Linear Programming線性規劃，就是目標函數和約束條件都是線性的優化問題，是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法，英文縮寫LP。

一、業務問題描述：這是一個簡單的線性規劃問題，具體要求如下：

某公司生產氨氣（NH3）和氯化銨（NH4CI）, 公司的日處理能力為50單位的氮（N）, 180單位的氨（H）, 40單位氯（CI）. 氨氣的利潤為30$/每單位、氯化銨的利潤為40$/每單位，如何確定氨氣和氯化銨的產量，使利潤最大？

二、從數學的角度理解和定義該問題：

將上述生產問題轉為為數學問題，建立數學模型一般有以下三個步驟：

1.根據影響所要達到目的的因素找到決策變量；

2.由決策變量和所在達到目的之間的函數關系確定目標函數；

3.由決策變量所受的限制條件確定決策變量所要滿足的約束條件。

三、OPL模型建立的步驟

下面用OPL語言來理解和定義該問題，OPL模型就是尋找決策變量，使得決策變量滿足約束條件并取得目標函數最值的過程。下面是求解該問題的幾個步驟：

1.定義該問題的數據變量，

為了方便起見，以下定義的數據變量均為數組變量，數組是有序數據的集合，一個數組中的每一個元素都屬于同一種數據類型。

（1）Products 代表氣體的名稱，

{string}Products = ...;

即定義了數組名為“Products”的字符串數組，一維數組。

（2）Components 代表所含的成分，

{string} Components = ...;

即定義了數組名為“Components”的字符串數組，一維數組。

（3）Demand 代表每種氣體所含的成分，

floatDemand[Products][Components] = ...;

即定義了數組名為“Demand”的浮點型數組，二維數組。

（4）Profit 代表對應氣體的利潤，

float Profit[Products] =...;

即定義了數組名為“Profit”的浮點型數組，一維數組。

（5）Stock 代表該成分的日處理能力，

float Stock[Components] =...;

即定義了數組名為“Stock”的浮點型數組，一維數組。

2.數據的初始化；

定義了數據變量之后，要進行數據的初始化，所謂初始化就是給數據變量賦值，下面依次給上述定義的數據變量賦值：

Products = { "NH3" "NH4CI"};

Components = { "N" "H" "CI"};

Demand = [ [1 3 0] [1 4 1] ];

Profit = [30 40];

Stock = [50 180 40];

3.定義決策變量，數據變量和決策變量是有區別的，數據變量是具體數據的名稱，比如之前定義的數據變量“Products”，代表該公司生產氣體的名稱，而決策變量是針對數學模型來說的，這個問題所需做的決策即每種氣體的產量，

dvar float+Production[Products];

dvar(decision variable)是定義決策變量的一個最常用的關鍵字，

此處定義了變量名為”Production”的決策變量，代表兩種氣體的產量，其實是浮點型數組。

4. 目標函數的定義，即利潤最大化，目標函數是決策變量的線性函數，

maximize

sum( p in Products )

Profit[p] * Production[p];

5. 約束條件的設定，有三種成分有日處理能力的限制，用很簡潔的寫法實現：

subject to {

forall( c in Components )

ct:

sum( p in Products )

Demand[p][c] * Production[p] <= Stock[c];

}

四、用IBM ILOG CPLEX Optimization Studio 12.8來求解該問題

IBM ILOG CPLEX Optimization Studio 12.8來求解該問題的具體操作過程如下：

打開軟件界面，有四個常用的窗口，分別是OPL項目導航窗口、編輯窗口、問題瀏覽器窗口、輸出窗口；

新建一個OPL項目，項目名稱是“gaseous”，勾選”Adda default Run Configuration”、“CreateModel”和“CreateData”，即該OPL項目包含一個模型文件和一個數據文件；

編輯模型文件的內容，即“gaseous.mod”文件

該模型文件的內容包含四部分內容：

（1） 定義數據變量；

（2） 定義決策變量；

（3） 設定目標函數；

（4） 設定約束條件；

編輯數據文件的內容，即“gaseous.dat”文件

然后在”Configuration(default)”上執行：

執行 Run Configuration，得到如下輸出結果：

五、業務解讀

從IBM ILOG CPLEX Optimization Studio 12.8的運行結果，可知當氨氣的產量為6.6667個單位，氯化銨的產量為40個單位時，該公司得到最大利潤，并滿足當日每種成分的處理能力限制。