在數字信號處理領域，IIR（無限脈沖響應）系統和FIR（有限脈沖響應）系統是兩種常用的濾波器類型。它們在設計、性能和應用方面都存在顯著差異。

1. 數學基礎

1.1 IIR系統

IIR系統是一種遞歸濾波器，其輸出不僅取決于當前和過去的輸入值，還取決于當前和過去的輸出值。IIR系統的數學表達式可以表示為：

[ y[n] = -sum_{k=1}^{N} a_k y[n-k] + sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k] ]

其中，( y[n] ) 是輸出信號，( x[n] ) 是輸入信號，( a_k ) 和 ( b_k ) 分別是濾波器系數，( N ) 和 ( M ) 分別是濾波器的階數。

1.2 FIR系統

與IIR系統不同，FIR系統是一種非遞歸濾波器，其輸出僅取決于當前和過去的輸入值，而與過去的輸出值無關。FIR系統的數學表達式可以表示為：

[ y[n] = sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k] ]

其中，( y[n] ) 是輸出信號，( x[n] ) 是輸入信號，( b_k ) 是濾波器系數，( M ) 是濾波器的階數。

2. 設計方法

2.1 IIR系統設計

IIR系統的設計通常涉及兩個主要步驟：確定濾波器的階數和系數。設計方法包括：

1. 脈沖響應法 ：通過給定的脈沖響應來確定濾波器的系數。
2. 頻率響應法 ：通過給定的頻率響應來確定濾波器的系數。
3. 最小二乘法 ：通過最小化誤差來確定濾波器的系數。
4. 優化方法 ：通過優化算法（如遺傳算法、粒子群優化等）來確定濾波器的系數。

2.2 FIR系統設計

FIR系統的設計通常涉及三個主要步驟：確定濾波器的階數、窗函數和系數。設計方法包括：

1. 窗函數法 ：通過給定的窗函數來確定濾波器的系數。
2. 頻率采樣法 ：通過給定的頻率采樣點來確定濾波器的系數。
3. 最小二乘法 ：通過最小化誤差來確定濾波器的系數。
4. 優化方法 ：通過優化算法（如遺傳算法、粒子群優化等）來確定濾波器的系數。

3. 穩定性

3.1 IIR系統穩定性

IIR系統的穩定性取決于其系數。如果所有極點都位于單位圓內，則IIR系統是穩定的。然而，IIR系統的穩定性較難保證，因為其系數可能會受到設計方法和參數選擇的影響。

3.2 FIR系統穩定性

與IIR系統不同，FIR系統總是穩定的。這是因為FIR系統的極點都位于原點，這意味著它們不會對系統的穩定性產生影響。

4. 頻率響應

4.1 IIR系統頻率響應

IIR系統的頻率響應可以通過其系數和階數來確定。IIR系統的頻率響應通常具有更復雜的形狀，這使得它們在某些應用中具有優勢。然而，IIR系統的頻率響應也可能導致相位失真和振鈴效應。

4.2 FIR系統頻率響應

FIR系統的頻率響應可以通過其系數和窗函數來確定。FIR系統的頻率響應通常具有線性相位特性，這意味著它們在處理信號時不會產生相位失真。然而，FIR系統的頻率響應可能在某些應用中不夠靈活。