain = scipy.linalg.cho_solve(
            (chol_factor, lower), np.dot(covariance, self._update_mat.T).T,
            check_finite=False).T
    # z - Hx'
    innovation = measurement - projected_mean
    # x = x' + Ky
    new_mean = mean + np.dot(innovation, kalman_gain.T)
    # P = (I - KH)P'
    new_covariance = covariance - np.linalg.multi_dot((kalman_gain, projected_cov, kalman_gain.T))
        
    return new_mean, new_covariance

DeepSort工作流程

DeepSORT對每一幀的處理流程如下：

檢測器得到bbox → 生成detections → 卡爾曼濾波預測→ 使用匈牙利算法將預測后的tracks和當前幀中的detecions進行匹配（級聯匹配和IOU匹配） → 卡爾曼濾波更新

Frame 0：檢測器檢測到了3個detections，當前沒有任何tracks，將這3個detections初始化為tracks
Frame 1：檢測器又檢測到了3個detections，對于Frame 0中的tracks，先進行預測得到新的tracks，然后使用匈牙利算法將新的tracks與detections進行匹配，得到(track, detection)匹配對，最后用每對中的detection更新對應的track

檢測

使用Yolo作為檢測器，檢測當前幀中的bbox：

#  demo_yolo3_deepsort.py
def detect(self):
    while self.vdo.grab():
  ...
  bbox_xcycwh, cls_conf, cls_ids = self.yolo3(im)  # 檢測到的bbox[cx,cy,w,h]，置信度，類別id
  if bbox_xcycwh is not None:
          # 篩選出人的類別
          mask = cls_ids == 0
        bbox_xcycwh = bbox_xcycwh[mask]
        bbox_xcycwh[:, 3:] *= 1.2
         cls_conf = cls_conf[mask]
            ...

生成detections

將檢測到的bbox轉換成detections：

#  deep_sort.py
def update(self, bbox_xywh, confidences, ori_img):
    self.height, self.width = ori_img.shape[:2]
    # 提取每個bbox的feature
    features = self._get_features(bbox_xywh, ori_img)
    # [cx,cy,w,h] -> [x1,y1,w,h]
    bbox_tlwh = self._xywh_to_tlwh(bbox_xywh)
    # 過濾掉置信度小于self.min_confidence的bbox，生成detections
    detections = [Detection(bbox_tlwh[i], conf, features[i]) for i,conf in enumerate(confidences) if conf > self.min_confidence]
    # NMS (這里self.nms_max_overlap的值為1，即保留了所有的detections)
    boxes = np.array([d.tlwh for d in detections])
    scores = np.array([d.confidence for d in detections])
    indices = non_max_suppression(boxes, self.nms_max_overlap, scores)
    detections = [detections[i] for i in indices]
    ...

卡爾曼濾波預測階段

使用卡爾曼濾波預測前一幀中的tracks在當前幀的狀態：

#  track.py
def predict(self, kf):
    """Propagate the state distribution to the current time step using a 
       Kalman filter prediction step.
    Parameters
    ----------
    kf: The Kalman filter.
    """
    self.mean, self.covariance = kf.predict(self.mean, self.covariance)  # 預測
    self.age += 1  # 該track自出現以來的總幀數加1
    self.time_since_update += 1  # 該track自最近一次更新以來的總幀數加1

匹配

首先對基于外觀信息的馬氏距離計算tracks和detections的代價矩陣，然后相繼進行級聯匹配和IOU匹配，最后得到當前幀的所有匹配對、未匹配的tracks以及未匹配的detections：

#  tracker.py
def _match(self, detections):
    def gated_metric(racks, dets, track_indices, detection_indices):
        """
        基于外觀信息和馬氏距離，計算卡爾曼濾波預測的tracks和當前時刻檢測到的detections的代價矩陣
        """
        features = np.array([dets[i].feature for i in detection_indices])
        targets = np.array([tracks[i].track_id for i in track_indices]
  # 基于外觀信息，計算tracks和detections的余弦距離代價矩陣
        cost_matrix = self.metric.distance(features, targets)
  # 基于馬氏距離，過濾掉代價矩陣中一些不合適的項 (將其設置為一個較大的值)
        cost_matrix = linear_assignment.gate_cost_matrix(self.kf, cost_matrix, tracks, 
                      dets, track_indices, detection_indices)
        return cost_matrix


    # 區分開confirmed tracks和unconfirmed tracks
    confirmed_tracks = [i for i, t in enumerate(self.tracks) if t.is_confirmed()]
    unconfirmed_tracks = [i for i, t in enumerate(self.tracks) if not t.is_confirmed()]


    # 對confirmd tracks進行級聯匹配
    matches_a, unmatched_tracks_a, unmatched_detections = 
        linear_assignment.matching_cascade(
            gated_metric, self.metric.matching_threshold, self.max_age,
            self.tracks, detections, confirmed_tracks)


    # 對級聯匹配中未匹配的tracks和unconfirmed tracks中time_since_update為1的tracks進行IOU匹配
    iou_track_candidates = unconfirmed_tracks + [k for k in unmatched_tracks_a if
                                                 self.tracks[k].time_since_update == 1]
    unmatched_tracks_a = [k for k in unmatched_tracks_a if
                          self.tracks[k].time_since_update != 1]
    matches_b, unmatched_tracks_b, unmatched_detections = 
        linear_assignment.min_cost_matching(
            iou_matching.iou_cost, self.max_iou_distance, self.tracks,
            detections, iou_track_candidates, unmatched_detections)


    # 整合所有的匹配對和未匹配的tracks
    matches = matches_a + matches_b
    unmatched_tracks = list(set(unmatched_tracks_a + unmatched_tracks_b))


    return matches, unmatched_tracks, unmatched_detections




# 級聯匹配源碼  linear_assignment.py
def matching_cascade(distance_metric, max_distance, cascade_depth, tracks, detections, 
                     track_indices=None, detection_indices=None):
    ...
    unmatched_detections = detection_indice
    matches = []
    # 由小到大依次對每個level的tracks做匹配
    for level in range(cascade_depth):
  # 如果沒有detections，退出循環
        if len(unmatched_detections) == 0:  
            break
  # 當前level的所有tracks索引
        track_indices_l = [k for k in track_indices if 
                           tracks[k].time_since_update == 1 + level]
  # 如果當前level沒有track，繼續
        if len(track_indices_l) == 0: 
            continue


  # 匈牙利匹配
        matches_l, _, unmatched_detections = min_cost_matching(distance_metric, max_distance, tracks, detections, 
                                                               track_indices_l, unmatched_detections)


  matches += matches_l
  unmatched_tracks = list(set(track_indices) - set(k for k, _ in matches))
    return matches, unmatched_tracks, unmatched_detections

卡爾曼濾波更新階段

對于每個匹配成功的track，用其對應的detection進行更新，并處理未匹配tracks和detections：

#  tracker.py
def update(self, detections):
    """Perform measurement update and track management.
    Parameters
    ----------
    detections: List[deep_sort.detection.Detection]
                A list of detections at the current time step.
    """
    # 得到匹配對、未匹配的tracks、未匹配的dectections
    matches, unmatched_tracks, unmatched_detections = self._match(detections)


    # 對于每個匹配成功的track，用其對應的detection進行更新
    for track_idx, detection_idx in matches:
        self.tracks[track_idx].update(self.kf, detections[detection_idx])


  # 對于未匹配的成功的track，將其標記為丟失
  for track_idx in unmatched_tracks:
        self.tracks[track_idx].mark_missed()


    # 對于未匹配成功的detection，初始化為新的track
    for detection_idx in unmatched_detections:
        self._initiate_track(detections[detection_idx])


  ...