定點小數運算

有些FPGA中是不能直接對浮點數進行操作的，只能采用定點數進行數值運算。

所謂定點小數就是把小數點的位置固定，我們要用整數來表示小數。

先以10進制為例。如果我們能夠計算12+34=46的話，當然也就能夠計算1.2+3.4 或者 0.12+0.34了。所以定點小數的加減法和整數的相同，并且和小數點的位置無關。乘法就不同了。 12*34=408，而1.2*3.4=4.08。這里1.2的小數點在第1位之前，而4.08的小數點在第2位之前，小數點發生了移動。所以在做乘法的時候，需要對小數點的位置進行調整？！可是既然我們是做定點小數運算，那就說小數點的位置不能動！！怎么解決這個矛盾呢，那就是舍棄最低位。

也就說1.2*3.4=4.1，這樣我們就得到正確的定點運算的結果了。所以在做定點小數運算的時候不僅需要牢記小數點的位置，還需要記住表達定點小數的有效位數。上面這個例子中，有效位數為2，小數點之后有一位。

現在進入二進制。我們的定點小數用16位二進制表達，最高位是符號位，那么有效位就是15位。小數點之后可以有0 - 15位。我們把小數點之后有n位叫做Qn，例如小數點之后有12位叫做Q12格式的定點小數，而Q0就是我們所說的整數。

Q12的正數的最大值是 0 111 。 111111111111，第一個0是符號位，后面的數都是1，那么這個數是十進制的多少呢，很好運算，就是 0x7fff / 2^12 = 7.999755859375。對于Qn格式的定點小數的表達的數值就它的整數值除以2^n。在計算機中還是以整數來運算，我們把它想象成實際所表達的值的時候，進行這個運算。

反過來把一個實際所要表達的值x轉換Qn型的定點小數的時候，就是x*2^n了。例如 0.2的Q12型定點小數為：0.2*2^12 = 819.2，由于這個數要用整數儲存， 所以是819 即 0x0333。因為舍棄了小數部分，所以0x0333不是精確的0.2，實際上它是819/2^12 =0.199951171875。

我們用數學表達式做一下總結：

x表示實際的數（*一個浮點數）， q表示它的Qn型定點小數（一個整數）。

q = （int） （x * 2^n）

x = （float）q/2^n

驗證：

由于/ 2^n和* 2^n可以簡單的用移位來計算，所以定點小數的運算比浮點小數要快得多。下面我們用一個例子來驗證一下上面的公式：

用Q12來計算2.1 * 2.2，先把2.1 2.2轉換為Q12定點小數：

2.1 * 2^12 = 8601.6 = 8602

2.2 * 2^12 = 9011.2 = 9011

（8602 * 9011） 》》 12 = 18923

18923的實際值是18923/2^12 = 4.619873046875 和實際的結果 4.62相差0.000126953125，對于一般的計算已經足夠精確了。

小數的定標精度、范圍

采用定點數進行數值運算，其操作數一般采用整型數來表示。一個整型數的最大表示范圍取決于DSP芯片所給定的字長，一般為16位或24位。顯然，字長越長，所能表示的數的范圍越大，精度也越高。

對于FPGA而言，FPGA對小數是無能為力的，一種解決方法是采用定標，就是將運算的浮點數擴大很多倍，然后取整，再用這個數進行運算，運算結束后再縮小相應的倍數。

通過設定小數點在16位數中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小數了。數的定標有Q表示法和S表示法兩種。表1.1列出了一個16位數的16種Q表示、S表示及它們所能表示的十進制數值范圍。

同樣一個16位數，若小數點設定的位置不同，它所表示的數也就不同。例如：

16進制數2000H=8192，用Q0表示

16進制數2000H=0.25，用Q15表示

不同的Q所表示的數不僅范圍不同，而且精度也不相同。Q越大，數值范圍越小，但精度越高；相反，Q越小，數值范圍越大，但精度就越低。

例如，Q0 的數值范圍是一32768到+32767，其精度為1，而Q15的數值范圍為-1到0.9999695，精度為1/32768=0.00003051。因此，對定點數而言，數值范圍與精度是一對矛盾，一個變量要想能夠表示比較大的數值范圍，必須以犧牲精度為代價；而想精度提高，則數的表示范圍就相應地減小。在實際的定點算法中，為了達到最佳的性能，必須充分考慮到這一點。

浮點數與定點數的轉換關系可表示為：

浮點數（x）轉換為定點數（xq）：xq=（int）x* 2^Q

定點數（xq）轉換為浮點數（x）：x=（float）xq*2^（-Q）

例如，浮點數x=0.5，定標Q=15，則定點數xq=L0.5*32768J=16384，式中LJ表示下取整。反之，一個用Q=15表示的定點數16384，其浮點數為16384*2-15=16384/32768=0.5。浮點數轉換為定點數時，為了降低截尾誤差，在取整前可以先加上0.5。

Q和S表示方法，如下表所示。

Q表示 S表示 十進制表示范圍

Q15 S0.15 -1≤x≤0.9999695

Q14 S1.14 -2≤x≤1.9999390

Q13 S2.13 -4≤x≤3.9998779

Q12 S3.12 -8≤x≤7.9997559

Q11 S4.11 -16≤x≤15.9995117

Q10 S5.10 -32≤x≤31.9990234

Q9 S6.9 -64≤x≤63.9980469

Q8 S7.8 -128≤x≤127.9960938

Q7 S8.7 -256≤x≤255.9921875

Q6 S9.6 -512≤x≤511.9804375

Q5 S10.5 -1024≤x≤1023.96875

Q4 S11.4 -2048≤x≤2047.9375

Q3 S12.3 -4096≤x≤4095.875

Q2 S13.2 -8192≤x≤8191.75

Q1 S14.1 -16384≤x≤16383.5

Q0 S15.0 -32768≤x≤32767

一般在FPGA中處理小數定點數，需要自己去定點，比如用16位，就可以分成8位整數和8位小數，即（8，8），即“定點”在第8位。那么：

1 -》 16‘h0100

1.5 -》 16’h0180

-1.5 -》 -1.5*256 + 65536（補碼） -》 16‘hFE80

1.164 -》 1.164*256 = 298 = 16’h012A

如果兩個小數相乘，即表示定點數相乘，比如，Q15表示的4000H（浮點數0.5）乘以Q15表示的4000H，4000H×4000H=1000 0000H，那么乘完之后的Q值為15+15=30.即浮點數表示0.25.