一.起手式

--物理學中的振動概念

第一部分：簡諧振動

在物理學中，有一套專門的理論和方法用于振動系統的研究。其中，最基本的振動模型是簡諧振動。顧名思義，“簡”即“簡單，基本”，在這里，我們考慮帶彈簧的一維機械系統，“諧振”即“共振”，不同的領域有不同的叫法，“動”表示運動狀態。

簡諧振動的充分必要條件：物體受到的回復力大小與物體的位移大小成正比，回復力方向與位移方向相反。

翻譯成大白話就是，你在向前沖，我把你向后拉，你向前沖的越多，我拉你的勁越大。（這樣才能挽留你啊）

簡諧振動的動力學描述：

其中，F表示回復力，k為彈性系數，x為物體的位移。

由牛頓第二定律可以知道，此時的回復力可以表示為位移的 二階導數 ，即：

或者寫成：

簡諧振動系統是一個二階系統，其動力學描述是一個 二階常系數微分方程 。事實上，通過求解二階常系數微分方程及可以得到其通解。再帶入系統的初始條件（初始位移x(0)和初始速度v(0))，即可得到方程的特解。

為了更直觀地理解簡諧振動，根據微分方程的特解，簡諧振動有三種表示方法：解析表示，波形表示和旋轉矢量表示。

1.解析表示

直接用微分方程的特解表示：

其中，A為物體做簡諧振動的振幅，ω為振動的圓頻率（或稱角頻率），Φ0為初始相位角。

1）物體振動的角頻率，僅由系統的本身的的性質決定，在這個場合，由彈性系數k和物體質量m共同決定。

2）至于振幅和初始相位角，則由系統的初始條件（初始位移和初始速度）決定。

3）簡諧振動的周期和頻率，同樣由系統自身的性質決定。相比于角頻率，周期和頻率更有意義。他們對應了實際物理世界的時間和次數。

2.波形表示

如下圖，橫軸表示時間，縱軸表示物體的位移，正弦波的周期及為諧振的周期，波形與縱軸的交點即表示初始時刻物體的位置（初始位移），波形上每一點的斜率即為物體的速度。

3.旋轉矢量表示

旋轉矢量表示法，其原理是勻速圓周運動投影到x軸上正好是余弦函數。之所以要表示成旋轉矢量，是為了更方便直觀的表示兩個狀態之間的相位差。該方法常用在同頻率的簡諧振動的疊加。

以上，我們解釋并量化了最基本的一維簡諧振動，三種表示方法殊途同歸，可視具體場合選用哪種表達。

第二部分：阻尼振動

在實際的物理系統中，簡諧振動的情況無法存在，因為系統的能量總是有損耗的，那么對于能量或振動幅度隨時間減小的振動，我們稱之為阻尼振動。與簡諧振動不同，阻尼振動的能量是實時被消耗的。

（注意，這部分需要有高等數學和微分方程的基礎，覺得復雜的讀者可以忽略下面這些公式的推導，有興趣的讀者可以參考常微分方程的相關知識）

考慮與物體運動速度成正比，方向相反的粘滯阻力（事實上，阻力不一定與速度成嚴格的正比關系，這里我們簡化模型只考慮正比的情況）

此時物體在回復力與阻力一起作用下的運動方程為：

可以看到，物體的運動方程仍然是一個二階常系數微分方程，如果初始條件確定，該方程在數學上是有嚴格的解析解的。不過這里我們更關心方程的解的物理意義。下面分為三種情況討論阻尼振動的形式：弱阻尼（或稱欠阻尼）、過阻尼、臨界阻尼。由以下五張圖片介紹。

實際上，這樣的阻尼振動形式不僅存在于機械系統中，在控制理論，電子電路等各個領域中也是常見。本文的主體部分即是將各種諧振形式引入到電路系統中，方便各位工程師和從業人員更好地理解振動這種自然現象，并應用之。

第三部分：受迫振動

前面我們提到的簡諧振動和阻尼振動，在振動過程中，除彈性力和阻尼力外，無其他維持振動的外力，這類振動被稱為 自由振動 。

相對地，振動系統在連續周期性外力作用下發生的振動，我們稱之為 受迫振動 。

在受迫振動中，假設周期性的外力為

此時的振動方程則被寫成

這里，我們僅僅考慮弱阻尼的情況，同樣可以得到方程的解析解

聰明的小伙伴，你們發現了沒有，得到的微分方程 左邊項的系數β是和系統自身性質相關 ，與外力無關；而方程右邊項則是外力和激勵頻率ω決定。

下面我們針對解的物理意義做幾點討論（圖中n為β）：

從上圖中可以看出，當逐漸增大激勵頻率時，振幅大小會沿著振幅--圓頻率曲線（ 幅頻曲線 ）變動。當振幅達到極大值時，此時的頻率被稱為 共振頻率 （或諧振頻率）。不同的β對應不同的幅頻曲線和共振頻率。根據數學上求連續函數極值的方法，可以計算得到共振頻率和共振時的振幅的解析值。

通過受迫振動的幅頻曲線我們還可以知道， 振動系統具有選頻特性。在共振頻率點附近的周期激勵產生的受迫振動振幅要明顯大于遠離共振頻率處的周期激勵所產生的。 假如一個系統的共振頻率為10kHz，外部給的激勵可以分解成800Hz,8kHz,80kHz三個余弦單位激勵，那么最后系統所表現的諧振動（也即是系統的響應），一定是8kHz的最明顯。

至此，我們則可以定性地理解上文中提到的Tacoma大橋的坍塌原因：風的頻率接近橋梁受迫振動的共振頻率，且此時的阻尼因子β較小，使得橋振動振幅不斷增大，橋體形變產生的應力超過了橋的結構能承受的最大應力，從而橋體斷裂。

以上就是振動現象的物理學基礎。針對這一起手式，我們來劃一下重點：

1. 簡諧振動是最基本的振動，它決定了振動的動力學特征是一個二階微分方程。
2. 有三種方法表示簡諧振動，解析法，波形法，旋轉矢量法。
3. 自然界中的振動都是有阻尼的，阻尼振動的模型同樣也可以簡化成二階微分方程；
4. 阻尼振動，可以根據阻尼的大小劃分成弱阻尼，過阻尼，臨界阻尼三類形式，不同形式的阻尼振動波形不一樣。
5. 在周期性外力的激勵下，阻尼振動可以升級成受迫振動。受迫振動是阻尼振動和諧振動的疊加。
6. 受迫振動容易產生共振（諧振），共振條件即為激勵頻率等于系統共振頻率。共振頻率與系統自身的性質相關，與激勵和初始條件無關。
7. 振動系統具有選頻特性。

二.雙掌式

--時域與頻域兩個維度

前文中我們說到，要將振動的概念從一般的物理系統推廣到電路系統中。在此之前，我們還需要處理 三個問題 ，第一個問題是， 采用什么樣的方法或者算法解析受迫振動現象 。第二個問題，是如何 建立電路系統與起手式中振動系統的聯系 。最后一個問題，則是如何描述電路系統，即通過何種模型，讓電路的諧振運行狀態更容易被量化。

1.對于第一個問題的答案，從起手式的討論中我們可以初見端倪--既然受迫振動是和激勵頻率相關，那我們是否可以站得更高，將頻率作為一個連續的自變量，單獨討論任何形狀的周期性激勵對系統的作用？

高等數學告訴我們，任何一個周期性連續函數都可以寫成正余弦函數的無窮級數，即 傅里葉分解 。

這樣，我們就可以將外力激勵分解成無窮多個余弦激勵，這無窮多個余弦激勵對應不同的幅值（能量）和頻率，并且其頻率都是原始周期性激勵頻率的正整數倍。下圖是以方波為例的傅里葉分解。

相應地，我們只需要單獨求出系統對這無窮多個激勵的響應，再將這些響應疊加，即可得到系統的總響應。（在這里我們再請大家思考，系統的總響應能由各個不同頻率響應疊加的條件是什么？）

值得注意的是：我們在上文中提到了振動系統是具有選頻特性的。 那么根據傅里葉分解得到的一系列余弦激勵分量，并不是被均勻響應的。只有頻率接近共振頻率的那部分激勵，仿佛是被系統選中了。這部分激勵，才是對系統起決定性影響的外部激勵。例如上圖中基波頻率為ν0的方波激勵被分解成不同頻率的余弦波激勵，如果系統的共振頻率為3ν0,那么系統就主要響應這部分頻率為3ν0的余弦波激勵，其他激勵頻率的分量被響應地相對更少。

至此，我們有了周期性激勵對系統影響的描述方法，那么更進一步， 如果系統的激勵是非周期性的呢？ 要回答這個問題，需要有信號與系統的基本理論基礎--拉普拉斯變換。感興趣的讀者可以進一步去深入理解這部分內容，在這里我們不做過多的闡述，只討論一種最特殊的情況，階躍激勵。

在振動系統中，我們經常會遇到階躍輸入的情況。例如，在機械振動系統中，突然加上一個100N的外力，再比如在電路系統中，調節直流輸入電壓，從30V突然調至60V，這里的“突然”，即是對應了激勵源的一個上升沿，都可以認為是階躍激勵。

那么，如何量化階躍激勵呢？事實上，在信號與系統中，有對階躍函數嚴格的數學定義。由于階躍函數并非周期性連續函數，所以無法對其進行傅里葉分解。但是，如果我們只關心階躍函數的上升沿，則可以認為階躍函數是一個周期無窮大的方波（在工程領域，無窮大并不意味著數學上的高階無窮大，只要這個周期遠大于被研究對象的周期，我們可以認為這樣的近似是合理的）。于是我們可以沿用方波的方式，繼續做傅里葉分解。

例如上圖中，F(x)為原始的單位階躍激勵（幅值為1），我們用一個周期為20，幅值為1，占空比為0.5的方波去模擬這個階躍，對這個方波做傅里葉分解，圖中F1(x),F2(x),F3(x)分別為保留了傅里葉級數前10項，前20項，前30項的逼近函數。

可以看到，保留的項數越多，逼近函數的上升沿斜率越大，越能模擬方波的上升沿。這意味著，階躍激勵的上升沿處包含了各個頻率成分的激勵分量。如果把階躍激勵施加于振動系統，由于振動系統的選頻特性，振動系統必然會對某些頻率的激勵分量產生更明顯的響應，這些頻率即在振動系統的共振頻率附近處。

以上，我們針對物理系統中的受迫振動系統，討論了如何分析系統在不同激勵下的響應。我們知道，在電工學中，有電壓電流等物理量描述電路中各個元件運行的狀態，并且實際電路中，這些物理量通常都是隨時間變化的。接下來我們將把前文中的振動系統的狀態量與電路中狀態量進行對比，得到一致的振動形式。

2.我們對比二階電路系統和前文中的二階機械振動系統

上圖中，左邊為二階電路系統，在t=0時刻，開關S閉合，輸入電壓激勵vin(t)突然施加到電阻、電感及電容組成的串聯電路兩端。接下來，電路的運行滿足基爾霍夫電壓電流定律，歐姆定律，同時也要滿足電感與電容充放電關系。

若把電容兩端的電壓vcr(t)當做響應，則整理上圖中的方程可以得到

這個形式是不是似曾相識？

沒錯， 電容電壓的運動方程仍然是二階微分方程，與受迫機械振動具有相同的形式 。我們把上圖中的方程化為首一形式：

再對比受迫機械振動的方程：

兩個方程形式上是非常統一的，更進一步，假設輸入電源電壓激勵函數vin(t)為余弦函數，即vin(t)=Vin*cos(ωt)，我們可以列出兩種系統中各個關鍵物理量的對比表：

由于二階電路系統與機械振動系統的一致性，我們完全可以把起手式中的分析方法照搬到電路系統里面。

下面我們把階躍輸入電壓作為電路激勵，查看二階電路系統對階躍輸入的響應。我們使用如下仿真電路，用幅值為200V，周期為2ms，占空比為0.5的方波脈沖電源去模擬階躍激勵。

上圖中，橙色的波形為階躍激勵輸入，藍色的波形為電容的電壓。可知在圖中的這段時間內，系統在做阻尼振動。那么問題來了，阻尼振動的頻率是多少呢？

我們前文中提到， 振動系統具有選頻特性，而階躍輸入的上升沿處含有各個頻率的激勵分量。哪個頻率的分量被選中了呢？沒錯，就是共振頻率 。

圖中給出的頻率35.7kHz，也可以通過計算得到。考慮到電路的阻尼電阻0.4歐姆（0.3歐姆電阻加電感寄生0.1歐姆），電感量80uH,電容量240nF,計算得到阻尼因子β為2.5e3,圓頻率ω0為2.28e5rad/s,共振頻率ωr=2.27e5,轉化成實際頻率fr=36.3kHz，與波形中的測量的頻率非常接近了。

再讓我們回顧上文提到的解決步驟：第一步先將激勵進行傅里葉分解，得到余弦函數無窮級數，第二步根據每個單獨的余弦函數的幅值和頻率，根據系統的幅頻曲線或者微分方程特解得到對應的響應。第三步將無窮多個（在誤差允許的范圍內可以只計算有限個）響應矢量疊加，得到總響應。

但這樣的方法存在一個嚴重的問題：

這三步每一步的原理都非常清晰，但如果振動系統稍微復雜，激勵形式更加多樣化，在實際運算中就會涉及到大量的微分方程，傅里葉分解及矢量合成，計算量較大，在工程上的可行性不高。所以我們接下來會引入復頻域的概念，也同時來回答第三個問題。

3.前文對振動模型的分析都是在時域，并且指出了時域分析運算的復雜性，可見時域電路模型不適合應用在階數較高（二階及更高階）的振動系統。在這里我們還是采用之前提到的拉普拉斯變換的思想（哈哈，逃不掉的），將電路的微分運動方程，用復頻域的代數方程替代，更便捷地描述電路中電壓電流關系，最后再利用拉普拉斯反變換，得到電壓電流響應的時域方程。

關于拉普拉斯變換在電路應用中的合理性，在數學上是能夠嚴格證明的，詳情可參考 信號與系統 。這里我們同樣只考慮頻域的電路諧振模型，不對拉氏變換做太多的解釋。

根據拉氏變換，時域電路模型與頻域電路模型的等價如下：

A）對于電阻模型

B）對于電感模型

C）對于電容模型

其中iL(0-)和uc(0-)分別是開關閉合前的電感電流和電容電壓。

這樣，我們的二階電路系統的頻域運算模型就已經建立，如下圖

假設初始狀態電感和電容兩個元件上都無儲能，即iL(0-)和uc(0-)均為零，則可以寫出頻域中電容電壓Vcr(s)和輸入電壓Vin(s)的關系式:

得到這樣的傳遞關系后，電路的響應求取就明確了。步驟如下：

第一步：將時域上的激勵輸入函數vin(t)做拉氏變換，得到頻域的Vin(s)，

第二步：根據上述關系式得到電容電壓的頻域表達式Vcr(s)，

第三步：對Vcr(s)做拉氏反變換，得到時域的響應函數vcr(t)。

下面我們同樣以200V的階躍輸入作為激勵，求取電容電壓函數。 單位階躍函數ε(t)的拉普拉斯變換為1/s ,帶入到上圖中的表達式，并考慮弱阻尼的情況：

上圖中表達式即為單位階躍激勵下的電容電壓的頻域表達式， 為了方便做拉普拉斯反變換，將其整理成等號右邊的形式（中括號內第一項對應時域的指數函數，第二項對應時域上衰減的余弦函數，第三項對應時域上衰減得正弦函數） ，使用待定系數法可以求得A，B，C，最后即可得到時域電容電壓函數vcr(t)及波形。

把上文的電路參數帶入到電容時域電壓表達式，可以得到波形如下：

由圖可見，該波形與上文中時域分析仿真得到的波形一致，也證明了頻域運算模型的有效性。

以上，我們分別從時域和頻域分析了二階振動電路的性質，闡述了時域與頻域之間的聯系，時域模型和頻域模型本質上是等價的，是看待同一事物的不同角度。但當電路系統中電感和電容數量較多，電路的階數較高時，顯然頻域模型更加實用。

雙掌式要義總結：

1. 二階電路系統與二階機械振動系統形式統一，所有用于研究機械系統振動的方法都可以搬用到二階電路系統。
2. 時域上求解二階電路系統的方法：先列寫系統微分方程，再對輸入激勵做傅里葉分解，把每個頻率的激勵分量施加到微分方程的激勵函數，得到相應的特解。將各個特解矢量疊加。
3. 頻域上求解二階及高階電路系統的方法：先將電路時域模型轉化成頻域模型，得到頻域傳遞函數，再將激勵函數做拉氏變換后與傳遞函數相乘，得到響應的頻域表達式，最后拉氏反變換得到時域響應。
4. 頻域方法比時域方法更適合二階以上的電路系統。

三.出掌風

--電力電子電路中的諧振應用例

前兩部分我們分別探討了機械振動系統和電路系統中諧振現象的物理基礎及其分析與求解方法，接下來我們便要將上文中的理論用于實際的電路中。（本部分供電力電子相關專業人員參考）

在電力電子電路中，諧振現象廣泛存在。有的電路需要避免諧振，例如反激電路需要減小漏感與開關管寄生電容的諧振以減小開關管電壓應力；有的電路則是利用諧振實現軟開關，如LLC諧振電路。 我們在本篇中重點介紹利用諧振實現軟開關的一個例子--單管并聯諧振電路 。

這個電路被應用到我們常用的家居生活電器電磁爐中。

我們知道，高頻的交流磁場在鐵磁材料中可以產生渦流，使得鐵磁材料被加熱，電磁爐正是利用了這個原理。下圖為電磁爐中單管諧振電路的拓撲圖

圖中，Req和Leq分別為放上鍋體后等效到電路中的電阻和電感，Q1和D1分別為IGBT開關管和續流二極管，Vin為交流輸入電壓整流后的饅頭波電壓，這里我們只考慮穩態運行時饅頭波電壓峰值處的情況。

穩態時的一個開關周期內，這個電路存在四個關鍵模態，如下圖

這里，IGBT關斷后的模態2和模態3，是電感與電容的諧振過程，是一個典型的阻尼振動。我們有兩種方法來描述這個諧振過程，時域和頻域。這里我們不做過多的推導及計算，我們直接給出模態2和模態3兩個過程中IGBT的集射電壓Vce的表達式：

從表達式中可以看到Vce電壓不僅和輸入電壓相關，還和關斷前的IGBT電流峰值Ipk相關，這也對應了頻域模型中的電感初始儲能。

為了能實現ZVS，Vce電壓必須到零，續流二極管才會導通 。如果Vce電壓諧振回不到零，則不具備ZVS條件，此時如果開通IGBT，諧振電容電壓瞬間被充電至Vin，從Vce波形上此處仿佛有個臺階打破了正常的諧振，產生較大的脈沖電流，被損耗到IGBT的溝道中，使得IGBT結溫被抬高，可能超出安全工作區。

為了利用諧振網絡實現ZVS，IGBT的電壓應力被犧牲了 ，電路中的Vce電壓往往能達到1000V以上，所以選用的器件一般是1200V和1350V耐壓的IGBT。而器件的電壓應力，則可以通過我們理論推導出來的公式去預測。

以上，我們通過電磁爐中諧振拓撲的實例，把振動理論應用到了單管并聯諧振電路中。事實上，諧振在電力電子變換器中無處不在，無論是PWM變換器還是諧振變換器。今天我們只是引出了這個簡單的例子，重點關注了時域波形表現，下一篇我們將結合更多的電力電子電路分析諧振現象及軟開關。