4.1 正弦量

一、時變電壓和時變電流

時變電壓和時變電流：隨時間不斷變化的電壓和電流。

瞬時值：時變電壓和時變電流在任一時刻的數值，用 u(t)和i(t) 來表示，解析式是一個時間函數。

圖1

周期量：每個值在經過相等的時間間隔后循環出現的時變電壓和電流，對應周期性函數。這個最小的相等的時間間隔稱為周期，一般用符號T來表示。周期的倒數稱為頻率，用f來表示；

稱為角頻率

圖2

交變量：考慮一個周期內波形面積平均值為零的時變電壓或時變電流。

圖3

二、正弦量的三要素

正弦量：隨時間按照正弦（余弦）規律變化的交流量，解析式是一個正弦函數表達式。

設正弦電流

正弦量的三要素：幅值(決定大小)、角頻率（決定變化快慢）、初相位（決定初始位置）。

1.幅值：交流電的最大瞬時值稱為幅值或最大值，如 Im 。幅值必用大寫字母下標加 m來表示。

表征正弦量變化快慢的三個參數：

①周期 T：變化一周所需的時間。單位：秒(s)

②頻率 f：每秒變化的次數。單位：赫茲(Hz)

③角頻率ω：每秒變化的弧度。單位：弧度/秒(rad/s)

三者間的關系：

電網頻率（工頻）：我國：50Hz；美國和日本：60Hz 無線通信頻率：30 kHz ～ 30GMHz

相位和初相位:

三、相位差

1.相位差 φ ：兩個同頻率正弦量間的相位之差，即初相位之差。

2.兩個正弦量的相位關系

需要強調的是：對不同頻率的正弦量進行比較沒有意義。兩個同頻率正弦量之間的相位差為常數，和頻率以及計時起點的選擇無關。

規定：相位差的絕對值不超過π。

四、正弦量的有效值

1.有效值：如果一個周期電流 i 通過一個電阻 R , 在一個周期 T 內消耗的熱能等于直流電流 I 在同樣時間內通過該電阻 R 消耗的能量 , 則I 定義為 i 的有效值。用無下標的大寫字母表示。

2.正弦量的有效值與最大值關系

一般交流電壓表和電流表測量的數據均為有效值；無特殊說明，交流設備銘牌標注的電壓、電流也是有效值。

對于正弦交流電路，電路中各部分的電壓、電流瞬時大小都是隨時間按照正弦規律變化的。我們在中學學過正弦函數的運算，在時域里，正弦量的加減乘除是非常麻煩的，不利于對正弦交流電路的分析。另外，對于電感、電容這樣的儲能元件伏安特性要用微分形式，電路的時域方程是微分方程。微分方程求解，即使是一階、二階微分方程都太難了，更不要講高階微分方程。

科學們想到了一種方法，那就是相量法，用一個復數（相量）來表示一個正弦量，將電路的時域形式映射到頻域。在頻域里，正弦交流電路的方程是代數方程，運算就變成了復數運算（相量運算），我們可以使用初等方法了；來分析電路，從而大大簡化了電路分析的過程。

電感和電容的阻抗就是應用相量法得到的理論計算結果；

相量法（相量變換）的好處是：將對時域電路的分析映射到頻域里，這樣做的好處是將描述時域電路的微分方程轉化為頻域內的代數方程，從而大大簡化對電路分析的復雜性。

借用網上的解釋：如果說自然數是來源于對數量的刻畫，有理數是來源于對比列的刻畫，無理數是來源于對長度的刻畫，那么，復數就完全是人為制造。

我想說的是：正是因為電工技術的發展，證明了復數存在的價值。

如果將來學到經典控制理論（自動控制原理），使用拉普拉斯變換，可以將一個系統的時域中的高階微分方程轉化為復頻域內的代數方程，從解方程來看，好處是大大的。

4.2 正弦量的相量表示

一、正弦量的表示方法

1.解析式：使用函數表達式 瞬時值用小寫字母表示

2.圖形表示：波形圖

為了便于運算，通常使用相量表示法：

二、旋轉矢量與正弦量

設定：

則：該旋轉的有向線段每一瞬時在縱軸上的投影即表示相應時刻正弦量的瞬時值。

三、用相量表示正弦量

相量：表示正弦量的復數稱為相量。

相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、輻角等于正弦量的初相的復數對應地表示相應的正弦量。

最大值相量：模用最大值表示，即

有效值相量：模用有效值表示，即

相量圖：把相量表示在復平面的圖形。

需要強調一下幾點：

① 相量與正弦量是對應關系（ 是一種映射 時域到頻域的映射 ），而并不是相等關系。

② 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。

③ 只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。

4.3 正弦交流電路中的理想電路元件

在正弦電流電路中，無源元件除電阻外，還有電感和電容。

4.3.1 電阻

一、線性電阻元件

電阻元件伏安關系：關聯參考方向

二、正弦交流電路中的電阻：

電阻元件兩端電壓和電流同相位,大小是電流的R倍。波形及相量如下圖所示：

歐姆定律的相量形式：

電阻元件的功率（瞬時功率、平均功率、有功功率）：

4.3.2 電感

一、線性電感元件：

電感元件：描述線圈通有電流時產生磁場、儲存磁場能量的性質。

磁鏈單位：韋伯（Wb） 電流單位：安培（A） 電感單位：亨利（H）

二、電感元件的電壓電流關系：

關聯參考方向

根據電磁感應定律，感應電動勢的量值等于磁鏈的變化率，即

由感應電動勢得電壓，當取電壓參考方向與磁鏈參考方向符合右螺旋法則時，即 u、e 和i參考方向均相同，如圖所示，則有

電感兩端的電壓與通過該電感中電流的變化率成正比。

三、電感元件的磁場能量：

在電壓和電流關聯參考方向下，電感元件吸收的瞬時功率為

當電流由0增大到i時，電感元件儲存的磁場能量為

能量單位：焦耳（J） 電流單位：安培（A） 電感單位：亨利（H）

總結：

• 電感元件是一種儲能元件，同時又是一種無源元件。
• 磁場能量只與最終電流值有關，與電流建立過程無關。
• 電流i 絕對值增加時，電感元件吸收電能轉換為磁場能量；i 絕對值減小時，電感元件釋放磁場能量，轉換為電能。

四、正弦交流電路中的電感元件

設電感元件的電流為：

感抗的大小，與頻率有關，頻率越高，感抗越大；對于直流電路，頻率為零，所以感抗也為零（視為短路）。所以我們說，電感元件具有通直阻交的作用。

則在正弦交流電路中，電感元件伏安關系的相量形式可以表示為：

純電感不消耗能量，只和電源進行能量交換。電感元件是儲能元件。

在這里，我們做如下定義：

無功功率Q：瞬時功率的最大值，即

無功功率單位：乏（var）無功功率反映了電感元件與外部電路交換能量的規模。

4.3.3 電容

一、線性電容元件：

電容器：將兩塊金屬極板用絕緣介質隔開，就形成了一個電容器。

電容元件：描述在這種兩金屬極板間的介質中所產生的電場和儲存電場能量的性質。

電容定義為：

線性電容：C為常數；非線性電容：C不為常數

電荷單位為庫侖（C） 電壓單位為伏特（V） 電容單位為法拉（F）

二、電容元件的串、并聯

串聯：設n個電容相串聯，則總電容

并聯：設n個電容相并聯，則總電容

三、電容元件的電壓電流關系：

當電容器兩個極板之間電壓發生變化時，極板上電荷也會隨著改變，于是連接電容器的電路中就會出現電流。按照如圖參考方向下，電流為

u、i關聯參考方向

通過電容的電流與電容兩極板間電壓的變化率成正比。

說明：當電容元件的電壓、電流取非關聯參考方向時，上式右邊加負號。

四、電感元件的電場能量：

在電壓和電流關聯參考方向下，電容元件吸收的瞬時功率為

當電壓由0增大時，電容元件儲存的電場能量為

能量單位：焦耳（J） 電壓單位：伏特（V）電容單位：法拉（F）

總結：

• 電容元件是一種儲能元件，同時又是一種無源元件。
• 電場能量只與最終電壓值有關，與電壓的建立過程無關。
• 電壓u絕對值增加時，電容元件吸收電能；u 絕對值減小時，電容元件釋放電場能量。

五、正弦交流電路中的電容元件

設電容元件的電壓為：

則電容元件的電流為：

令：

容抗的大小，與頻率有關，頻率越高，容抗越小；對于直流電路，頻率為零，所以容抗為無窮大（視為開路）。所以我們說，電感元件具有隔直通交的作用。

則在正弦交流電路中，電容元件伏安關系的相量形式可以表示為：

六、電容元件的功率：假設

1.瞬時功率

2.平均功率

結論：純電容不消耗能量，只和電源進行能量交換。電容元件是儲能元件。

在這里，我們做如下定義：

無功功率Q：瞬時功率的最大值，即

無功功率單位：乏（var） 無功功率反映了電容元件與外部電路交換能量的規模。

4.4 耦合電感元件

一、耦合線圈的自感和互感

在上圖中：

互感的定義：根據電磁場理論，只要磁場的介質是靜止的，可以證明：

所以可統一用 M 表示，稱為互感。其單位是：亨利 H 。互感在大小上反映了一個線圈在另一個線圈產生磁鏈的能力。

耦合系數K：表征耦合線圈的緊密程度，其定義為：

式中 L1 和 L2 為兩個線圈的自感，M為互感。

耦合系數k 的范圍為：0≤k≤1 。大小與L1和L2兩個線圈的結構、相互位置以及磁介質有關。如果兩個線圈緊密繞在一起，則 k 值可能接近于1。如果兩線圈相隔很遠，或者它們的軸線相互垂直，則 k 值很小，甚至可能接近于零。

二、耦合線圈的總磁鏈

取總磁鏈與自感磁鏈具有相同的參考方向：互感磁鏈有時為正，有時為負

顯然，總磁鏈由自感磁鏈和互感磁鏈兩部分構成，其中互感磁鏈有時為正，有時為負，同過同名端來表示互感磁鏈的正負。

同名端的概念：當電流 i1 和 i2 在耦合線圈中產生的磁場方向相同時，電流 i1 和 i2 流入（或流出）的兩個端鈕稱為同名端，用一對符號“﹡”，“˙”，“△”表示。

解釋：如果兩個線圈的電流都由同名端流入，則每個線圈的總磁鏈為自感磁鏈與互感磁鏈相加；如果兩個線圈的電流由異名端流入，則每個線圈的總磁鏈為自感磁鏈與互感磁鏈相減。

三、耦合線圈的感應電壓

設每個線圈的電壓、電流、磁鏈為關聯的參考方向：

每個線圈的總電壓均由自感電壓和互感電壓兩部分組成。如果取自感電壓，互感電壓與線圈總電壓參考方向相同，則自感電壓總是正的，互感電壓可能為正，也可能為負。

當電流的參考方向與另一個線圈電壓的參考方向對同名端相關聯時，互感電壓為正；當電流的參考方向與另一個線圈電壓的參考方向對同名端非關聯時，互感電壓為負。

四、耦合電感元件

由實際耦合線圈抽象出來的理想化的電路模型，由L1、L2和 M 三個參數表征，是一種線性二端口元件。

耦合電感元件的相量模型：正弦交流電路中的耦合電感元件

五、耦合電感的串聯

1、同向串聯：即把兩線圈的異名端連接在一起。

兩線圈同向串聯時的等效電感

2、反向串聯：即把兩線圈的同名端連接在一起。

兩線圈反向串聯時的等效電感

兩個線圈同向串聯時，等效電感增大；反向串聯時，等效電感減小。但其耦合等效電感 L 不可能為負（因為有 ）。所以：

六、耦合電感的并聯

1、同名端并聯

由基爾霍夫定律KCL和KCL：

可以得到：

可以推導出去耦等效電路如圖，注意去耦等效之后原電路中的結點A的對應點為圖中的A點而非A＇點。

耦合電感按同名端并聯的等效阻抗為：

式中 L 為等效電感：

2、異名端并聯

同理可得，去耦等效電路：

則耦合電感按異名端并聯的等效電感為：

七、去耦

當耦合電感的兩個線圈不是并聯，但它們有一個端鈕相連接，即有一個公共端的時候，仍然可以使用去耦法，可以把有耦合電感的電路化為去耦后的等效電路。

根據基爾霍夫兩定律列寫方程：

可以得到：

所以，去耦等效電路為：

如圖(a)所示，耦合線圈同名端的位置發生改變，同理可推導其去耦等效電路，如圖(b)所示：

含耦合電感電路的一般計算方法：

在計算含有耦合電感的正弦電流電路時，采用相量表示電壓、電流，前面介紹的相量法仍然適用。但由于某些支路具有耦合電感，這些支路的電壓不僅與本支路的電流有關，同時還與那些與之有耦合關系的支路電流有關，因而象阻抗的串并聯公式、節電壓法等不便直接應用。

而以電流為未知量的支路電流法、網孔電流法則可以直接應用，因為互感電壓可以直接計入KVL方程中。