1、原理

PNN，全稱為Product-based Neural Network，認為在embedding輸入到MLP之后學習的交叉特征表達并不充分，提出了一種product layer的思想，既基于乘法的運算來體現體征交叉的DNN網絡結構，如下圖：

按照論文的思路，我們也從上往下來看這個網絡結構：

輸出層輸出層很簡單，將上一層的網絡輸出通過一個全鏈接層，經過sigmoid函數轉換后映射到(0,1)的區間中，得到我們的點擊率的預測值：

l2層根據l1層的輸出，經一個全鏈接層 ，并使用relu進行激活，得到我們l2的輸出結果：

l1層l1層的輸出由如下的公式計算：

重點馬上就要來了，我們可以看到在得到l1層輸出時，我們輸入了三部分，分別是lz，lp 和 b1，b1是我們的偏置項，這里可以先不管。lz和lp的計算就是PNN的精華所在了。我們慢慢道來

Product Layer

product思想來源于，在ctr預估中，認為特征之間的關系更多是一種and“且”的關系，而非add"加”的關系。例如，性別為男且喜歡游戲的人群，比起性別男和喜歡游戲的人群，前者的組合比后者更能體現特征交叉的意義。

product layer可以分成兩個部分，一部分是線性部分lz，一部分是非線性部分lp。二者的形式如下：

在這里，我們要使用到論文中所定義的一種運算方式，其實就是矩陣的點乘啦：

我們先繼續介紹網絡結構，有關Product Layer的更詳細的介紹，我們在下一章中介紹。

Embedding Layer

Embedding Layer跟DeepFM中相同，將每一個field的特征轉換成同樣長度的向量，這里用f來表示。

損失函數使用和邏輯回歸同樣的損失函數，如下：

2、Product Layer詳細介紹

前面提到了，product layer可以分成兩個部分，一部分是線性部分lz，一部分是非線性部分lp。

看上面的公式，我們首先需要知道z和p，這都是由我們的embedding層得到的，其中z是線性信號向量，因此我們直接用embedding層得到：

論文中使用的等號加一個三角形，其實就是相等的意思，你可以認為z就是embedding層的復制。

對于p來說，這里需要一個公式進行映射：

不同的g的選擇使得我們有了兩種PNN的計算方法，一種叫做Inner PNN，簡稱IPNN，一種叫做Outer PNN，簡稱OPNN。

接下來，我們分別來具體介紹這兩種形式的PNN模型，由于涉及到復雜度的分析，所以我們這里先定義Embedding的大小為M，field的大小為N，而lz和lp的長度為D1。

2.1 IPNN

IPNN的示意圖如下：

IPNN中p的計算方式如下，即使用內積來代表pij：

所以，pij其實是一個數，得到一個pij的時間復雜度為M，p的大小為N*N，因此計算得到p的時間復雜度為N*N*M。而再由p得到lp的時間復雜度是N*N*D1。因此 對于IPNN來說，總的時間復雜度為N*N(D1+M)。文章對這一結構進行了優化，可以看到，我們的p是一個對稱矩陣，因此我們的權重也可以是一個對稱矩陣，對稱矩陣就可以進行如下的分解：

因此：

因此：

從而得到：

可以看到，我們的權重只需要D1 * N就可以了，時間復雜度也變為了D1*M*N。

2.2 OPNN

OPNN的示意圖如下：

OPNN中p的計算方式如下：

此時pij為M*M的矩陣，計算一個pij的時間復雜度為M*M，而p是N*N*M*M的矩陣，因此計算p的事件復雜度為N*N*M*M。從而計算lp的時間復雜度變為D1 * N*N*M*M。這個顯然代價很高的。為了減少負責度，論文使用了疊加的思想，它重新定義了p矩陣：

這里計算p的時間復雜度變為了D1*M*(M+N)

3、代碼實戰

終于到了激動人心的代碼實戰環節了，一直想找一個實現比較好的代碼，找來找去tensorflow沒有什么合適的，倒是pytorch有一個不錯的。沒辦法，只能自己來實現啦，因此本文的代碼嚴格根據論文得到，有不對的的地方或者改進之處還望大家多多指正。

本文的github地址為：https://github.com/princewen/tensorflow_practice/tree/master/Basic-PNN-Demo.

本文的代碼根據之前DeepFM的代碼進行改進，我們只介紹模型的實現部分，其他數據處理的細節大家可以參考我的github上的代碼.

模型輸入

模型的輸入主要有下面幾個部分:

self.feat_index = tf.placeholder(tf.int32, shape=[None,None], name='feat_index')self.feat_value = tf.placeholder(tf.float32, shape=[None,None], name='feat_value')self.label = tf.placeholder(tf.float32,shape=[None,1],name='label')self.dropout_keep_deep = tf.placeholder(tf.float32,shape=[None],name='dropout_deep_deep')

feat_index是特征的一個序號，主要用于通過embedding_lookup選擇我們的embedding。feat_value是對應的特征值，如果是離散特征的話，就是1，如果不是離散特征的話，就保留原來的特征值。label是實際值。還定義了dropout來防止過擬合。

權重構建

權重由四部分構成，首先是embedding層的權重，然后是product層的權重，有線性信號權重，還有平方信號權重，根據IPNN和OPNN分別定義。最后是Deep Layer各層的權重以及輸出層的權重。

對線性信號權重來說，大小為D1 * N * M對平方信號權重來說，IPNN 的大小為D1 * N，OPNN為D1 * M * M。

def _initialize_weights(self): weights = dict() #embeddings weights['feature_embeddings'] = tf.Variable( tf.random_normal([self.feature_size,self.embedding_size],0.0,0.01), name='feature_embeddings') weights['feature_bias'] = tf.Variable(tf.random_normal([self.feature_size,1],0.0,1.0),name='feature_bias') #Product Layers ifself.use_inner: weights['product-quadratic-inner'] = tf.Variable(tf.random_normal([self.deep_init_size,self.field_size],0.0,0.01)) else: weights['product-quadratic-outer'] = tf.Variable( tf.random_normal([self.deep_init_size, self.embedding_size,self.embedding_size], 0.0, 0.01)) weights['product-linear'] = tf.Variable(tf.random_normal([self.deep_init_size,self.field_size,self.embedding_size],0.0,0.01)) weights['product-bias'] = tf.Variable(tf.random_normal([self.deep_init_size,],0,0,1.0)) #deep layers num_layer = len(self.deep_layers) input_size = self.deep_init_size glorot = np.sqrt(2.0/(input_size + self.deep_layers[0])) weights['layer_0'] = tf.Variable( np.random.normal(loc=0,scale=glorot,size=(input_size,self.deep_layers[0])),dtype=np.float32 ) weights['bias_0'] = tf.Variable( np.random.normal(loc=0,scale=glorot,size=(1,self.deep_layers[0])),dtype=np.float32 ) for i in range(1,num_layer): glorot = np.sqrt(2.0 / (self.deep_layers[i - 1] + self.deep_layers[i])) weights["layer_%d" % i] = tf.Variable( np.random.normal(loc=0, scale=glorot, size=(self.deep_layers[i - 1], self.deep_layers[i])), dtype=np.float32) # layers[i-1] * layers[i] weights["bias_%d" % i] = tf.Variable( np.random.normal(loc=0, scale=glorot, size=(1, self.deep_layers[i])), dtype=np.float32) # 1 * layer[i] glorot = np.sqrt(2.0/(input_size + 1)) weights['output'] = tf.Variable(np.random.normal(loc=0,scale=glorot,size=(self.deep_layers[-1],1)),dtype=np.float32) weights['output_bias'] = tf.Variable(tf.constant(0.01),dtype=np.float32) return weights

Embedding Layer這個部分很簡單啦，是根據feat_index選擇對應的weights['feature_embeddings']中的embedding值，然后再與對應的feat_value相乘就可以了：

# Embeddingsself.embeddings = tf.nn.embedding_lookup(self.weights['feature_embeddings'],self.feat_index) # N * F * Kfeat_value = tf.reshape(self.feat_value,shape=[-1,self.field_size,1])self.embeddings = tf.multiply(self.embeddings,feat_value) # N * F * K

Product Layer根據之前的介紹，我們分別計算線性信號向量，二次信號向量，以及偏置項，三者相加同時經過relu激活得到深度網絡部分的輸入。

# Linear Singallinear_output = []for i in range(self.deep_init_size): linear_output.append(tf.reshape( tf.reduce_sum(tf.multiply(self.embeddings,self.weights['product-linear'][i]),axis=[1,2]),shape=(-1,1)))# N * 1self.lz = tf.concat(linear_output,axis=1) # N * init_deep_size# Quardatic Singalquadratic_output = []if self.use_inner: for i in range(self.deep_init_size): theta = tf.multiply(self.embeddings,tf.reshape(self.weights['product-quadratic-inner'][i],(1,-1,1))) # N * F * K quadratic_output.append(tf.reshape(tf.norm(tf.reduce_sum(theta,axis=1),axis=1),shape=(-1,1))) # N * 1else: embedding_sum = tf.reduce_sum(self.embeddings,axis=1) p = tf.matmul(tf.expand_dims(embedding_sum,2),tf.expand_dims(embedding_sum,1)) # N * K * K for i in range(self.deep_init_size): theta = tf.multiply(p,tf.expand_dims(self.weights['product-quadratic-outer'][i],0)) # N * K * K quadratic_output.append(tf.reshape(tf.reduce_sum(theta,axis=[1,2]),shape=(-1,1))) # N * 1self.lp = tf.concat(quadratic_output,axis=1) # N * init_deep_sizeself.y_deep = tf.nn.relu(tf.add(tf.add(self.lz, self.lp), self.weights['product-bias']))self.y_deep = tf.nn.dropout(self.y_deep, self.dropout_keep_deep[0])

Deep Part論文中的Deep Part實際上只有一層，不過我們可以隨意設置，最后得到輸出：

# Deep componentfor i in range(0,len(self.deep_layers)): self.y_deep = tf.add(tf.matmul(self.y_deep,self.weights["layer_%d" %i]), self.weights["bias_%d"%i]) self.y_deep = self.deep_layers_activation(self.y_deep) self.y_deep = tf.nn.dropout(self.y_deep,self.dropout_keep_deep[i+1])self.out = tf.add(tf.matmul(self.y_deep,self.weights['output']),self.weights['output_bias'])

剩下的代碼就不介紹啦！好啦，本文只是提供一個引子，有關PNN的知識大家可以更多的進行學習呦。