好多人都是因?yàn)檫@個(gè)地方放棄數(shù)學(xué)的對(duì)吧？

我覺(jué)得也不用說(shuō)什么這個(gè)語(yǔ)言是怎么出來(lái)的，直接講我的理解。

“無(wú)限接近于X”這個(gè)表述方式無(wú)法被準(zhǔn)確定義。你不能用一個(gè)未被定義的詞來(lái)作為定義本身的一部分。就好像我們寫(xiě)程序一樣，一定要保證一開(kāi)始運(yùn)行的狀態(tài)你是可控的。

所以這個(gè)ε-δ的工作就是來(lái)精確的說(shuō)明和一個(gè)數(shù)字無(wú)限貼貼的時(shí)候應(yīng)該如何理性的定義。（把原來(lái)不確定的動(dòng)態(tài)的靠近過(guò)程，轉(zhuǎn)換成了靜態(tài)的，確定的數(shù)）

其實(shí)本質(zhì)是使用了差值，或是叫可以接受的誤差。

這里面說(shuō)了數(shù)列和極限：

數(shù)列說(shuō)的是下標(biāo)，函數(shù)說(shuō)的領(lǐng)域，因?yàn)槲覀冄芯康囊稽c(diǎn)處的情況。

其實(shí)ε是"error"(誤差)、δ是"distance"(距離)的首字母。實(shí)際上，是柯西在他的著作中用ε來(lái)表示"error"的。

這個(gè)也挺抽象的

目前教科書(shū)上面的定義都是這個(gè)

wiki百科是這樣的，其實(shí)是一樣的

emmmm，原因是因?yàn)椴捎昧恕我?存在’這種邏輯結(jié)構(gòu)，就讀不懂了。

這個(gè)是上面的定義的可視化圖：只要無(wú)限靠近c(diǎn)，函數(shù)值就無(wú)限靠近L

繼續(xù)說(shuō)，如何來(lái)表達(dá)函數(shù)值和極限值的趨近，也就是極限關(guān)系呢？就是它們的距離越來(lái)越小，距離的表示就是 |函數(shù)值-極限|，距離一定是正的，加絕對(duì)值，如果你說(shuō)可以是負(fù)值，那我勸你還是不要GHS。

也就是說(shuō)，小于世界上任何一個(gè)正數(shù)就好了，可能在你的認(rèn)識(shí)里面這個(gè)數(shù)等于0就是最好的，不行啊，這樣一搞不就是是等式了。

那么我們這樣說(shuō)，對(duì)任意一個(gè)ε（取很小的值），使得|函數(shù)值-極限| ＜ε就說(shuō)明啦。以上是對(duì)函數(shù)值無(wú)限接近于極限值的描述。

接著就是來(lái)說(shuō)明這個(gè)了，這個(gè)x為什么會(huì)被夾著。

極限是自變量趨于某個(gè)值的，這個(gè)趨近于的描述應(yīng)該是一個(gè)過(guò)程，如何用數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)明這個(gè)趨近的事實(shí)。兩個(gè)點(diǎn)不太行，只有連續(xù)才可以表示一個(gè)過(guò)程。在數(shù)學(xué)里面使用“區(qū)間”才可以表示連續(xù)的點(diǎn)。

先設(shè)x和a的初始距離為δ，在x靠近a或者是趨近的這個(gè)過(guò)程中，x和a之間的范圍始終在（0，δ）區(qū)間里面。

距離我上面說(shuō)了，可以用差的絕對(duì)值來(lái)表示，也就是說(shuō)自變量趨于某個(gè)值。

這個(gè)圖也挺形象

上面的這個(gè)不等式也可以說(shuō)成是鄰域，也就是說(shuō)鄰域知道了極限的作用范圍。

至于微積分基本上每個(gè)定義上，都會(huì)加個(gè)去心鄰域，現(xiàn)在明白了，其實(shí)就是為了防止鄰域中心沒(méi)有定義的情況，因?yàn)闀?shū)上的定義定理啥的都得具有一般性，所以它就這樣，能夠代表所有不管在此點(diǎn)有沒(méi)有定義的函數(shù)，反正是極限，有沒(méi)有鄰域中心都一樣。

本來(lái)極限的定義就是無(wú)限趨向該點(diǎn)，這和在該點(diǎn)有沒(méi)有定義并沒(méi)有關(guān)系，所以我們只要保證除去該點(diǎn)以外的鄰域有定義即可。

這個(gè)解釋也很酷，說(shuō)明了鄰域的作用其實(shí)是一個(gè)微小的觀察空間

這個(gè)也是一個(gè)有趣的例子

審核編輯：劉清