在電力系統運行時， 電網提供的能量有兩部分： 一部分是有功功率， 用于能量單向轉換； 一部分是無功功率， 用于電路內電場和磁場的能量交換。無功功率對外不做功， 但是對供電系統和負荷的正常運行十分重要，在電網中流動會引起電壓和功率損耗。因此， 必須計量電力用戶從電網吸收以及電網傳送的無功功率的大小。

移相法是無功功率計量算法中的一種， 它是利用無功功率和有功功率之間的相位角相差π/2 關系， 用計算有功功率的乘法器來計算無功功率。

本文采用了兩種方法來實現移相法， 在Matlab 上對這兩種方法進行了設計、仿真， 并采用EP2C50 型號的FPGA 實現了希爾伯特濾波器。

1 無功功率與有功功率的關系

假設電壓、電流如式(1) 、式(2) 所示：

則有功功率、無功功率分別為：

式(1)~ 式(4) 中，0~n 表示諧波次數，Uk 、Ik分別為電壓電流幅值，φk為電壓、電流的相位差； 式(3) 表示有功功率，式(4)表示無功功率。式(4)與式(3)相位角相差π/2 ，針對無功功率計算的移相法就是為了得到這π/2 相位差值， 這是利用移相法計算無功功率的理論依據， 即用計算有功功率的乘法器來計算無功功率， 這在數字信號處理中十分有用。在實際應用中，乘法器的兩個輸入序列變成移相后的電壓序列與電流序列就可以實現無功功率計算。而在計算有功功率時已經獲得了電壓的采樣值、電流的采樣值及電壓電流之間的相位角， 當采樣點數滿足計算諧波無功電能的奈奎斯特采樣定理時， 針對計算無功功率， 有兩種方法可以實現對離散信號的π/2移相： 一種是基于采樣點平移來實現； 另一種則是通過Hilbert 變換來實現。

2 基于采樣點平移的移相法

基于采樣點平移的無功計量理論是將得到的離散的采樣點信號進行π/2 移相( 若N 為信號一個周期內的采樣點數， 則π/2 移相就是移動N/4 個點)， 然后采用式(3)計算無功功率。如圖1 所示，曲線1 是原正弦波信號；曲線2 是基于采樣點平移π/2 后的信號， 從圖中可以看出，基于采樣點平移的移相法精確地實現了π/2 移相。

但是這種方法是針對基波頻率的采樣點移相， 實際應用時有其局限性。

(1) 基于采樣點平移方法要求被采樣的信號只包含基波分量。假如對一個包含基波和3 次諧波的信號( 基波的每個周期2π 內) 進行100 次采樣， 那么基波的π/2移相就是移動25 個采樣點， 但是， 由于3 次諧波的周期縮為基波的1/3 ，25 個采樣點對于3 次諧波而言， 已經是移相3π/2 了。如圖2 所示， 曲線1 是原正弦波信號；曲線2 是理論上平移π/2 后的信號， 曲線3 是基于采樣點平移后的信號， 實際已經平移了3π/2。

(2) 基于采樣點平移還要求每個周期的采樣點數是4 的整數倍， 否則將不能被4 整除而得不到π/2 的移相。如圖3 所示， 曲線1 為原正弦波信號， 一個周期內采樣點為75， 不是4 的整數倍； 曲線2 為理論移相π/2 的信號， 曲線3 為基于采樣點平移的信號， 與曲線2 信號對比已有一定的偏移。

基于采樣點平移的無功計量方法雖然存在其局限性， 但仍被一些要求不高的場合采用， 主要是其實現相對簡單， 對硬件的性能要求也不是很高， 但是當電網中的諧波成分提高時，基于采樣點平移計量無功電能的精度就很難保證。

3 Hilbert 變換計算無功功率

3.1 Hilbert 數字濾波器基本原理

理想的Hilbert 變換的定義為：

其幅值和相角分別為：

由式(6)~ 式(7) 可以看出，Hilbert 數字濾波器的幅值特性為1， 信號通過Hilbert 數字濾波器后， 其負頻率成分進行相移π/2， 正頻率成分進行相移-π/2?？梢姡琀ilbert 數字濾波器能用于實現式(4) 計算無功功率。

3.2 FIR 型Hilbert 數字濾波器的Matlab 設計

線性相位FIR 數字濾波器的設計方法主要有窗函數法、頻率抽樣法和等波紋切比雪夫法( 即最優法) ， 本文采用等波紋切比雪夫法進行數字濾波器的設計。對于50 Hz 的工頻基波信號， 若考慮最高諧波次數為19， 則可以將該數字濾波器所關心的頻率范圍設計為40 Hz~960 Hz。根據奈奎斯特采樣定理， 采樣頻率Fs 應不小于2 倍的最高次諧波頻率， 所以至少取2 kHz。

Hilbert 數字濾波器取N 為奇數， 設所要設計的濾波器的頻率響應為， 逼近加權函數為W(w)， 用線性相位FIR 數字濾波器的H(w) 做逼近函數， 則逼近誤差函數為：

令δ=max{|E(w)|} ， 數字濾波器的設計問題就是尋找使δ最小的系統函數H(w)，即獲取最優的單位沖激響應h(n)。所以數字濾波器應有式(9)所要求的頻率響應：

圖4 所示為等波紋切比雪夫法設計的Hilbert 數字濾波器的幅頻特性和相頻特性。從圖中可以看出該數字濾波器具有良好的幅頻特性和相頻特性， 能獲得嚴格線性相位及很好的衰減特性。

圖5 為頻率為150 Hz 的正弦波信號經過Hilbert 濾波器以后的信號。

由仿真結果可知所設計的Hilbert 數字濾波器能精確地將所輸入的電壓諧波信號的基波及每次諧波都移相，并在此基礎上計算獲得精確的無功功率值。

3.3 FIR 型Hilbert 數字濾波器的FPGA 實現

3.3.1 FIR IP 核的生成

Altera 公司提供的FIR IP 核是一個高性能、參數化的IP 核， 可以用來實現FIR 濾波器。該IP 核支持全并行結構、全串行結構、多位串行結構、可變的多時鐘結構等多種結構， 濾波器的參數可以通過該IP 核的參數化界面進行設計，也可以將在第三方軟件中設計好的濾波器系數導入該IP 核中從而完成濾波器設計， 它的所有輸入輸出信號格式都與Avalon 總線的Streaming 結構的接口相符，可以方便地加入到應用工程中。

本文中FIR 濾波器的實現方法是將Matlab 產生的濾波器系數導入Quartus ii 中的FIR IP CORE 中。圖6是Quartus 生成的FIR IP 核。

3.3.2 FIR IP 核的的驗證

由于所設計的Hilbert 濾波器的頻率范圍為40 Hz~960 Hz， 所以驗證時將用頻率為150 Hz 正弦波信號通過所設計的濾波器， 觀察結果來驗證該濾波器是否實現了π/2 移相。

本文討論了無功功率與有功功率之間的關系， 以及計算無功功率方法中移相法的兩種方法， 根據在Matlab中對基于采樣點平移的移相法和Hilbert 濾波器法的仿真可以看出， 基于采樣點平移的移相法在實際應用中有局限性， 只能在一些要求不高的場合采用。而Hilbert 濾波器法可以做到移相準確、計量精度高， 因此， 基于Hilbert 變換的移相算法是無功計量中較好的方法。