1 經驗模態分解EMD原理介紹

1.1 EMD概述

經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）方法是一種自適應信號時頻處理方法，特別適用于非線性、非平穩信號的分析處理[1]。其本質是一種對信號進行分解的方法,將信號分解為各個相互獨立的成分的疊加,依據數據自身的時間尺度特征來進行信號分解，具備自適應性。

EMD的優點在于它是一種自適應的、數據驅動的分解方法，不需要預先假設信號的分布或結構。這使得它適用于處理各種類型的信號，包括非線性和非平穩信號。

EMD 認為任何一個復雜序列都是由多個單頻率信號疊加而成，因此可以分解成若干個 本征模態函數（Intrinsic Mode Functions, IMF），IMF 的各個分量即代表了原始信號中的各頻 率分量，并按照從高頻到低頻的順序依次排列，這也是 IMF 的物理含義[2]。

1.2 本征模態函數IMF

本征模態函數（Intrinsic Mode Functions, IMF）就是原始信號被 EMD 分解之后得到的各層信號分量。任何信號都可以拆分成若干個 IMF 之和。IMF 有兩個假設條件：

• 在整個數據段內，極值點的個數和過零點的個數必須相等或相差最多不能超過一 個；
• 在任意時刻，由局部極大值點形成的上包絡線和由局部極小值點形成的下包絡線 的平均值為零，即上、下包絡線相對于時間軸局部對稱。

對于上述的條件理解如下：

第一，圖線要反復跨越 x 軸，比如：

反復跨越 x 軸

而不能像下面這樣某次穿過零點后出現多個極點：

某次穿過零點后出現多個極點

第二，上下包絡線要對稱，比如：

上下包絡線對稱

而不能像如下這樣，上下包絡線不對稱

1.3 EMD 分解的基本假設

• 信號至少有兩個極值點：一個極大值點和一個極小值點；
• 特征時間尺度由極值之間的時間間隔定義；
• 如果數據完全沒有極值，但只包含拐點，那么可以一次或多次劃分來揭示極值點，最終的結果可以通過積分得到

2 EMD分解的基本原理和步驟

EMD的分解過程是一個迭代的過程。首先，對原始信號進行極值點的提取，然后通過連接極值點的均值得到第一輪的近似IMF（也叫做“本征模態”）。接下來，將這個近似IMF從原始信號中減去，得到一個新的信號，然后對這個新信號再次進行極值點提取和均值連接，得到第二輪的近似IMF。如此往復，直到得到的近似IMF滿足某種停止準則。

對于原始信號 X(t)

第一步，極值點提取：

從待分解的信號中識別局部極值點，包括局部極大值和局部極小值。極值點是信號中的局部特征，能夠幫助刻畫信號的振蕩特性。

第二步，構建上下包絡線：

通過連接相鄰的局部極大值和局部極小值，構建信號的上包絡線和下包絡線。上包絡線 U(t) 由局部極大值連接而成，下包絡線 L(t) 由局部極小值連接而成。包絡線用于描述信號的振蕩范圍。

第三步，提取均值函數：

計算上包絡線和下包絡線的平均值，得到均值函數 m1。將原始信號減去均值函數，得到一維信號 h1。

m1 = ( U(t) + L(t) ) / 2

h1 = X(t) - m1

第四步，迭代分解：

對減去均值函數后的一維信號 h1，重復步驟1-3的過程，直到得到的剩余信號為“單調信號”，或者滿足IMF的兩個假設條件。迭代k次的IMF為

hk = h(k-1) - mk

第五步，確定本征模態函數（IMF）：

在每一次迭代中，通過極值點提取、構建包絡線等步驟，得到的剩余信號被稱為一個本征模態函數（IMF）。IMF具有局部特征，并且代表了信號在不同尺度上的振蕩模式。使用上述方法得到的第一個IMF記為c1, 然后將c1從原始信號中分離，得到

r1 = X(t) - c1

由于r1仍然包含大量信息，因此將r1作為新的原始信號，再通過步驟1-4的分析，可以得到IMF2，以此類推，得到

r1 - c2 = r2,... ..., r(n-1) -cn = rn

當cn或rn小于某一設定值，或者得到的剩余信號為“單調信號”，無法提取更多的IMF時，迭代終止，得到最終的分解結果為：

第六步，重構信號：

將得到的IMF函數進行逐個提取，直到無法再得到新的IMF為止。最終得到的IMF函數可以被看作是信號在不同時間尺度上的振蕩模式，它們的組合可以重構原始信號。

這些基本步驟構成了EMD方法的核心流程，通過這些步驟，EMD可以將復雜的信號分解成不同尺度和頻率的本征模態函數，從而揭示信號的局部特征和振蕩模式。

3 基于Python的EMD實現

在 Python 中，使用 PyEMD 庫來實現經驗模態分解（EMD）

2.1 代碼示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from PyEMD import EMD


# 生成一個示例信號
t = np.linspace(0, 1, 1000)
s = np.sin(11*2*np.pi*t*t) + 6*t*t


# 創建 EMD 對象
emd = EMD()


# 對信號進行經驗模態分解
IMFs = emd(s)


# 繪制原始信號和每個本征模態函數（IMF）
plt.figure(figsize=(15,10))
plt.subplot(len(IMFs)+1, 1, 1)
plt.plot(t, s, 'r')
plt.title("Original signal")


for num, imf in enumerate(IMFs):
    plt.subplot(len(IMFs)+1, 1, num+2)
    plt.plot(t, imf)
    plt.title("IMF "+str(num+1))


plt.show()

2.2 軸承故障數據的分解

選擇 0.021英寸滾珠故障信號數據來做EMD分解

2.2.1 凱斯西儲大學軸承數據的加載

第一步，導入包，讀取數據

import numpy as np
from scipy.io import loadmat
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
matplotlib.rc("font", family='Microsoft YaHei')


# 讀取MAT文件
data = loadmat('21_2.mat') # 0.021英寸 滾珠
# 注意，讀取出來的data是字典格式，可以通過函數type(data)查看。

第二步，數據集中讀取 驅動端加速度數據，取一個長度為1024的信號進行后續觀察和實驗

# DE - drive end accelerometer data 驅動端加速度數據
data_list = data['X222_DE_time'].reshape(-1)
# 劃窗取值（大多數窗口大小為1024）
data_list = data_list3[0:1024]
#  進行數據可視化
plt.figure(figsize=(20,10))
plt.plot(data_list)
plt.title("滾珠")
plt.show()

2.2.2 滾珠故障信號EMD分解

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from PyEMD import EMD


t = np.linspace(0, 1, 1024)
data = np.array(data_list)
# 創建 EMD 對象
emd = EMD()


# 對信號進行經驗模態分解
IMFs = emd(data)


# 繪制原始信號和每個本征模態函數（IMF）
plt.figure(figsize=(15,10))
plt.subplot(len(IMFs)+1, 1, 1)
plt.plot(t, data, 'r')
plt.title("Original signal", fontsize=10)


for num, imf in enumerate(IMFs):
    plt.subplot(len(IMFs)+1, 1, num+2)
    plt.plot(t, imf)
    plt.title("IMF "+str(num+1), fontsize=10)
    # 增加第一排圖和第二排圖之間的垂直間距
plt.subplots_adjust(hspace=0.4, wspace=0.2)
plt.show()

2.3 信號分量的處理

通過經驗模態分解（EMD）得到了信號的分量，可以進行許多不同的分析和處理操作，以下是一些常見的對分量的利用方向：

（1）信號重構：將分解得到的各個本征模態函數（IMF）相加，可以重構原始信號。這可以用于驗證分解的效果，或者用于信號的重建和恢復。

（2）去噪：對于復雜的信號，可能存在噪聲或干擾成分。通過分析各個IMF的頻率和振幅，可以識別和去除信號中的噪聲成分。

（3）頻率分析：分析每個IMF的頻率成分，可以幫助理解信號在不同頻率上的振蕩特性，從而揭示信號的頻域特征。

（4）特征提取：每個IMF代表了信號的局部特征和振蕩模式，可以用于提取信號的特征，并進一步應用于機器學習或模式識別任務中。

（5）信號預測：通過對分解得到的各個IMF進行分析，可以探索信號的未來趨勢和發展模式，從而用于信號的預測和預測建模。

（6）模式識別：分析每個IMF的時域和頻域特征，可以幫助對信號進行模式識別和分類，用于識別信號中的不同模式和特征。

（7）異常檢測：通過分析每個IMF的振幅和頻率特征，可以用于探測信號中的異常或突發事件，從而用于異常檢測和故障診斷。

在得到了信號的分量之后，可以根據具體的應用需求選擇合適的分析和處理方法，以實現對信號的深入理解、特征提取和應用。對于后續的研究，主要利用IMF分類來對故障信號做模式識別，即故障分類。