拓撲優化有助于工程中在特定先驗 目標的指導下，以更優的方式進行應用設計，拓撲優化主要應用于結構力學，在熱學、電磁學和聲學領域亦有所應用。直到去年，微觀聲學才出現在這個名單中。本篇文章介紹了一種包含熱粘性損耗的微觀聲學拓撲優化新方法。

標準聲學拓撲優化

之前一篇關于聲學拓撲優化的文章概述了相關的基礎理論，并列舉了數個案例。聲學描述采用亥姆霍茲波動方程。借此方程，我們可以對各種不同應用進行拓撲優化，比如揚聲器箱體、波導、室內裝飾、反射器布置和類似的大型幾何結構。

控制方程是標準的波動方程，材料參數通過密度 和體積模量 K 來指定。在拓撲優化中，密度和體積模量通過變量 進行插值。理想情況下，此插值變量采用二進制值：0 代表空氣，1 代表固體。不過，在優化過程中，它的值遵循插值公式，例如圖 1 的固體各向同性材料罰函數（solid isotropic material with penalization，簡稱 SIMP）模型。

圖 1：標準聲學拓撲優化的密度和體積模量插值。為了在同一張繪圖中顯示兩個值，我們省略了單位。

該方法適用于那些可以忽略的熱粘性損耗（靠近壁面的聲學邊界層中）的應用。優化域可耦合到狹窄區域中，例如利用均質模型來描述的狹窄區域（這是壓力聲學、頻域 接口中的狹窄區域聲學 特征）。不過，如果發生熱粘性損耗的狹窄區域自身的形狀產生了變化，此優化算法便不再有效，波導橫截面變形便屬于此類情況。

熱粘性聲學（微觀聲學）

對于諸如助聽器、移動電話、特定超材料幾何結構等微觀聲學應用，聲學方程一般需要顯式添加熱粘性損耗，這是因為主要損耗發生在靠近壁的聲學邊界層中。下方圖 2 展示了上述效應。

圖 2. 體內場是聲壓，表面場是溫度變化，箭頭表示速度。

聲波從圓形截面管道的底部向頂部傳播。壓力顯示在 ? 旋轉繪圖中。

箭頭表示此特定頻率下的粒子速度。靠近邊界的粒子速度很慢，在邊界上趨近于零。然而在腔體內，粒子按照歐拉方程以標準的聲學速度運動。在粘性作用下，空氣被“粘”到邊界上，因此邊界速度為零。鄰近的粒子也慢了下來，導致了總體能量損耗，或者說聲能轉換成了熱能（由于剪切產生的粘性耗散）。但是在腔體內，分子可以自由地運動。

熱粘性聲學控制方程

對微觀聲學（包含與聲學邊界層的相關損耗）進行詳細建模，這要求在靜態條件下求解一組線性納維-斯托克斯方程。COMSOL Multiphysics? 軟件的“聲學模塊”中的熱粘性聲學 物理場接口能實現這些方程。不過，若拓撲優化需要應用某些假設條件，該方程式則不適用。參考文獻 1 提出了基于亥姆霍茲分解的公式。該公式對于很多微觀聲學應用均有效，并且能夠對熱波、粘性波和壓縮（壓力）波解耦。一個近似但準確的表達式（參考文獻 1）描述了速度和壓力梯度的關系：

其中，粘性場 是一個標量的無量綱場，它描述了域內條件與邊界條件之間的差異。

上方的彩色表面圖顯示了聲學溫度的變化。邊界上變化為零，是因為固體壁的導熱系數很高，但是腔內的溫度變化可以利用等熵能量方程進行計算。溫度變化和聲學壓力的關系可以寫作一般形式（參考文獻 1）：

其中，熱場 ?是一個標量的無量綱場，它描述了域內條件與邊界條件之間的差異。

我們會在下文中解釋，為何粘性場和熱場對于創建拓撲優化算法必不可少。

熱粘性聲學應用的拓撲優化

與標準的聲學拓撲優化相反，熱粘性聲學沒有既定的插值公式。由于沒有準確描述熱粘性物理現象的單方程系統（它通常需要三個控制方程），所以沒有明顯可插值的變量。本節將為您介紹一個新穎的算法。

為了簡單起見，我們只討論橫截面不變的波導內的波傳播。這等效于稱為“Low Reduced Frequency”的模型，微觀聲學從業者可能對它比較了解。粘性場可以通過方程 1 來計算（參考文獻1）：

(1)

其中， 僅為橫截面方向的拉普拉斯算子。對于某些簡單的幾何結構，我們可以對場進行解析計算（例如壓力聲學，頻域 接口中的狹窄區域聲學 特征中的操作）。不過，當用于拓撲優化時，優化方案的每一步都需要進行數值計算。

在標準的聲學拓撲優化中，插值變量在 0 和 1 之間變化，0 代表空氣，1 代表固體。為了給熱粘性聲學拓撲優化制定相似的插值算法，我想出了一種探試法，具體來講，就是將熱場和粘性場引入到插值策略中。粘性場的兩個典型邊界條件（參考文獻 1）是：

和

上述邊界條件有助于我們了解如何執行優化方案，因為前者可以表征空氣-固體交界面，后者可表征空氣-空氣交界面。我們將控制方程寫成更一般的形式：

已知對于空氣域，(av,fv) = (1,1)，因為它給出了原始方程（1）。如果我們將av替換成一個很大的值，梯度項就變得無關緊要；將fv設為0，可得：

它同諸如固體-空氣交界面的無滑邊界的邊界條件完全一致，只不過是通過控制方程所獲得的。我們需要這一性質，因為在優化過程中我們無法應用顯式邊界條件。因此，固體 (av,fv)的值應該包含 (“large”,0)。由此我們確定了插值的極端值：

和

利用圖 3 的測試幾何，我對顯式邊界條件和插值的極端條件進行了對比。左側使用了邊界條件，針對右邊的相鄰域，我們輸入了 av 和fv 的推薦值。

圖 3：左側應用了標準的邊界條件。右側黑色區域表示修改后的、可模擬固體邊界的場方程；白色區域表示空氣。

我們在邊界層足夠厚的頻率下對所有域的場進行計算，該邊界層至少能在視覺上占據部分域。繪圖顯示場是對稱的，這表示極端的場值要么描述空氣，要么描述固體。從某種意義上講，這相當于采用對應的真實的邊界條件。

圖 4：基于圖 3 設置而獲得的帶等值線的場。

極值條件之間的實際插值是通過 SIMP 或 RAMP 算法（參考文獻 2）完成的，就像標準聲學拓撲優化一樣。粘性場和熱場均可通過方程與聲壓變量建立關聯。就這樣，我們成功獲得了世界上第一個耦合了精確的熱粘性損耗的聲學拓撲優化算法。

優化損耗聲學響應

本節將舉例說明優化方法在實際案例中的應用。由于粘性效應，橫截面為六角形的管道產生了一定的聲學損耗。六角形每邊長約為 1.1 mm，其面積相當于半徑為 1 mm 的圓形面積。在 100 和 1000 Hz 之間，聲學損耗的增長因子將近 2.6，如圖 7 所示。現在，我們的目標是找到最優拓撲，在該頻率范圍內獲得更平順的聲學損耗響應，而不考慮實際損耗值。所得結構如下：

圖 5：最大平坦的聲學損耗響應的拓撲，及其在 1000 Hz 下的粘性場。

我們創建了一個與優化拓撲相似的簡單幾何結構，它可以應用顯式邊界條件。

圖 6：優化拓撲的簡化表示，及其在 1000 Hz 時的粘性場。

圖 7 對比了初始六角形幾何和經過拓撲優化的幾何的歸一化聲學損耗。每個管道的損耗被歸一化為 100 Hz 的對應值。

圖 7：初始橫截面（虛線）和拓撲優化幾何（實線）的聲學損耗分別被歸一化為 100 Hz 的對應值。

優化的拓撲結構在 1000 Hz 下的聲學損耗只比 100 Hz 下高出 1.5 倍，而初始的幾何結構則高 2.6 倍。就總體的損耗而言，經優化的幾何結構明顯更高，但如上文提到的，我們在本例中不考慮這一點。

這種新穎的拓撲優化策略可以擴展到更加普遍的一維方法中，使聲壓可以直接使用在目標函數中。我們確定了通用三維幾何結構的拓撲優化方案，不過具體實施仍在進行中。它對于從事微觀聲學研究工作、致力于改進拓撲優化的高校人士和產業人員大有裨益。我希望該領域將來能夠取得更長遠的進步。