一. 能量信號和功率信號

有兩個重要的概念: 能量信號和功率信號, 能量有限的信號即為能量信號, 其平均功率為零; 功率有限的信號即為能量信號, 其能量為無限大. 關于能量信號和功率信號的計算, 涉及一個很重要的定理, 即帕塞瓦(Parseval)定理, 在考研中經常要考到, 是一個重要的知識點. 簡單說, 信號的能量和功率的計算, 既可以在時間域(時域)中進行, 也可以在頻率域(頻域)中進行, 計算的結果是一樣的. 帕塞瓦定理的運用提供了一些出考題的機會, 比如讓你計算一個積分, 其物理含義是在時域計算信號的能量, 但是計算很困難, 那么可以用帕塞瓦定理轉化為在頻域里面計算, 往往比較簡單. 但是, 有的考研題目出得并不好, 不用帕塞瓦定理, 直接用高等數學的知識就可以求解.

帕塞瓦定理的兩種形式

二. 信號的運算

信號的運算基本只涉及數學知識, 即函數的運算, 但是也涉及一些重要的概念, 比如線性和調制等. 線性就是齊次性和可加性, 涉及到信號的相加; 把一個基帶信號和一個高頻正弦信號相乘, 就是一個調制過程, 實現了頻譜的搬移. 還有信號的展縮, 后面會把它和頻域的對應關系聯系起來: 信號在時域伸展, 那么在頻域就壓縮, 反之亦然, 頻域和時域的展縮性剛好相反. 當一個信號在時域寬度為零時, 那么在頻域寬度就是無限的, 比如沖激信號. 信號的運算中的畫圖是基本功, 數學學得好的中學生應該都能畫圖.

三. (連續)信號的導數和積分

高等數學里面的函數性質一般是良好的, 可以連續求導和積分, 而本課程中引入的一些信號, 如沖激信號和階躍信號等, 性質是很不好的, 但是我們仍然可以引入求導和求積的運算, 往往會給一些計算帶來方便. 有時, 性質最不好的信號, 卻具有最好的性質, 比如沖激信號δ(t)和任何信號做卷積運算, 得到信號本身, 即

性質最不好的信號δ(t), 在卷積中運算中的地位, 居然和1在普通乘法中的地位一樣! 所以, 不要害怕這些所謂性質不好的信號, 它們可能在其他方面的性質是很好的!

信號的求導和積分, 在各種變換中都有對應的性質, 比如用拉氏變換求解微分方程, 涉及信號的導數的拉氏變換.

四. (離散)信號的差分和迭分

這兩個運算和連續信號的微分和積分是對應的. 差分分前向差分和后向差分, 大多數教材采用后向差分的形式, 兩種差分形式本質上是一樣的, 在具體計算上有一點差別, 以后在講到離散信號與系統的時域分析時, 我們可以從例子看出兩個差分的差別. 迭分就是一種求和.

五. 四個重要信號

在連續和離散系統中, 分別介紹了兩個重要的基本信號, 我們必須把它們的名稱分清: 連續系統中分別是階躍信號ε(t)和沖激信號δ(t), 離散系統中分別是階躍序列ε(k)和脈沖序列δ(k), 其中脈沖序列δ(k)在有的數字信號處理教材中稱為單位采樣序列. 常言說, 名不正則言不順, 我們要把各種不同的信號很清晰地表達出來, 以免混淆.