一 正弦波幅度分布的概率密度

圖1

所謂在正弦波取值范圍（-A，A）內取到某個值V的概率密度p(V),是指取到V的某個鄰域內的點的概率p(V，dV)與鄰域寬度dV之比在dV趨向于0時的極限，即

顯然，p(V，dV)等于該鄰域所對應的橫坐標范圍d(ωt)與全值范圍（-A，A）所對應的橫坐標長度π之比（如圖1所示）,即

二 正弦波作為輸入時ADC輸出碼的概率分布

取值在V1到V2之間的概率P(V1,V2)為

需要注意的是，在用上式計算概率時，務必使V1/A處于[-1,1]區間內。

對于理想的全差分ADC來說，假設輸入信號范圍為[-VREF,VREF]，則輸出碼i∈[0~2^N-1]所對應的概率為

其中量化步長

。

獲得p(i)分布的matlab代碼如下：

p(i)的分布圖示例：（N=8,10,12,14）

把上面紅線部分拉開看

大寫的Amazing！

三 ADC DNL測試結果呈虹狀弧線的理論解釋

實際計算DNL時所用的公式為

式中N(i)為實際得到的histogram中第i個code碼出現的次數，即第i個bin的高度，NS為樣本點的總數，p(i)Ns為第i個code出現次數的期望值（理想ADC code i應出現的次數）。由于噪聲或其他因素導致每個bin的高度最有可能出現±1的誤差，體現在DNL上的誤差為：

由code碼概率分布可知，中間code出現的概率遠小于兩邊code碼的概率（例如N=12時，p(2^N-1)/p(2^(N/2)-1)=64;N=14時，p(2^N-1)/ p(2^(N/2)-1)=128！）,因此 ΔDNL(i)也遵循著同樣的規律，即中間最大，向兩邊遞減，呈虹狀弧線（如圖X所示），并且隨著Ns的增大，虹狀弧線逐漸減小直至消失。

圖X

四 實例演示樣本點數對DNL圖的影響

以一個12bit、切換方式為MCS的SAR ADC為例，作圖演示樣本點數分別為2^17、2^18、2^19時，DNL圖樣的變化：

N=131072，虹狀弧線明顯

N=262144，虹狀弧線減弱

N=514188，虹狀弧線基本消失

附 DNL作圖代碼

說明：出于知識產權，這里并沒有加入DAC mismatch模型，而是在輸入信號里加了高斯噪聲以產生可觀的DNL圖像。

附 SAR ADC建模代碼