今天要寫的是關于機器學習和深度學習中的一項關鍵技術：正則化。相信在機器學習領域摸爬滾打多年的你一定知道正則化是防止模型過擬合的核心技術之一，關于欠擬合和過擬合的問題

總的來說，監督機器學習的核心原理莫過于如下公式：

該公式可謂是機器學習中最核心最關鍵最能概述監督學習的核心思想的公式了：所有的有監督機器學習，無非就是正則化參數的同時最小化經驗誤差函數。最小化經驗誤差是為了極大程度的擬合訓練數據，正則化參數是為了防止過分的擬合訓練數據。你看，多么簡約數學哲學。正如之前所說，監督機器學習是為了讓我們建立的模型能夠發現數據中普遍的一般的規律，這個普遍的一般的規律無論對于訓練集還是未知的測試集，都具有較好的擬合性能。通俗點舉例就是，考試能力很強，應用能力很差，或者是模擬考很強，高考卻一般。

先不扯遠了，繼續回到公式。第一項經驗誤差函數在機器學習中無疑地位重要，但它不是筆者今天要講的，今天要講的是公式的第二項：正則化項。第二項中 λ 為正則化系數，通常是大于 0 的，是一種調整經驗誤差項和正則化項之間關系的系數。λ = 0 時相當于該公式沒有正則化項，模型全力討好第一項，將經驗誤差進行最小化，往往這也是最容易發生過擬合的時候。隨著 λ 逐漸增大，正則化項在模型選擇中的話語權越來越高，對模型的復雜性的懲罰也越來越厲害。所以，在實際的訓練過程中，λ 作為一種超參數很大程度上決定了模型生死。

L1 和 L2 范數

系數 λ 說完了，然后就是正則化項，正則化項形式有很多，但常見的也就是 L1 和 L2 正則化。下面筆者就帶大家好好拾掇拾掇這些個 L1 L2。

在說常見的 L1 和 L2 之前，先來看一下 L0 正則化。L0 正則化也就是 L0 范數，即矩陣中所有非 0 元素的個數。如何我們在正則化過程中選擇了 L0 范數，那該如何理解這個 L0 呢？其實非常簡單，L0 范數就是希望要正則化的參數矩陣 W 大多數元素都為 0。如此簡單粗暴，讓參數矩陣 W 大多數元素為 0 就是實現稀疏而已。說到這里，權且打住，想必同樣在機器學習領域摸爬滾打的你一定想問，據我所知稀疏性不通常都是用 L1 來實現的嗎？這里個中緣由筆者不去細講了，簡單說結論：在機器學習領域，L0 和 L1 都可以實現矩陣的稀疏性，但在實踐中，L1 要比 L0 具備更好的泛化求解特性而廣受青睞。先說了 L1，但還沒解釋 L1 范數是什么，L1 范數就是矩陣中各元素絕對值之和，正如前述所言，L1 范數通常用于實現參數矩陣的稀疏性。至于為啥要稀疏，稀疏有什么用，通常是為了特征選擇和易于解釋方面的考慮。

再來看 L2 范數。相較于 L0 和 L1，其實 L2 才是正則化中的天選之子。在各種防止過擬合和正則化處理過程中，L2 正則化可謂風頭無二。L2 范數是指矩陣中各元素的平方和后的求根結果。采用 L2 范數進行正則化的原理在于最小化參數矩陣的每個元素，使其無限接近于 0 但又不像 L1 那樣等于 0，也許你又會問了，為什么參數矩陣中每個元素變得很小就能防止過擬合？這里我們就拿深度神經網絡來舉例說明吧。在 L2 正則化中，如何正則化系數變得比較大，參數矩陣 W 中的每個元素都在變小，線性計算的和 Z 也會變小，激活函數在此時相對呈線性狀態，這樣就大大簡化了深度神經網絡的復雜性，因而可以防止過擬合。

至于 L1 和 L2，江湖上還有一些混名，L1 就是江湖上著名的 lasso，L2 呢則是嶺回歸。二者都是對回歸損失函數加一個約束形式，lasso 加的是 L1 范數，嶺回歸加的是 L2 范數。可以從幾何直觀上看看二者的區別。

L1 和 L2 的下降速度

L1 和 L2 的模型空間

神經網絡的正則化

說了半天的范數，下面我們就來看看在神經網絡中如何進行正則化操作防止過擬合。為了跟前面筆記保持一致，我們在神經網絡訓練過程中繼續采用交叉熵損失函數：

加了正則化項之后，損失函數形式如上所示，損失函數變了，反向傳播的梯度計算也就變了，相應的反向傳播也需要重新定義函數。

帶正則化項的損失函數的定義：

def compute_cost_with_regularization(A3, Y, parameters, lambd):  """
  Implement the cost function with L2 regularization. See formula (2) above.

  Arguments:
  A3 -- post-activation, output of forward propagation, of shape (output size, number of examples)
  Y -- "true" labels vector, of shape (output size, number of examples)
  parameters -- python dictionary containing parameters of the model

  Returns:
  cost - value of the regularized loss function (formula (2))
  """
  m = Y.shape[1]
  W1 = parameters["W1"]
  W2 = parameters["W2"]
  W3 = parameters["W3"]

  cross_entropy_cost = compute_cost(A3, Y) # This gives you the cross-entropy part of the cost


  L2_regularization_cost = 1/m * lambd/2 * (np.sum(np.square(W1))+np.sum(np.square(W2))+np.sum(np.square(W3)))

  cost = cross_entropy_cost + L2_regularization_cost  
  return cost

反向傳播的函數定義：

def backward_propagation_with_regularization(X, Y, cache, lambd):  """
  Implements the backward propagation of our baseline model to which we added an L2 regularization.

  Arguments:
  X -- input dataset, of shape (input size, number of examples)
  Y -- "true" labels vector, of shape (output size, number of examples)
  cache -- cache output from forward_propagation()
  lambd -- regularization hyperparameter, scalar

  Returns:
  gradients -- A dictionary with the gradients with respect to each parameter, activation and pre-activation variables
  """

  m = X.shape[1]
  (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache

  dZ3 = A3 - Y

  dW3 = 1./m * np.dot(dZ3, A2.T) + lambd/m * W3
  db3 = 1./m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims = True)

  dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)
  dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))

  dW2 = 1./m * np.dot(dZ2, A1.T) + lambd/m * W2
  db2 = 1./m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims = True)

  dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)
  dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))

  dW1 = 1./m * np.dot(dZ1, X.T) + lambd/m * W1
  db1 = 1./m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims = True)

  gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,"dA2": dA2,         "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2, "dA1": dA1, 
         "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}  
  return gradients

在實例中，加了正則化項和沒加正則化項的模型分類結果可如圖所見：

未經正則化處理的分類模型結果

加上正則化后的模型分類結果

效果顯而易見，加了正則化之后，神經網絡的過擬合情況得到極大的緩解。

本文來自《自興動腦人工智能》項目部：凱文。