時間縮放法的初衷是用于修改軌跡，避免軌跡違反系統飽和約束限制的，我們先闡述其原理，然后將其用于實現速度曲線時間同步。

在一些應用場景中需要考慮驅動系統的飽和限制約束，為了保證規劃的期望軌跡不違反此類飽和限制，必須對原始的軌跡進行修改。

由于那些運動速度、加速度和力矩超過允許范圍的運動軌跡在實際中無法執行，因此此類運動軌跡在實際工程中應予以避免。實際中可以將飽和區分為如下兩類。

（1）運動學飽和：規劃后軌跡的速度或加速度超過了驅動系統所能實現的臨界速度或臨界加速度。

（2）動力學飽和：此列飽和發生于驅動系統所需的驅動力矩（超過驅動系統所能提供的臨界力矩）不可行的情形。

特別地，由于多機械系統動力學的非線性耦合性，動力學飽和現象往往出現于此類多軸機械系統（如工業機器人）中。

如果在軌跡規劃階段并未提前考慮上述運動學飽和及動力學飽和限制，那么有必要在系統跟蹤運動軌跡之前驗證運動軌跡的可行性，并采取必要措施（如增加軌跡的時間長度）來防止違反上述飽和限制。

首先，給定一條軌跡：

q=q（t）

接下來引入一個新的與時間t有關的時間變量′t′ 可使得上面軌跡變快或變慢，或者更一般地，可以修改軌跡的速度和加速度等，其中 t和
′t′之間具有如下嚴格的函數關系：

為了簡便起見，上述關系可以重新寫成如下形式：