1. 圖像的卷積

1.1 卷積

卷積是一種數學運算，它將兩個函數（或矩陣）結合起來，生成一個第三個函數。在圖像處理中，卷積通常用于將一個濾波器與圖像進行運算。

圖像的濾波器是一種用于增強或抑制圖像中特定特征的工具。它通常是一個小矩陣，定義了如何對圖像中的像素進行操作。

卷積在圖像處理中有很多應用，包括圖像平滑、圖像銳化、邊緣檢測和圖像分割。

1.2 卷積的原理

在泛函分析中，卷積（convolution），或譯為疊積、褶積或旋積，是透過兩個函數 f 和 g 生成第三個函數的一種數學算子，表征函數 f 與經過翻轉和平移的 g 的乘積函數所圍成的曲邊梯形的面積。

卷積可分為一維卷積、二維卷積、三維卷積和多維卷積等。

1.2.1 一維卷積

一維卷積在數學上的定義: f 和 g 是實數 R 上的兩個可積函數，我們稱 （f*g)(n) 為 f、g 的卷積。

其連續的定義為：

其離散的定義為：

1.2.2 二維卷積

在圖像處理中，我們常用的是二維卷積。其原理是將一個稱為卷積核(濾波器)的矩陣與圖像進行滑動運算，從而得到一個新的圖像。

2D_Convolution_Animation.gif

滑動運算是指將卷積核在圖像上逐個像素移動，并對每個位置進行卷積操作。

在圖像的二維卷積中，如果把圖像矩陣簡寫為 I 把卷積核 Kernal 簡寫為 K，則目標圖像的第 (i,j) 個像素的卷積值為：

其中，I 是一個二維矩陣，K 是一個大小為 mxn 的卷積核。基于卷積的可交換性，可以把上述公式改成：

與之類似的還有互相關函數(corresponding function):

它在很多圖像處理庫和深度學習庫中，經常會用到。

上圖實質上是二維單通道的卷積，對于二維多通道的卷積如下圖所示，將每個卷積核應用到每一個通道上。

將filters中的每個kernels分別應用于三個通道.gif

然后將每個通道處理后的每個加在一起以形成單個輸出通道。

將這三個通道加在一起（逐元素加法）以形成一個單個通道.gif

1.2.3 三維卷積

三維卷積是卷積在三維空間上的推廣。它將一個三維的濾波器與一個三維的輸入數據進行卷積運算，得到一個三維的輸出數據，以提取三維數據中的特征。主流的深度學習框架，都提供了三維卷積的實現。

3D_Convolution_Animation.gif

1.3 卷積的性質

卷積具有交換律、結合律、分配律，以二維卷積為例它具有以下的性質：

交換律：f(x, y) * g(x, y) = g(x, y) * f(x, y)

結合律：(f(x, y) * g(x, y))* h(x, y) = f(x, y) * (g(x, y) * h(x, y))

分配律：f(x, y) * (g(x, y) + h(x, y)) = f(x, y) * g(x, y) + f(x, y) * h(x, y)

2. 圖像濾波

2.1 圖像濾波

圖像濾波是一種圖像處理技術，用于增強或抑制圖像中的特定特征，它可以看作是卷積的一種特殊情況。圖像濾波可以用圖像卷積來實現，但是圖像卷積不一定是圖像濾波。

在 OpenCV 中，提供了豐富的圖像濾波函數，可以滿足各種圖像處理需求。常用圖像濾波函數包括：

均值濾波: blur()、boxFilter()

高斯濾波: GaussianBlur()

中值濾波: medianBlur()

雙邊濾波: bilateralFilter()

非線性濾波: fastNlMeansDenoising()

邊緣檢測濾波: Sobel()、Scharr()、Laplacian()

形態學濾波: erode()、dilate()、morphologyEx()

頻域濾波: dft()、idft()

下面的例子，分別展示了原圖經過均值濾波、高斯濾波、中值濾波和雙邊濾波之后的效果圖。特別是雙邊濾波，對原圖中的美女進行了美顏和磨皮。

#include
#include
#include
#include

usingnamespacestd;
usingnamespacecv;

intmain(){
Matsrc=imread(".../girl.jpg");

//均值濾波
Matblurred_image;
blur(src,blurred_image,Size(15,15));

//高斯濾波
Matgaussian_blurred_image;
GaussianBlur(src,gaussian_blurred_image,Size(15,15),0);

//中值濾波
Matmedian_blurred_image;
medianBlur(src,median_blurred_image,15);

//雙邊濾波
Matbilateral_filtered_image;
bilateralFilter(src,bilateral_filtered_image,15,80,80);

imshow("OriginalImage",src);
imshow("BlurredImage",blurred_image);
imshow("GaussianBlurredImage",gaussian_blurred_image);
imshow("MedianBlurredImage",median_blurred_image);
imshow("BilateralFilteredImage",bilateral_filtered_image);

waitKey(0);
return0;
}

OpenCV 還提供了自定義的濾波器 filter2D() 函數，在該系列的第九篇文章中，曾經介紹過 filter2D() 函數。

下面的例子，展示了使用 filter2D() 函數對圖像進行模糊和銳化。

#include
#include
#include
#include

usingnamespacestd;
usingnamespacecv;

intmain(){
Matsrc=imread(".../girl.jpg");

imshow("src",src);

Matblurred_image,sharpen_image;
Matkernel1=Mat::ones(5,5,CV_32F)/(float)(25);
Matkernel2=(Mat_(3,3)<
下面簡單解釋一下 filter2D() 函數：
voidfilter2D(InputArraysrc,OutputArraydst,intddepth,
InputArraykernel,Pointanchor=Point(-1,-1),
doubledelta=0,intborderType=BORDER_DEFAULT);


	第三個參數 ddepth: 輸出圖像的深度。當 ddepth 輸入值為 -1 時，目標圖像和原圖像深度保持一致。

	第四個參數 kernel: 卷積核。

	第五個參數 anchor: 卷積核的錨點。

	第六個參數 delta: 卷積結果與原圖像相加的值。

	第七個參數 borderType: 邊界處理方式。

	2.2 圖像濾波的分類

	根據濾波器在圖像域和頻域的操作方式，圖像濾波可以分為空間域濾波和頻域濾波。

	2.2.1 空間域濾波

	空間域濾波直接對圖像中的像素進行操作，根據濾波器與圖像像素之間的空間關系來計算輸出像素的值。空間域濾波的計算量通常較小，但濾波效果往往比較局限。

	空間域濾波按濾波器的線性特性又可分為：

	線性濾波：濾波器輸出與輸入之間呈線性關系。

	常用的線性濾波器包括：

	a  均值濾波：用于去除圖像噪聲，具有平滑圖像的效果。

	b 高斯濾波：具有平滑圖像和邊緣保持的效果。

	c  中值濾波：具有去除椒鹽噪聲和保持邊緣細節的效果。

	d 拉普拉斯濾波：用于邊緣檢測。

	非線性濾波：濾波器輸出與輸入之間不呈線性關系。

	常用的非線性濾波器包括：

	a  中值濾波：用于去除椒鹽噪聲和保持邊緣細節。

	b  雙邊濾波：具有平滑圖像和保持邊緣細節的效果。

	c  自適應濾波：根據圖像局部特性進行濾波，具有較好的濾波效果。

	2.2.2 頻域濾波

	頻域濾波是將圖像傅里葉變換到頻域，然后對頻譜進行濾波，最后再將頻譜逆傅里葉變換回空間域得到濾波后的圖像。頻域濾波的計算量通常較大，但濾波效果往往比較靈活。

	頻域濾波按濾波器的作用方式又可分為：

	低通濾波：濾除圖像中的高頻成分，具有平滑圖像的效果。

	高通濾波：濾除圖像中的低頻成分，具有銳化圖像的效果。

	帶通濾波：濾除圖像中的特定頻段成分，具有增強圖像紋理的效果。

	3. 總結

	圖像卷積和圖像濾波是圖像處理中兩個密切相關的概念。它們都涉及到使用濾波器對圖像進行操作，以獲得新的圖像。

	圖像卷積是圖像濾波的基礎，圖像濾波可以通過圖像卷積來實現，但圖像濾波也可以使用其他方法來實現。

	圖像卷積和圖像濾波具有廣泛的應用，通過使用不同的濾波器，可以實現各種圖像處理效果。

	審核編輯：黃飛