基本上所有的結構工程師都會使用到圣維南原理。大多數結構力學教科書都收錄了基于該原理的各種公式，但至今尚未對其進行嚴格證明。圣維南原理指出，只要載荷的合力正確，那么在遠離載荷作用區的地方，載荷的精確分布就不重要。在本文中，我們將采用有限元分析對圣維南原理進行探究。

圣維南原理的歷史

1855 年，法國科學家圣維南（Barré de Saint-Venant）發表了一個著名原理，但與其說這是一個嚴謹的數學命題，不如說是一個觀察發現：

“如果作用在彈性體一小塊表面上的力被作用于同一塊表面上的靜力等效力系替代，這種替換僅使局部表面產生顯著的應力變化，而在比應力變化表面的線性尺寸更遠的地方，其影響可忽略不計。”

B. Saint-Venant, Mém. savants étrangers, vol. 14, 1855.

圣維南肖像。圖像來源于公有領域，通過 Wikimedia Commons 共享。

在應用力學領域，Boussinesq、Love、von Mises、Toupin 等科學家都對這一原理進行了精準的敘述，并給出了數學證明。但是對于很多一般性問題，論證圣維南原理具有很大難度，所以對該課題的研究仍在繼續（有些論據相當鮮明）。

簡單案例：遠距離應力分析

讓我們從一個簡單的案例開始：對矩形薄板施加軸向拉力，與載荷作用邊相隔一段距離處有一個圓孔。假如我們要分析孔的應力集中，那么實際的載荷分布有多重要呢？

我們對右側邊界施加了三種不同類型的載荷：

100 MPa 的恒定軸向應力

峰值振幅為 150 MPa 的對稱拋物線應力分布

等于上述兩種載荷工況合力的中心點載荷

如下方繪圖所示，載荷施加方式不影響孔周圍的應力分布。當然，關鍵在于孔距離載荷足夠遠。

三種載荷工況對應的 Von Mises 應力分布。

該場景也可以使用箭頭圖來繪制主應力。此圖將應力場繪制為通量，從而清晰地展示了應力重新分布的變化。

三種載荷工況的主應力繪圖。請注意，使用點載荷時出現了一個奇異點。

通過繪制應力曲線，我們發現當圓孔與受力邊相距一定距離后，三種工況的曲線就會聚在一起，這個距離大約等于板的寬度。

頂邊上的應力隨與受力邊界間距的變化而變化。距離為通過板寬進行標準化后的值。

如果孔向載荷作用邊靠近，結果就會不同。這時，孔周圍的應力狀況取決于應力分布。更有意思的是，孔到三個應力場趨向一致的位置的距離是到載荷邊界距離的兩倍。應用圣維南原理的前提是應力可以自由地重新分布。然而在此例中，孔在一定程度上阻礙了應力重新分布。

孔離受力邊更近時，頂邊的應力分布。

值得注意的是，圣維南原理指出：當距離大約等于載荷作用區的線性尺寸量級時，應力狀態沒有差別。不過，要考慮的受載區卻未必是真正加載的地方！這個說法聽起來或許很奇怪，我們可以這樣想：當孔距離較遠時，我們可根據參考書（我的參考書為 4.32），而不是使用有限元解來計算應力集中系數。參考書中有一個隱含假設：在第一個載荷工況中，載荷是均勻分布的。因此，即便載荷實際上只施加到一小塊邊界上，該例中的臨界距離仍與整個邊界尺寸都有關。

如果使用有限元方法（FEM）來求解問題，孔可以任意接近載荷。唯一的限制是，從物理的角度來看，載荷分布是明確定義的。不過，只要我們對重新分布做出假設，就會存在關于載荷分布的隱含假設，而這個假設可能與實際情況不同。

零力系與應變能密度

我們在上文中解釋了在特定的適當距離之外，應力大小，其大小與載荷大小無關。因此，在處理線彈性時，我們總是可以疊加載荷工況。當證明圣維南原理時，很容易沿著這個思路總結出一個原則：由無合力或力矩的載荷系統引起的應力在一定距離之外很小，該距離與載荷作用邊界的尺寸是同一數量級。

所以，我們將對兩個合力相同的載荷系統的差別所導致的應力進行研究。近代的大多數證明都以這類零力系的應變能密度的衰減的估計值為基礎。

回到上面的問題，我們可以計算各個載荷工況的差別，借此對由應力場的差別造成的應力或應變能密度的衰減現象進行準確的研究。

合力為零的載荷工況的應變能密度的對數。

合力為零的載荷工況對應的薄板應變能密度。為了使能量僅僅取決于與載荷的距離而變化，對垂直方向的能量進行了積分。

應變能密度的對數衰減率與同載荷作用邊界的距離或多或少呈線性關系。這實際上符合現代證明的預測——應變能密度的指數衰減。我們還能清晰地看到圓孔是如何短暫降低衰減率的。

對薄壁結構應用圣維南原理

眾所周知，對于殼體、梁和桁架之類的薄壁結構，我們不能按處理“結實”物體的方式來應用圣維南原理。因為薄壁結構內的載荷路徑少得多，所以擾動傳播的距離比想象中遠。上文的圓孔案例也出現了這種現象，只是薄壁結構更加顯著。

在本文中，我們選擇研究一個符合 IPE100 截面標準的梁。梁末端受到軸向應力的作用，應力大小在兩個橫截面方向均呈線性分布。

使用等值線和箭頭來表示載荷分布。

由于載荷具有對稱性，因此其合力為零，所有軸線周圍的力矩也為零。橫截面高 100 mm，如果圣維南原理的標準形式對其適用，那么在距離末端截面約 100 mm 的地方應力應該很小。

梁內的有效應力。紅色等值線表示低于施加的峰值應力的 5% 的應力。

事實證明，為了使應力低于施加的峰值應力的 5%，應力必須沿梁移動近一米的距離，而上翼緣和下翼緣需要通過薄腹板傳遞力矩來保持平衡，這就造成應力重新分布的效率非常低。

如果你十分熟悉梁的非均勻扭轉理論，比如翹曲理論或弗拉索夫理論，就會意識到施加的載荷有很大的雙力矩。雙力矩是一個橫截面量，其物理大小等于力 X 長度 2。

或許在此例中（只是我個人的推測），圣維南原理有效的條件不僅是力和力矩為零，還有雙力矩為零。這一點可以通過增加四個可抵消雙力矩的點載荷來實現。該分析的結果如下圖所示。

繪圖顯示了添加了四個點載荷，雙力矩變為零后的有效應力。現在 5% 的應力等值線十分靠近載荷作用邊界。

我們沒有特意選擇施加點載荷的最優位置，點載荷產生了極大的（實際為奇異的）局部應力。不過，應力很快下降，超出 100 mm 左右后都小于 5%。5% 的下限仍然是針對所施加的分布載荷而言，并沒有根據新的局部應力進行調整。增加點載荷之后，應變能密度的對數衰減率加快了兩倍。

有限元分析中的圣維南原理

很多情況下，你可以直觀地認為圣維南原理適用于有限元離散化問題。在本文中，我們主要探討分布載荷和不相容網格。

分布載荷

雖然我們在有限元模型中將應力設為連續的邊界載荷，但總要將應力施加在網格節點上。如下方案例所示，根據虛功原理載荷分布到單元內部節點。

線性分布載荷以及如何將其施加在邊長為 L 的二階拉格朗日單元節點上。

不過，只要合力和力矩相同，相同的節點載荷可以對應無數種載荷分布。顯然，這類情況的有限元問題都擁有相同的解。不過，我們可以根據圣維南原理推斷，只要相距一定距離，這類載荷本質上應該產生相同的應力場。

由于載荷重新分布的區域尺寸是基于單元面的，因此線性尺寸本質上是結構內部的一個單元層。所以，單元最外層的解可能與實際載荷不符，內部的解則相同。

舉個例子，我們對一塊矩形板施加了應力呈指數分布的邊界載荷，并采用細化網格進行了計算，應力結果如下圖所示。

軸向應力分布的等值線圖。

不出所料，受圣維南原理的影響，在離載荷作用邊一定距離的地方，應力場重新分布成了純彎曲狀態。不過，這不是本次討論的核心。我們研究的是上方的應力分布與使用粗化網格得到的應力分布之間的差別。

采用三種不同網格對應的軸向應力誤差。注意三者尺度不同。網格越細，誤差越小，這符合預期。

可以發現，經過第一個單元層之后，誤差快速減少。圖中實際上是網格的收斂性和符合圣維南原理的應力重新分布的共同效果。

不相容網格

當兩個相互連接的單元的形函數不匹配時，會出現不相容網格。這類問題最常見于使用一致對和連續性條件來連接裝配的情況。為了舉例說明，我們選擇對一根包含故意不匹配的網格的直桿進行研究。通過施加簡單的載荷工況，比如單軸拉伸，我們就能研究由過渡導致的應力擾動。

不相容網格過渡處的軸向應力。圖片使用了二階單元。

左右兩側的節點傳遞的力并不符合應力不變的假設。這種情況也可以被看作局部載荷在等于單元大小的區域上進行重新分布。根據圣維南原理，我們推斷在“單元大小”的距離之外，擾動會逐漸消失。下面我們研究一下軸向網格細化后，將會出現什么情況。

應力誤差大于 0.1% 的區域。在軸向上使用了三種不同的離散化。

結果證明，擾動區域在垂直于過渡邊界的方向上不受離散化的影響。這與圣維南原理的推斷完全一致。

結束語

因為不可知詳細的載荷分布，所以如果不使用圣維南原理，很多結構分析都難以進行。

在形式上，原理只對線彈性材料有效。在實踐中，我們每天也會直覺地將其應用于其他類型的仿真。舉例來說，如果“帶孔板”案例中的材料是彈塑性的，只要屈服應力大于邊界應力，且孔周圍只有彈性變形，我們就會預測兩個分布載荷生成相同的結果。不過，因為點載荷周圍的材料發生了屈服，所以點載荷總是生成不同的解。