在半導體中，除了能帶寬度外，一個重要的物理量是電荷載流子(電子和空穴)的遷移率。在本教程中，我們將研究霍爾效應，這使我們能夠實驗性地確定半導體中的這一物理量。

電荷載流子遷移率

在本篇文章中，我們將采用在早期期刊中探討的德魯德-洛倫茲框架。我們回顧一下，這一模型完全基于經典力學。唯一的“外部”成分是電子的有效質量m?;這是一種數學手段，使我們能夠將電子視為不受力的經典粒子。通過這種方式，我們避免了量子復雜性，因為我們需要考慮晶格離子施加的周期性勢能。極端總結如下場景：一個電子與一個離子發生非彈性碰撞，失去其所有的動能。

施加一個均勻的靜電場 E 會加速電子;加速度向量的大小為 a=m?eE?，其中 e 是電子電荷的絕對值。如果 τr? 是一次碰撞與下次碰撞之間的平均時間(弛豫時間)，則電子在經歷新碰撞的瞬間速度向量的大小為 vd?=aτr?，其中我們識別出在前一篇文章中我們通過軟件重構的漂移速度。轉向相應的向量量(請記住在我們的符號中，電子電荷為 e<0，我們得到：

其中 n 是電子的數密度。電流密度向量 j 的方向與電場相同，而漂移速度則朝相反方向。從方程(1)中的歐姆定律可以推導出：

其中 σ 是電導率。

在室溫下，上述描述的場景再現了金屬的電氣行為。這些結果很容易擴展到半導體，只要在 σ 的表達式中包含空穴的貢獻，其中空穴有一個有效質量 ??mh??，通常與電子質量不同。假設兩種電荷載流子的時間 τr? 相同是一種良好的近似(更復雜的模型則假設 τr? 不僅依賴于載流子的符號，還依賴于單個電子/空穴)。

電導率的解析表達式通過定義電子和空穴的遷移率可以得到一個更易于處理的形式：

方程(3)從微觀角度定義了遷移率。考慮到上述公式，我們得出一種宏觀定義，即電荷載流子的遷移率是其漂移速度與電場的比值。從實驗的角度來看，量(3)可以通過霍爾效應來確定。在進入這個十九世紀發現的過程之前，我們必須澄清一些電磁學的概念。

磁場：B還是H

在關于電磁學的舊出版物中，假定 H(磁場強度)是基本向量，而 B(磁感應)是派生向量。然而，為了保持電量和磁量之間的對稱性，有必要將 B 視為基本向量。令人困惑的是，在靜電學中，電場強度 E 被視為基本向量，而電位移 D 是派生向量。

但在觀察麥克斯韋方程時，為了建立電荷與電流之間的對稱性，以及差分算子散度和旋度之間的對稱性，我們必須將 B 視為基本向量。在許多固態物理文獻中，H 出現在方程中，并說明該量與 B 相同，因為未考慮鐵磁材料。為了避免誤解，在我們的方程中，B 將作為磁場出現。

另一個問題是：“使用哪種單位制，國際單位制 (SI) 還是高斯單位制?”答案取決于讀者。如果他是物理學家，他會回答：“高斯”。如果他是工程師，他會回答：“國際單位制”。高斯單位制更適合亞原子過程，而 SI(或合理化的 MKS)則適用于宏觀系統。我們將使用 SI，其中 B 以 Wb/m2Wb/m2 為單位。

霍爾效應

在霍爾效應中，關鍵角色由洛倫茲力 F 負責，即作用于以速度 v 在磁場 B 中移動的電荷 q 的力。在國際單位制中：

我們考慮圖 1 中所示的實驗配置，在這個配置中，我們對一個具有平行六面體形狀的金屬導體的兩端施加一個恒定的電壓差 0V0?，其邊長為 L,d,w。在均勻和各向同性的條件下，將建立一個沿 y 軸方向的均勻靜電場：E=(0,E,0)。這導致電流密度 j 與電場向量 E 平行且一致，而速度向量則朝相反方向(如圖 1 中的虛線所示)。構成導體的材料的均勻性和各向同性，加上熱平衡，保證了如上所述的直線軌跡。

激活一個均勻的磁靜場 B=(0,0,B) 產生一個洛倫茲力 F，其方向如圖 1 所示，偏轉單個電子的軌跡。由于導體的任何橫截面都是一個開路，因此電子無法無限流動。最終結果是在一個邊緣上出現負電荷的過剩(圖 1);隨后將建立一個名為霍爾場 EH? 的電場。更確切地說，當霍爾場施加的力與洛倫茲力 F 相等且方向相反時，將達到平衡，如圖 1 中的力圖所示。通過速度向量與磁場正交，可以輕松展開表示洛倫茲力的向量積。

應用動態平衡條件，我們可以輕松得到：EH?=vd?B，現在如果我們隨意選取導體的一個橫截面 ΣΣ，在點 1 和點 2 之間(圖 1)，將建立一個電壓差 VH?=EH?d(霍爾電壓)。考慮到 EH? 的表達式，并將 vd? 表示為電流密度 j 的函數，因此電流強度為 i=jS，其中 S=wd 是 ΣΣ 的面積，我們得到：

其中 RH?=ne1? 是霍爾系數，即電荷密度的倒數。考慮到(3)中的第一個公式，我們最終得到：

在方程(5)中，B 和 w 已知。量 VH? 和 i 可以被測量，因此我們可以計算 RH?;假設已知電導率 σ，(6)使我們能夠確定 μe?。不幸的是，對于金屬來說，由于電子數密度很高，VH? 太低;實際上，霍爾電壓與 RH? 成正比，即與電荷密度的倒數成正比。這在半導體中并不發生(此時電荷密度降低了大約 105105 倍)，注意到所獲得的結果很容易通過引入空穴的遷移率來擴展。我們邀請讀者為一塊 p 型硅條確定空穴的遷移率，其條件為：

結論

所提出的實驗使我們能夠在室溫下確定遷移率。考慮極端溫度的模型更加復雜，例如在航天探測器上的半導體器件中發生的溫度。相反的極限(高溫)也是電力電子的一個典型問題。