柔性機械臂

剛性機械臂建模方法已經可以有效地求解出機械臂各部分之間的耦合情況，但是對于柔性機械臂的動力學建模其側重點在于基于剛性機械臂建模方法的基礎上如何有效的處理機械臂關節柔性以及臂桿柔性的問題。

由于機械臂的截面相對于其長度而言很小，可以將柔性桿作為Euler-Bernouli梁，柔性機械臂可以視為一個具有無限自由度的連續系統。

相對于剛性機械臂桿件之間的耦合，柔性機械臂還需要考慮關節的柔性以及臂桿彈性變形的耦合。因而，柔性機械臂的運動方程具有高度非線性。

在對柔性系統進行建模的過程中，需要解決坐標系的選擇、柔性體的離散化、動力學建模方法以及方程求解等問題。

1.柔性體的描述

柔性體的描述是柔性機械臂建模與控制的基礎。根據選擇參照系的不同，一般可分為相對坐標法以及絕對坐標法。由于絕對坐標法雖然可以獲得形式簡單的動力學方程，但是卻大大增加了廣義坐標的數目，進而需要引入相應的約束方程。

目前的應用已經較少。而相對坐標法則是在柔性體上建立一動參照系，將柔性體的真實運動分解為牽連運動和相對于動坐標系運動的迭加。

有利于小變形構件的離散化和線性化。應用較多。

2.柔性體的離散化

柔性機械臂是由柔性關節構成的集中參數系統和柔性桿件構成的分布參數系統所組成的混合系統，其動力學特性由偏微分方程描述。

為求解該偏微分方程，需要采用離散方法將偏微分方程離散成常微分方程。對于變形場的離散化主要有有限元法（FEM），假設模態法（AMM），集中質量法（LPM）以及轉移矩陣法（TMM）等。

有限元法是將有限自由度的連續體理想化為只有有限自由度的單元集合體，使問題簡化為適于數值解法的結構型問題。

該方法將連續系統劃分為一定數目的柔性單元，對單元位移分布建立某種假設，并據此導出單元的動力學方程，通過單元組集最終獲得柔性機器人系統的動力學方程，有限元法可模擬任意復雜形狀的柔性構件，并可調用ANSYS等進行分析。

有限段法也是將無限自由度的連續體離散，只不過是離散成有限剛度梁段，將系統的柔性等效至梁段結點，即將柔性系統描述為多個剛體，以含有彈簧以及阻尼器的結點互連。

當劃分無窮時，有限段趨于微分梁段，其彈性線長度相當于弧微分，而不是有限元法中對于坐標的微分。

有限段法容易計入幾何非線性的影響，比較適合于含細長構件的柔性機器人系統，理論推導程式化，便于數值計算。

集中質量法將柔性體的分布質量按一定的規則聚縮于若干離散結點，其間用不計質量的彈性元件連接，并將柔性體的分布載荷等效至上述結點。

該方法調理清晰，適于構件形狀比較復雜的柔性機械系統。但是，與有限元法相比，在同等自由度下，該算法的精度較低。

假設模態法以Rayleigh-Ritz法為基礎，采用模態截斷技術將柔性體的高階模態截斷，之后利用Lagrange方程、Hamilton原理等建模方法得到離散化的動力學方程。

模態函數的選取通常有兩種方法，即約束模態法與非約束模態法。前者采用瞬時結構假定，忽略剛體慣性力以及科氏族力的影響，根據梁的自由振動方程確定模態函數。

后者以柔性機器人的振動方程為基礎，直接由幾何、物理邊界條件推導出系統的頻率方程以及相應的模態函數。

假設模態法建立的動力學方程規模較小，便于提高計算效率，在仿真與實時控制方面具有一定的優勢，但是在描述復雜結構的振動模態時常會遇到較大的困難。

假設模態法將柔性桿的變形表示為一系列模態函數的組合，具有方程規模較小、便于實時控制的特點，但是假設模態法需要考慮系統的特征值，只能處理形狀簡單、約束條件易求的系統。