頻率響應函數表征了測試系統對給定頻率下的穩態輸出與輸入的關系，可以通過系統函數（或稱為傳遞函數）來求解。以下是由系統函數求頻率響應的步驟：

一、理解系統函數與頻率響應的關系

1. 系統函數（傳遞函數）：在復數域中描述和考察系統的特性，通常表示為G(s)，其中s是復數變量，s=σ+jω（σ為實部，ω為虛部）。
2. 頻率響應函數：描述系統對不同頻率正弦輸入信號的響應特性，是系統傳遞函數在σ=0時的特例，即當系統處于穩態時，輸入和輸出的傅里葉變換之比。

二、求解頻率響應的步驟

1. 寫出系統函數 ：
   • 根據系統的差分方程或已知的系統函數G(s)，準備進行下一步的轉換。
2. 代入ω值 ：
   • 為了求解頻率響應，將系統函數G(s)中的s替換為jω，其中ω是連續變化的角頻率。這一步是將拉普拉斯變換轉化為傅里葉變換的關鍵。
3. 化簡表達式 ：
   • 將jω代入系統函數后，進行化簡，得到頻率響應的表達式H(jω)。這個表達式通常可以表示為復數形式，即a+bj（a和b為實數）。
4. 分析特性 ：
   • 根據化簡后的表達式H(jω)，分析系統在不同頻率ω下的增益（幅度）和相位特性。這可以通過計算表達式的模和輻角來實現。
     • 模：表示系統對不同頻率信號的放大或衰減程度。
     • 輻角：表示系統對不同頻率信號的相位延遲或超前。

三、注意事項

1. 在求解頻率響應時，需要確保系統是穩定的，即系統函數的極點都位于復平面的左半部分（對于連續系統）或單位圓內（對于離散系統）。
2. 頻率響應函數是復數，因此可以分別畫出幅頻特性曲線和相頻特性曲線來直觀地表示系統的頻率響應特性。
3. 在實際應用中，如果系統的傳遞函數難以直接獲得，可以通過實驗方法測量系統的頻率響應。

綜上所述，由系統函數求頻率響應的過程涉及將系統函數中的s替換為jω，化簡表達式，并分析系統的增益和相位特性。這一過程有助于理解系統對不同頻率信號的響應行為。