大規(guī)模的整數(shù)加法在數(shù)字信號處理和圖像視頻處理領(lǐng)域應用很多，其對資源消耗很多，如何能依據(jù)FPGA物理結(jié)構(gòu)特點來有效降低加法樹的資源和改善其時序特征是非常有意義的。本篇論文是基于altera公司的FPGA，利用其LUT特點，探索設計最大程度利用LUT以及改善時序的compressor樹的結(jié)構(gòu)。

01

半加器和全加器

半加器是兩個輸入bit相加，輸出結(jié)果S和進位C。表達式為：

全加器是三個bit相加，有進位參與，表達式為：

Compressor樹就是在全加器的基礎上建立的，通過全加器的S和C結(jié)果相互連接形成多層樹狀結(jié)構(gòu)，其相比于普通的進位加法樹消耗更少資源。普通進位加法樹是用兩個或者三個加法模塊連接成樹，形成多層結(jié)構(gòu)來計算多輸入加法。放一張wallace樹的經(jīng)典文獻中的圖片來大致了解一下compressor樹的結(jié)構(gòu)。

圖1.1 compressor樹結(jié)構(gòu)

02

Compressor樹

Compressor樹就是在圖1.1中carry propagating adder以上的部分，其目的就是為了減少被加數(shù)個數(shù)，上圖中降低到S和C兩個后送到進位鏈加法器完成最后求和。這樣就可以降低加法對資源的消耗。假設有如下加數(shù)：

Compressor樹的結(jié)果就是：

Compressor樹就是由以上的全加器構(gòu)成的。全加器構(gòu)成一個基本的并行計數(shù)器，并行計數(shù)器（Generalized parallel counters）GPC可以用一個元組表示：

其中Ki表示的是輸入的被加數(shù)中處于同一位置的bit個數(shù)，如果用點來代表bit，那么下圖中的bit0的個數(shù)有1，而bit1有2，bit2有3，…。假設一個GPC允許的最大輸入bit數(shù)為M，這個條件是考慮到FPGA中LUT的結(jié)構(gòu)，比如在altera的stratix等器件中，LUT是6輸入的，為了更好的利用LUT資源，需要適配LUT輸入。那么根據(jù)這個條件，可以得到以下的約束：

圖2.1 (1, 4, 1, 5; 5)

第一個約束條件是所有列的bit數(shù)被限制在M以內(nèi)，第二個條件是所能實現(xiàn)的最大數(shù)據(jù)范圍。后邊會根據(jù)這兩個條件提出一個在FPGA上優(yōu)化compressor樹的算法。

用GPC來實現(xiàn)元組(1, 4, 1, 5; 5)為下圖：

圖2.2 實現(xiàn)元組(1, 4, 1, 5; 5)的GPC結(jié)構(gòu)

從圖中看出其延時包括一個FA的延時和4個進位鏈產(chǎn)生的延時。在FPGA中提供了高速的進位鏈，所以GPC很適合在FPGA中實現(xiàn)。因此在FPGA上利用好GPC可以降低加法樹的級數(shù)。

比如舉個例子，如圖2.3所示，計算兩列數(shù)據(jù)和，如果使用華萊士樹的方式，會采用兩級電路，第一級用兩個全加器，將三行數(shù)據(jù)降低到兩行數(shù)據(jù)，最后再用一個進位鏈加法器實現(xiàn)最后數(shù)據(jù)相加。而如果使用GPC（3, 3; 4）僅僅用一級電路就能實現(xiàn)這三行數(shù)據(jù)的相加。

圖2.3 compressor樹構(gòu)建方式：a)用連個全加器和進位鏈加法器 b)用一個（3, 3; 4）GPC

現(xiàn)在結(jié)合altera的器件結(jié)構(gòu)來分析如何能更好的利用LUT來搭建一個GPC。Stratix器件中的adaptive logic module（ALM）包含兩個6-LUT，這兩個LUT共享輸入，因此一個ALM模塊可以實現(xiàn)6-2的功能。

通過圖2.4可以看出，如果將6輸入3輸出進行映射，會有一個LUT空置，利用率為75%。如果將6輸入4輸出映射到LUT，那么利用率為100%。如果將2個6輸入3輸出映射到2個ALM，這個無法實現(xiàn)，因為ALM中兩個LUT共享輸入則無法綜合。

圖2.4 （a）一個6-3GPC映射，只有75%利用率（b）6-4GPC映射，利用率100%（c）2個6-3映射到2個ALM不可實現(xiàn)

03

高效映射算法

為了提高LUT利用率，降低器件中邏輯使用面積，論文基于以上的兩個約束以及altera LUT結(jié)構(gòu)特點提出了GPC選擇的算法。

首先我們定義兩個概念，primitive GPC是滿足以上約束的所有GPC集。比如對于M=6，n=3，一共有12個GPC。Covering GPC是指可以不被其它GPC實現(xiàn)的，即其實現(xiàn)是唯一的。比如（2, 2; 3）就不是一個covering GPC，因為其利用（2, 3; 3）GPC同樣可以實現(xiàn)，只要將bit0對應的一個數(shù)置為0就行了。比如對于6-3GPC的covering GPC有{(0, 6; 3), (1, 5; 3), (2, 3; 3)}。而(3, 1; 3)是一個不夠高效的GPC，因為其bit0只有一個bit有數(shù)，其可以繞過GPC直接輸出。compressor ratio是輸入對輸出的比率，比如（2, 3; 3）的比率是5/3=1.66。

算法步驟如下：

1） 首先依據(jù)M和n生成covering GPC；

2） 產(chǎn)生一些列primitive GPC，compressor樹將會由這些GPC來構(gòu)建，但是最后將由對應的covering GPC來替代；

3） 計算每個primitive GPC的compressor ratio并分類；

接下來的4-6步是一個不斷迭代過程，每一次迭代生成一級GPC，直到達到k行和kbit每列的限制條件。

4） 首先從所有求和列中選擇一個bit數(shù)最多的列作為基準，然后再同時向前和向后進行搜索，比較前后兩個列的compressor ratio，選擇最大的作為將要用于GPC映射的列。不斷重復這個過程直到所有列都完成搜索。

比如圖3.1展示的是一個6-3GPC建立過程。

第一個GPC是有6個bit的列，可以用（0, 6; 3）GPC來表示；

第二個最高列是有5bit，可以用（1, 5; 3）表示，附帶上旁邊的一個bit；

第三個高列有4bit，可以用（1, 4; 3）GPC實現(xiàn)；

…。

這樣共實現(xiàn)了4個GPC，余下的沒有實現(xiàn)的bit使用GPC實現(xiàn)不能有效提高LUT利用率，直接傳遞到下一級。

圖3.1 GPC生成過程

5） 對步驟4生成的新bit重復步驟4，進行提取新的GPC；

6） 當最終生成的bit行數(shù)小于k或者列數(shù)bit數(shù)小于k，迭代過程結(jié)束，這時上一級沒有被分配GPC的bit傳遞到本級，通過一個進位鏈加法器將所有結(jié)果相加；

04

結(jié)果

論文比較了GPC和另外兩種加法器實現(xiàn)方式的邏輯面積和資源對比，這另種加法器分別為：

1 ADD：由一個三輸入加法器作為基本結(jié)構(gòu)構(gòu)建的加法樹；

2 3GD：采用carry-save 加法器來實現(xiàn)，這種結(jié)構(gòu)沒有利用ALM中的進位鏈；

延時、邏輯面積、資源利用對比如下圖所示：

圖4.1 不同加法器實現(xiàn)方式的對比結(jié)果

總結(jié)

論文探索了利用FPGA的LUT和進位鏈結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)GPC，相比于ADD和3GD有更低的延時，而資源使用和ADD相差不大，比3GD小很多。這主要是源于ADD和GPC都使用了進位鏈。

審核編輯：劉清