卷積神經網絡（Convolutional Neural Networks, CNNs）是深度學習中一種重要的神經網絡結構，廣泛應用于圖像識別、語音識別、自然語言處理等領域。在卷積神經網絡中，激活函數起著至關重要的作用，它們可以增加網絡的非線性，提高網絡的表達能力，使網絡能夠學習到更加復雜的特征。本文將詳細介紹卷積神經網絡中激活函數的作用、常見激活函數及其特點，以及激活函數在網絡優化中的應用。

一、激活函數的作用

1. 引入非線性 ：激活函數的主要作用是引入非線性，使得神經網絡能夠學習到復雜的函數映射。如果沒有激活函數，無論網絡有多少層，最終都可以被簡化為一個線性函數，這將大大限制網絡的表達能力。
2. 增加網絡的表達能力 ：通過激活函數，網絡可以學習到更加復雜的特征，從而提高模型的性能。例如，在圖像識別任務中，激活函數可以幫助網絡學習到圖像中的邊緣、紋理等特征。
3. 防止梯度消失或爆炸 ：在訓練過程中，如果梯度過小或過大，都會導致網絡難以收斂。激活函數可以幫助緩解這個問題，例如ReLU激活函數可以避免梯度消失的問題。
4. 提高模型的泛化能力 ：激活函數可以幫助模型更好地泛化到新的數據上。例如，Sigmoid激活函數可以將輸出壓縮到0和1之間，使得模型的輸出更加穩定。

二、常見激活函數及其特點

1. Sigmoid函數 ：

• 公式：σ(x) = 1 / (1 + exp(-x))
• 特點：Sigmoid函數可以將輸入壓縮到0和1之間，具有S形曲線。但是，Sigmoid函數存在梯度消失的問題，即當輸入非常大或非常小時，梯度接近0。

2. Tanh函數 ：

• 公式：tanh(x) = (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x))
• 特點：Tanh函數將輸入壓縮到-1和1之間，具有雙曲正切曲線。與Sigmoid函數相比，Tanh函數的輸出中心化，可以加快收斂速度。但是，Tanh函數同樣存在梯度消失的問題。

3. ReLU函數 ：

• 公式：ReLU(x) = max(0, x)
• 特點：ReLU函數在x大于0時輸出x，小于0時輸出0。ReLU函數可以有效地緩解梯度消失的問題，并且計算速度快。但是，ReLU函數存在死亡ReLU問題，即當輸入小于0時，梯度為0，導致部分神經元不再更新。

4. Leaky ReLU函數 ：

• 公式：LeakyReLU(x) = max(αx, x)
• 特點：Leaky ReLU函數是ReLU函數的改進版本，當輸入小于0時，以一個較小的正斜率輸出。這樣可以避免死亡ReLU問題，但是引入了一個超參數α，需要調整。

5. Parametric ReLU（PReLU） ：

• 公式：PReLU(x) = max(α * x, x)
• 特點：PReLU函數是Leaky ReLU函數的泛化，其中α是一個可學習的參數。這樣可以使得模型自動學習α的最優值，提高模型的表達能力。

6. Exponential Linear Unit（ELU） ：

• 公式：ELU(x) = x if x > 0 else α * (exp(x) - 1)
• 特點：ELU函數在正數區域與ReLU函數相同，但是在負數區域，ELU函數的輸出是負的，并且隨著輸入的減小而減小。這樣可以使得負數區域的輸出更加平滑，有助于緩解梯度消失的問題。

7. Scaled Exponential Linear Unit（SELU） ：

• 公式：SELU(x) = λ * ELU(x)
• 特點：SELU函數是ELU函數的自歸一化版本，其中λ是一個常數。SELU函數具有自歸一化的特性，可以保證網絡的輸出在訓練過程中保持穩定。

8. Softmax函數 ：

• 公式：Softmax(x_i) = exp(x_i) / Σ_j exp(x_j)
• 特點：Softmax函數通常用于多分類問題中，將輸入的向量轉換為概率分布。Softmax函數可以將輸入的任意實數值轉換為0到1之間的概率值，并且所有概率值的和為1。