10.1 電流分布及集膚深度

在估算導線的電阻和電感時，假設電流在導線中是均勻分布的。直流時的情況的確如此，但電流變化時的情況就不總是這樣了。交流時的電流分布大不相同，將會明顯地影響導線的電阻，并對導線的電感產生一定的影響。

直流時，實心銅棒中的電流是均勻分布的。前面在計算磁力線匝數時，重點關注了導線外部的磁力線。事實上，在導線內部也有一些磁力線，它們是自感的一部分，如上圖所示。

導線內部和導線外部的磁力線圈都能影響自感。為了區分它們，我們把自感分為內部自感和外部自感。

內部磁力線圈是穿過導線金屬并受金屬影響的那部分。圓導線的外部磁力線圈并不穿過導線，也不會隨頻率而變化。但是，由于導線內部的電流分布隨頻率而變化，所以導線內部的磁力線圈也將發生變化。

導線中流過單位安培電流時，與電流分布在外表面相比，電流集中在圓柱桿中心時有更多的磁力線和更大的自感。

此時的電流是正弦波，任何頻率分量都是沿最低的阻抗路徑傳播的。電感最大的電流路徑，其阻抗也最大；隨著頻率的升高，高電感路徑的阻抗會變得更大。頻率越高，電流越傾向于選擇電感較低的路徑，即趨向于圓柱桿外表面的路徑。

一般而言，頻率越高，電流越趨向于沿著導線的外表面流動。在某一給定頻率，從導線內部到外部表面有特定的電流分布。這取決于電阻性阻抗與感性阻抗的相對大小。電流密度越集中，電阻性阻抗上的壓降就越大。但是頻率越高，內部路徑和外部路徑感性阻抗的差別就越大。這樣的權衡意味著電流分布隨頻率而變化，并且在高頻時，所有電流會趨向于導線表面的那一薄層。

對于實際導線中的電流分布，只有為數不多的一些幾何結構有很好的近似，圓柱體是其中之一。對于每個頻率點，從導線表面到導線中心，電流分布呈指數下降，在這種幾何結構中，可以把電流層近似成有固定厚度δ的均勻分布，并稱該等效厚度為 集膚深度 ，它取決于頻率、金屬的電導率和磁導率，即：

其中，δ表示集膚深度，σ表示金屬的電導率，μ_0表示自由空間的磁導率，μ_r表示導線的相對磁導率，f表示正弦波頻率。

銅的電導率為5.6×10^7S/m，相對磁導率為1，它的集膚深度近似為

在1MHz時，銅的集膚深度為66μm。對于1盎司銅線，當電流正弦波頻率高于10MHz時，電流分布取決于集膚深度而不是橫截面的結構。當低于10MHz時，電流是均勻分布的，且與頻率無關。當集膚深度小于橫截面幾何厚度時，電流分布、電阻和回路電感開始與頻率有關。

經驗法則 ：當電路板上的銅線為1盎司或者幾何厚度為35μm時，若頻率大于等于10MHz，則導線中的電流不再占用線條的整個橫截面，趨膚效應在電流分布中起主導作用。

在實際的互連中，通常有信號路徑和返回路徑。由于電流回路沿信號路徑和返回路徑傳播，回路自感影響著電流所感受到的阻抗。隨著頻率升高，回路自感的阻抗變大，導線中的電流將選擇阻抗最小即回路自感最小的路徑而重新分布。回路自感最小時電流是如何分布的?

以下兩種效應都會出現：電流在導線內會向外擴散開，兩條導線中的電流重新分布以使兩個電流相互靠得更近。兩種力量的平衡決定了每條導線中的電流的確切分布。每條導線中的電流都會盡量向周邊擴散開，以減小局部自感。與此同時，兩條導線中的電流又會盡可能地擠近，以增大局部互感。

集膚深度小于橫截面的幾何厚度時，隨著頻率的升高，電流流過的橫截面積隨頻率的平方根成比例減小，從而使導線的單位長度電阻隨頻率的平方根成比例增大。

以簡單的微帶線為例，假設微帶線由1盎司銅構成，寬為5mil。在直流時，信號路徑的單位長度電阻為R_DC=ρ/ωt，R_DC表示直流時的單位長度電阻，ρ表示銅的體電阻率，ω表示信號線的寬度，t表示信號線的幾何厚度。

在頻率約高于10MHz時，電流受集膚深度的限制，電阻與頻率有關。此時電流實際所用的導線厚度約等于集膚深度，所以高頻時的電阻實際上就是R_HF=ρ/ωδ，R_HF表示高頻時的單位長度電阻，δ表示高頻時銅的集膚深度。當頻率更高時，電阻大致隨頻率的平方根而增大。

電流隨著頻率的升高而重新分布，直接造成電阻隨頻率而升高。由于促使電流重新分布的動力是追求回路電感的減小，所以回路自感必將隨頻率的升高而減小。

直流時，導線的自感由外部自感和內部自感兩部分組成。當導線中的電流重新分布時，外部自感不變；隨著越來越多的電流向導線表面移動，內部自感越來越小。當電流頻率遠高于集膚深度約等于導線幾何厚薄的這個頻率時，導線內部的電流會非常小，而內部自感此時幾乎為零。

可以推測導線的自感與頻率有關。低頻時的導線自感等于L_internal+L_external，高頻時的導線自感等于L_external。這種轉變應當從集膚深度與導線幾何厚薄相當時的這個頻率開始顯現，并且從集膚深度只占幾何厚薄很小一部分時的這個頻率起，基本趨于穩定。

微帶線回路自感，通常是指所有電流都跑到外表面的高頻界限的情況。如果電流靠近導線表面而且與導線幾何厚薄無關，這一頻率就是趨膚效應的界限，“高頻”是指高于這一界限的頻率。

10.2 高磁導率材料

導體的磁導率是影響集膚深度的重要參數，磁導率高的金屬只有少數幾種。磁導率是指導體與磁力線圈之間的相互作用，大多數金屬的磁導率為1，所以它們對磁力線圈沒有影響。

當磁導率大于1時，金屬內的磁力線匝數比磁導率為1時更多。只有3種金屬的磁導率大于1，它們是鐵磁體金屬：鐵、鈷和鎳。大多數含有這些金屬合金的磁導率都遠大于1。我們最熟悉的鐵氧體中常含有鐵和鈷，其磁導率大于1000。合金42和科瓦合金(Kovar)這兩種鐵磁體是重要的互連金屬，其磁導率為100～500。用這些高磁導率金屬制成的互連，它們的電阻及電感值與頻率有很大的關系。

對于鐵磁體導線而言，直流時它的自感包括內部自感和外部自感兩部分。外部自感所對應的磁力線圈穿過的是磁導率為1的空氣，所以鐵磁體導線的外部自感保持不變，與銅導線時的情況一樣?？傊?，單位安培電流時的外部磁力線是相同的。

但是，鐵磁體導線的內部磁力線穿過的是高磁導率材料，這時磁力線會激增。低頻時，鐵磁體導線的電感非常大，但當頻率約高于1MHz時，所有磁力線中只剩下外部磁力線，其回路自感和相同尺寸的銅導線的回路自感相當。

超過集膚深度極限時，回路電感幾乎僅由外部磁力線構成，所以鐵磁體導線中的高頻信號感受到的回路電感與銅導線的回路電感大致相當。

在相同頻率下，鎳導線中的電流橫截面要比相同幾何結構的銅導線的薄得多，集膚深度約為銅的1/5。另外，體電阻率也比較高，這導致串聯電阻更大。鎳導線的電阻是同頻率下銅導線電阻的10倍；很明顯，鎳導線的電阻隨著頻率的平方根而增大，這正是趨膚效應限制下電流分布的特點。與一般非鐵磁體的引線相比，合金42和科瓦合金引線的高頻電阻就顯得很高。

這就是有時在合金42引線上鍍銀以減小其高頻電阻的原因。在外表面使用非鐵磁體導線，以便傳輸高頻電流。讓最高的頻率分量途經集膚深度更大和電導率更高的材料。

10.3 渦流

如果兩個導體中有一個導體的電流改變，那么另一個導體的兩端會產生感應電壓，此感應電壓會形成電流。換言之，當其中一個導體的電流變化時，第二個導體中會產生感應電流，我們稱這種電流為 渦流 （ 鏡像電流 ）。

舉一個最簡單的例子，金屬平面上方有條圓導線，該金屬平面可以是任何導體并可能懸浮有任何電壓。至于電壓是多大或平面又與什么相連，都不重要，重要的是它能夠導電而且是連續的。

當導線中有電流時，一些磁力線就會穿過導電平面，導線與平面之間就會存在互感。當導線中的電流變化時，穿過平面的磁力線也會發生變化，并在平面上產生感應電壓，而此電壓又激起了渦流，這些渦流反過來又會產生自己的磁力線。

渦流與實際電流大小相等，方向相反，而且渦流的一些磁力線會環繞在實際電流周圍。不過，由于兩電流方向相反，在實際電流的磁力線中要減去渦流的磁力線。

源于渦流的互磁力線圈將減小導線的總電感，實際上就是減小了導線的局部自感。如果電流回路在懸空的導電平面上方，而且二者絕對沒有任何的電氣連接，僅僅是平面的存在就已減小了回路的回路電感。

導線離平面越近，離渦流就會越近，它們之間的互感也就越大，從而實際電流的局部自感就越小。下面的懸空平面越近，平面中產生的渦流就越大，信號路徑的自感也就越小。