本文在二維極坐標下建立了在定子齒上開輔助槽的表貼式永磁電機空載時的磁場解析模型。如圖1所示,電機被分為5個求解子域:子域Ⅰ(永磁體),子域Ⅱ(氣隙),子域Ⅲ(電樞槽),子域Ⅳ(電樞槽開口),子域Ⅴ(輔助槽)。以矢量磁位為位函數,在各個子域建立拉普拉斯方程或泊松方程,推導了電機空載時相關性能參數的計算公式。然后,以一臺32極48槽的電動車用表貼式外轉子輪轂永磁電機為例,通過有限元法和齒槽轉矩實驗對該解析模型的有效性和精確性進行了驗證,并基于該解析模型對影響該輪轂電機齒槽轉矩的相關參數進行了優化,削弱了齒槽轉矩。

1 解析模型

1.1 基本假設

本文以外轉子表貼式永磁電機進行模型推導和計算,該模型也同樣適用于內轉子永磁電機。圖1所示為表貼式永磁電機的1/4截面示意圖。為了便于分析,需做以下假設:

(1)定、轉子鐵芯材料的磁導率無窮大;

(2)在二維平面內,忽略電機的端部效應;

(3)永磁體的退磁特性為線性;

(4)定子槽、槽開口、輔助槽均為形狀規則的徑向扇形結構,如圖1所示;

(5)假定永磁體之間間隙的相對磁導率與永磁體的相同,永磁體的相對磁導率μr≠1。

圖1 永磁電機各子域的符號和定義

在圖1中:將二維極坐標系(r,θ)固定在定子上,且規定齒的中心線位置為θ=0°;θ0為轉子在最初位置時磁極的N極中心線與定子(θ=0°)的夾角;ωr為轉子的旋轉角速度;βsa為電樞槽寬角;βoa為電樞槽開口寬角;βxa為輔助槽寬角;dij為第i個槽兩側的第j個輔助槽中心線距槽中心位置的寬度角;θi為第i個槽和槽開口的中心位置:θi=2π/Ns(i-1/2),其中Ns為電機槽數;θij為第i個電樞槽對應的第j個輔助槽的中心位置,θij=θi+dij。

1.2 各子域的矢量磁位方程

磁場與矢量磁位的關系為

2A=-×B

(1)

在二維平行平面場中,矢量磁位A僅有z方向分量,故有

Azy=Azyez

(2)

可得各子域的矢量磁位方程為

(3)

式中:Azy為矢量磁位,下角標y代表不同子域。

1.3 永磁體子域

在永磁體區域中,剩余磁化強度M可表示為

M=Mrr+Mθθ

(4)

式中:Mr和Mθ是永磁體剩余磁化強度的徑向和切向分量[15]。

由于轉子鐵芯的磁導率為無窮大,故沿著轉子軛(r=Rr)邊界滿足條件

(5)

通過分離變量法,利用以上邊界條件求得永磁體子域的矢量磁位表達式為

(6)

式中

(7)

Mθck、Mθsk、Mrck、Mrsk可參見文獻[15];B1、D1是需要求解的諧波系數;k為諧波階次。

1.4 氣隙子域

通過分離變量法,求得氣隙子域的矢量磁位

(8)

式中:A2、B2、C2、D2為待求解的氣隙子域的諧波系數。

1.5 電樞槽子域

由于鐵芯磁導率為無窮大,所以電樞槽子域的2個邊界和處的邊界條件為

(9)

沿著電樞槽底部的邊界滿足

(10)

根據分離變量法以及式(9)和式(10)的邊界條件,可求得第i個槽子域的矢量磁位表達式為

(11)

式中

(12)

A3i0、A3i是待求解的諧波系數;n為諧波階次。

1.6 槽開口子域

槽開口子域2個邊界和處的邊界條件為

(13)

通過分離變量法解得第i個槽開口子域的矢量磁位通解為

(14)

式中

Fm=mπ/βoa

(15)

A4i0、B4i0、A4i和B4i是待求解的諧波系數;m為諧波階次。

1.7 輔助槽子域

輔助槽子域的2個邊界和處的邊界條件為

(16)

沿著槽底部的邊界滿足

(17)

根據分離變量法以及式(16)和式(17)的邊界條件,可求得第(i-1)Nx+j個輔助槽子域的矢量磁位通解為

(18)

式中

(19)

A5ij0、A5ij是待求諧波系數;Nx為每齒上的輔助槽數;x為諧波階次。

2 根據分界面條件求解諧波系數

根據徑向磁通密度連續性和切向磁場強度連續性,可得各子域之間的分界面條件,進而求解諧波系數。矢量磁位與磁通密度的關系為

(20)

2.1 永磁體子域和氣隙子域的分界面(r=Rm)

永磁體子域和氣隙子域分界面(r=Rm)的條件為

Az1|r=Rm=Az2|r=Rm

(21)

H1θ|r=Rm=H2θ|r=Rm

(22)

根據子域1、2中磁通密度B與磁場強度H的關系,式(22)可變換為

(23)

2.2 電樞槽開口子域和氣隙子域的分界面(r=Rs)

由于定子鐵芯的磁導率為無窮大,所以沿著電樞槽開口子域和氣隙子域的分界面(r=Rs),在[0,2π]整個圓周的切向磁通密度分布函數為

(24)

故該分界面的條件為

(25)

2.3 電樞槽子域和電樞槽開口子域分界面(r=Rt)

沿著電樞槽子域和電樞槽開口子域分界面(r=Rt),在電樞槽子域范圍(θi-βsa/2≤θ≤θi+βsa/2)的切向磁通密度分布函數為

(26)

故該分界面的條件為

(27)

將以上得到的各子域之間的分界面條件作傅里葉級數展開(見附錄A),并聯立方程組,可求得前述各個子域的諧波系數。

3 磁場解析計算與驗證

以一臺32極48槽的電動車用外轉子表貼式永磁輪轂電機為研究對象,其參數如下:極數2p=32,槽數Ns=48,槽寬角βsa=3.79°,充磁方式為徑向,齒尖邊緣高(Rs-Rt)=2 mm,軸向長度la=40 mm,槽底半徑Rsb=104.5 mm,額定轉速為600 r/min,槽開口底部半徑Rt=140.3 mm,永磁體厚度為6.3 mm,槽開口頂部半徑Rs=142.3 mm,磁通密度Br=1.2 T,永磁體表面半徑Rm=143.5 mm,永磁體磁導率μr=1.05,轉子軛內表面半徑Rr=149.8 mm,槽開口寬度角βoa=1.39°,極弧系數αp=0.7,并聯支路數為16,初始位置角θ0=5.625°,節距為1,每相匝數為523,額定功率為10 kW,額定轉矩為160 N·m。在MATLAB軟件中進行編程求解析解時,諧波階次分別取:k=400,m=5,n=10,x=5(開輔助槽時)。

3.1 氣隙子域的磁通密度分布

根據式(20)可求得徑向磁通密度

sin(kθ)+

(28)

切向磁通密度

(29)

將通過分界面條件求解得到的氣隙子域的諧波系數A2、B2、C2、D2代入式(28)和(29),得

(30)

(31)

式中:χrsk、χrck、χαsk、χαck是半徑為r的圓周上氣隙磁通密度徑向和切向分量的各次諧波幅值。

圖2為電機空載時氣隙中心位置r=(Rm+Rs)/2處的徑向、切向磁通密度的解析解與有限元解,從中可以看出,解析解與有限元解吻合良好,驗證了解析模型的有效性和精確性。

圖2 磁通密度有限元解和解析解的對比

3.2 反電動勢

假設電樞槽中的繞組均勻分布,由于每個槽中左、右放置了2個線圈邊,則2個線圈邊的磁鏈計算公式為

(32)

(33)

(34)

(35)

式中:Nc為線圈的匝數;S為電樞槽內一個線圈邊的面積;d為每個線圈邊所占的周向弧度。

三相繞組線圈在槽中的分布可定義為矩陣

(36)

(37)

式中:C為電機的繞組分布矩陣;w為單元電機數。

所以,每相的總磁鏈為

(38)

反電勢為

(39)

圖3和圖4分別為電機在額定轉速為600 r/min時C相的空載磁鏈和空載反電動勢變化,解析解與有限元解同樣吻合得較好,進一步證明了本文解析模型的有效性和精確性。

圖3 電機轉速為600 r/min時的空載C相磁鏈變化

圖4 電機轉速為600 r/min時的空載C相反電動勢變化

3.3 齒槽轉矩

齒槽轉矩由永磁體和電樞鐵芯之間的相互作用產生。采用麥克斯韋張量法計算齒槽轉矩,取氣隙子域中心位置處的圓周為積分路徑

(40)

齒槽轉矩表達式為

(41)

式中:la為電機的軸向長度。

由式(41)可知:精確的氣隙磁通密度是精確計算齒槽轉矩的關鍵;只有氣隙磁通密度的徑向和切向分量中的同階次的諧波相互作用才能產生齒槽轉矩。

圖5所示為齒槽轉矩在1個周期內的解析解、有限元解及實驗結果的對比,可見三者的吻合程度較高,再次證明了解析模型的有效性和精確性。圖5中的齒槽轉矩實驗值是在測試系統將轉速控制為2 r/min時,由扭矩轉速測量儀測得的。

圖5 電機轉速為2 r/min時的齒槽轉矩

4 齒槽轉矩的削弱

前面計算了永磁電機的空載性能,證明本文的解析模型有效且精度較高。因此,下面基于該解析模型對電機的齒槽轉矩進行優化。

4.1 輔助槽寬度和深度對齒槽轉矩的影響

研究發現,定子齒上開1、3、4或5個輔助槽均不能降低齒槽轉矩,只有開2個輔助槽時能夠削弱齒槽轉矩。本文的解析模型也可用于研究設置任意位置和數量的輔助槽。圖6所示為在定子齒上均勻對稱開有2個輔助槽(即dij=±2.82°)時,齒槽轉矩峰值隨輔助槽寬度和深度的變化。從圖中可以看出,齒槽轉矩峰值幾乎不隨輔助槽深度而變化,當輔助槽寬度與電樞槽開口寬度的比值為0.6時齒槽轉矩最小,為3.025 N·m,相比不開輔助槽時的齒槽轉矩峰值3.6 N·m減小了16.6%。

圖6 解析預測的輔助槽寬和槽深對齒槽轉矩峰值的影響

4.2 極弧系數和電樞槽開口寬度對齒槽轉矩的影響

圖7所示為不開輔助槽時齒槽轉矩峰值隨極弧系數和電樞槽開口寬度的變化,從中可以清晰地看出:當極弧系數確定時,齒槽轉矩峰值基本上都是隨著電樞槽開口寬度的增加而變大,只有當極弧系數為0.75時,趨勢才是相反的;當極弧系數為0.7、電樞槽開口寬度為0.02 rad時,齒槽轉矩最小,為2.851 N·m。

圖7 解析預測的極弧系數和電樞槽開口寬度對齒槽轉矩峰值的影響

4.3 最優點驗證

根據以上利用解析模型得到的電機各參數的最優值進行解析計算,并利用有限元法進行驗證。

圖8 電機轉速為2 r/min時的齒槽轉矩

圖8為優化后的齒槽轉矩,從中可以看出,優化后的齒槽轉矩峰值為2.26 N·m,相比優化前的3.6 N·m降低了37.2%。圖9為優化后的開有2個輔助槽時的氣隙磁通密度分布,與圖2相比,輔助槽尺寸、極弧系數和槽開口寬度的改變對磁通密度的影響并不大,但是可以有效削弱齒槽轉矩,說明基于本文解析模型的永磁電機齒槽轉矩優化合理有效。由圖8和圖9可知,解析解與有限元解高度吻合,證明本文提出的帶輔助槽永磁電機解析模型是精確和有效的。

圖9 有限元法和解析法預測的氣隙磁通密度波形

5 結束語

本文在二維極坐標下建立了一個定子齒上開有輔助槽的表貼式永磁電機的解析模型,考慮了電機的不同充磁方式、不同極槽配合和內、外轉子結構;以一臺表貼式外轉子輪轂永磁電機為研究對象,計算了該電機的空載氣隙磁通密度分布、齒槽轉矩、磁鏈和反電動勢,并通過有限元法和齒槽轉矩實驗驗證了該解析模型的有效性和精確性;基于解析模型對影響該電機齒槽轉矩的相關參數進行了研究和優化。最后,以優化后的參數對該電機的空載氣隙磁通密度和齒槽轉矩進行了解析計算和有限元計算,兩者的計算結果高度吻合,而且有效削弱了齒槽轉矩,進一步證明了本文所建立的解析模型的精確性和有效性。該模型不僅計算快、精度高,而且便于通過改變參數來研究電機的性能,有望為表貼式永磁電機的優化與設計提供一種便捷的工具。

審核編輯：湯梓紅