編者按：2個月前，DeepMind發表了一篇名為“神經算術邏輯單元（NALU）”的新論文，提出了一個能幫助神經網絡更好地模擬數值信息的新框架。這是一篇有趣的論文，解決的問題也很實際，所以今天論智想推薦一篇有關這個框架的文章，它也是被TensorFlow官博力薦的佳作。比起復雜的論文解讀，它更簡潔直觀，也易于理解。

現如今，盡管深度學習已經在許多任務中取得了令人驚艷的成果，諸多AI產品也逐漸在醫療等領域發揮越來越重要的作用，但如何教導神經網絡還是它的一個重要問題，說出來可能有人不信，神經網絡在簡單算術任務上還會出現問題。

在一個實驗中，DeepMind的研究人員曾訓練了一個精度接近完美的模型，它能從數據中找出范圍在-5到5之間的數字，但當輸入從未見過的新數據后，模型就無法概括了。

論文針對上述問題提出了兩種方法，但這里我們不會搬運原文的詳細內容，相反地，下文將簡要介紹NAC的工作原理，以及它如何處理加減乘除等操作，相應代碼也會在文章中列出，讀者可以從中獲得更直觀的了解。

第一個神經網絡（NAC）

論文介紹的第一個神經網絡是神經累積器（簡稱NAC），它能對輸入執行線性變換，而用于變換的矩陣是tanh(What)和sigmoid(Mhat)的元素乘積。簡而言之，input(x)后，模型輸入會乘以變換矩陣W，并產生輸出a。

NAC的Python實現：

import tensorflow as tf

# NAC

W_hat = tf.Variable(tf.truncated_normal(shape, stddev=0.02))

M_hat = tf.Variable(tf.truncated_normal(shape, stddev=0.02))

W = tf.tanh(W_hat) * tf.sigmoid(M_hat)

# 前向傳播

a = tf.matmul(in_dim, W)

第二個神經網絡（NALU）

神經算術邏輯單元（NALU）由兩個NAC構成，其中，第一個NAC g是sigmoid(Gx)，第二個NAC在一個等于exp(W(log(|x| + epsilon)))的對數空間m中運行。

NALU的Python實現：

import tensorflow as tf

# NALU

G = tf.Variable(tf.truncated_normal(shape, stddev=0.02))

m = tf.exp(tf.matmul(tf.log(tf.abs(in_dim)+ epsilon), W))

g = tf.sigmoid(tf.matmul(in_dim, G))

y = g * a +(1- g)* m

通過加法理解NAC

現在我們來進行測試。首先，把NAC轉成函數：

# NAC

def NAC(in_dim, out_dim):

in_features = in_dim.shape[1]

# 定義W_hat和M_hat

W_hat = tf.get_variable(name = 'W_hat', initializer=tf.initializers.random_uniform(minval=-2, maxval=2),shape=[in_features, out_dim], trainable=True)

M_hat = tf.get_variable(name = 'M_hat', initializer=tf.initializers.random_uniform(minval=-2, maxval=2), shape=[in_features, out_dim], trainable=True)

W = tf.nn.tanh(W_hat) * tf.nn.sigmoid(M_hat)

a = tf.matmul(in_dim, W)

return a, W

其次，創建一些數據，把它們分成訓練集和測試集。NumPy有一個較numpy.arrange的API，很適合用來創建數據集：

# 生成一系列輸入數字X1和X2用于訓練

x1 = np.arange(0,10000,5, dtype=np.float32)

x2 = np.arange(5,10005,5, dtype=np.float32)

y_train = x1 + x2

x_train = np.column_stack((x1,x2))

print(x_train.shape)

print(y_train.shape)

# 生成一系列輸入數字X1和X2進行測試

x1 = np.arange(1000,2000,8, dtype=np.float32)

x2 = np.arange(1000,1500,4, dtype= np.float32)

x_test = np.column_stack((x1,x2))

y_test = x1 + x2

print()

print(x_test.shape)

print(y_test.shape)

接著，用這些準備好的東西訓練模型。我們先定義占位符X和Y以在運行時提供數據，用tf.reduce_sum()計算損失，模型包含兩個超參數：學習率alpha和訓練幾個epochs。在訓練開始前，我們還要定義一個優化器，方便用tf.train.AdamOptimizer()降低損失。

# 定義占位符以在運行時提供輸入

X = tf.placeholder(dtype=tf.float32, shape =[None , 2]) # Number of samples x Number of features (number of inputs to be added)

Y = tf.placeholder(dtype=tf.float32, shape=[None,])

＃定義網絡

＃這里網絡只包含一個NAC（用于測試）

y_pred, W = NAC(in_dim=X, out_dim=1)

y_pred = tf.squeeze(y_pred) # Remove extra dimensions if any

# 均方誤差 (MSE)

loss = tf.reduce_mean( (y_pred - Y) **2)

# 訓練參數

alpha = 0.05 # learning rate

epochs = 22000

optimize = tf.train.AdamOptimizer(learning_rate=alpha).minimize(loss)

with tf.Session() as sess:

#init = tf.global_variables_initializer()

cost_history = []

sess.run(tf.global_variables_initializer())

# 訓練前損失

print("Pre training MSE: ", sess.run (loss, feed_dict={X: x_test, Y:y_test}))

print()

for i in range(epochs):

_, cost = sess.run([optimize, loss ], feed_dict={X:x_train, Y: y_train})

print("epoch: {}, MSE: {}".format( i,cost) )

cost_history.append(cost)

# 列出每次迭代的均方誤差

plt.plot(np.arange(epochs),np.log(cost_history)) # Plot MSE on log scale

plt.xlabel("Epoch")

plt.ylabel("MSE")

plt.show()

print()

print(W.eval())

print()

# 訓練后損失

print("Post training MSE: ", sess.run(loss, feed_dict={X: x_test, Y: y_test}))

print("Actual sum: ", y_test[0:10])

print()

print("Predicted sum: ", sess.run(y_pred[0:10], feed_dict={X: x_test, Y: y_test}))

訓練完成后，我們可以得到這樣一幅圖損失曲線圖：

Actual sum: [2000.2012.2024.2036.2048.2060.2072.2084.2096.2108.]

Predicted sum: [1999.90212011.90152023.90092035.90042047.89972059.89922071.8984

2083.8982095.89752107.8967]

如輸出所示，NAC可以處理諸如加減法的操作，但它還做不到處理乘法和除法。為了解決這個問題，我們就要用到NALU。

通過乘法理解NALU

在上文基礎上，首先我們再添加一個NAC，組成NALU：

如果說NAC只是對輸入做線性變化，那么NALU就是把兩個具有權重的NAC組合在一起，用來執行加減（較小的紫色單元）和乘除（較大的紫色單元），計算由門（橙色單元）控制。

# NALU

def NALU(in_dim, out_dim):

shape = (int(in_dim.shape[-1]), out_dim)

epsilon = 1e-7

# NAC

W_hat = tf.Variable(tf.truncated_normal(shape, stddev=0.02))

M_hat = tf.Variable(tf.truncated_normal(shape, stddev=0.02))

G = tf.Variable(tf.truncated_normal(shape, stddev=0.02))

W = tf.tanh(W_hat) * tf.sigmoid(M_hat)

# 前向傳播

a = tf.matmul(in_dim, W)

# NALU

m = tf.exp(tf.matmul(tf.log(tf.abs(in_dim) + epsilon), W))

g = tf.sigmoid(tf.matmul(in_dim, G))

y = g * a + (1 - g) * m

return y

這里我們再創建一些數據，但和上次相比，這次要做一些改動：在第8行和第20行，我們把運算符從加改成了乘。

# 通過學習乘法來測試網絡

# 生成一系列輸入數字X1和X2用于訓練

x1 = np.arange(0,10000,5, dtype=np.float32)

x2 = np.arange(5,10005,5, dtype=np.float32)

y_train = x1 * x2

x_train = np.column_stack((x1,x2))

print(x_train.shape)

print(y_train.shape)

# 生成一系列輸入數字X1和X2進行測試

x1 = np.arange(1000,2000,8, dtype=np.float32)

x2 = np.arange(1000,1500,4, dtype= np.float32)

x_test = np.column_stack((x1,x2))

y_test = x1 * x2

print()

print(x_test.shape)

print(y_test.shape)

之后是訓練模型，需要注意的是，這里我們定義的還是NAC，而不是NALU：

# 定義占位符以在運行時提供值

X = tf.placeholder(dtype=tf.float32, shape =[None , 2]) # Number of samples x Number of features (number of inputs to be added)

Y = tf.placeholder(dtype=tf.float32, shape=[None,])

# 定義網絡

# 這里網絡只包含一個NAC（用于測試）

y_pred = NALU(in_dim=X, out_dim=1)

y_pred = tf.squeeze(y_pred) # Remove extra dimensions if any

# 均方誤差 (MSE)

loss = tf.reduce_mean( (y_pred - Y) **2)

# 訓練參數

alpha = 0.05 # 學習率

epochs = 22000

optimize = tf.train.AdamOptimizer(learning_rate=alpha).minimize(loss)

with tf.Session() as sess:

#init = tf.global_variables_initializer()

cost_history = []

sess.run(tf.global_variables_initializer())

# 訓練前損失

print("Pre training MSE: ", sess.run (loss, feed_dict={X: x_test, Y: y_test}))

print()

for i in range(epochs):

_, cost = sess.run([optimize, loss ], feed_dict={X: x_train, Y: y_train})

print("epoch: {}, MSE: {}".format( i,cost) )

cost_history.append(cost)

# 列出每次迭代的損失

plt.plot(np.arange(epochs),np.log(cost_history)) # Plot MSE on log scale

plt.xlabel("Epoch")

plt.ylabel("MSE")

plt.show()

# 訓練后損失

print("Post training MSE: ", sess.run(loss, feed_dict={X: x_test, Y: y_test}))

print("Actual product: ", y_test[0:10])

print()

print("Predicted product: ", sess.run(y_pred[0:10], feed_dict={X: x_test, Y: y_test}))

Actual product: [1000000.1012032.1024128.1036288.1048512.1060800.1073152.1085568.

1098048.1110592.]

Predicted product: [1000000.21012032. 1024127.561036288.61048512.061060800.8

1073151.61085567.61098047.61110592.8 ]

如果想獲取在TensorFlow中實現NALU的完整代碼，可以去這個github：github.com/ahylton19/simpleNALU-tf

小結

以上只是NALU在加減乘除任務上具體表現，在論文中，研究人員還測試了平方運算和開根，NALU的表現都優于傳統框架。簡而言之，DeepMind的這個簡單而實用的技術讓神經網絡掌握了數值推算，它類似傳統處理器中的算術邏輯單元，能讓網絡真正“學會”加減乘除和基于加減乘除的近似估計，更好地把經驗外推到其他數值任務上，而不再受訓練數據限制。

通過這篇文章，我們希望現在你已經了解了這篇轟動學界的論文到底說了什么，以及它對深度學習的貢獻和影響。