▌概述

本文主要介紹一種降維方法，PCA（Principal Component Analysis，主成分分析）。降維致力于解決三類問題：

1.降維可以緩解維度災難問題；

2.降維可以在壓縮數(shù)據(jù)的同時讓信息損失最小化；

3.理解幾百個維度的數(shù)據(jù)結構很困難，兩三個維度的數(shù)據(jù)通過可視化更容易理解。

下面，將從簡介、計算步驟、應用三方面進行理解PCA的降維作用。

▌PCA簡介

在理解特征提取與處理時，涉及高維特征向量的問題往往容易陷入維度災難。隨著數(shù)據(jù)集維度的增加，算法學習需要的樣本數(shù)量呈指數(shù)級增加。有些應用中，遇到這樣的大數(shù)據(jù)是非常不利的，而且從大數(shù)據(jù)集中學習需要更多的內存和處理能力。另外，隨著維度的增加，數(shù)據(jù)的稀疏性會越來越高。在高維向量空間中探索同樣的數(shù)據(jù)集比在同樣稀疏的數(shù)據(jù)集中探索更加困難。

主成分分析也稱為卡爾胡寧-勒夫變換（Karhunen-Loeve Transform），是一種用于探索高維數(shù)據(jù)結構的技術。PCA通常用于高維數(shù)據(jù)集的探索與可視化。還可以用于數(shù)據(jù)壓縮，數(shù)據(jù)預處理等。PCA可以把可能具有相關性的高維變量合成線性無關的低維變量，稱為主成分（ principal components）。新的低維數(shù)據(jù)集會盡可能的保留原始數(shù)據(jù)的變量。

PCA將數(shù)據(jù)投射到一個低維子空間實現(xiàn)降維。例如，二維數(shù)據(jù)集降維就是把點投射成一條線，數(shù)據(jù)集的每個樣本都可以用一個值表示，不需要兩個值。三維數(shù)據(jù)集可以降成二維，就是把變量映射成一個平面。一般情況下，nn維數(shù)據(jù)集可以通過映射降成kk維子空間，其中k≤n。

假如你是一本養(yǎng)花工具宣傳冊的攝影師，你正在拍攝一個水壺。水壺是三維的，但是照片是二維的，為了更全面的把水壺展示給客戶，你需要從不同角度拍幾張圖片。下圖是你從四個方向拍的照片：

第一張圖里水壺的背面可以看到，但是看不到前面。第二張圖是拍前面，可以看到壺嘴，這張圖可以提供了第一張圖缺失的信息，但是壺把看不到了。從第三張俯視圖里無法看出壺的高度。第四張圖是你真正想要的，水壺的高度，頂部，壺嘴和壺把都清晰可見。

PCA的設計理念與此類似，它可以將高維數(shù)據(jù)集映射到低維空間的同時，盡可能的保留更多變量。PCA旋轉數(shù)據(jù)集與其主成分對齊，將最多的變量保留到第一主成分中。假設我們有下圖所示的數(shù)據(jù)集：

數(shù)據(jù)集看起來像一個從原點到右上角延伸的細長扁平的橢圓。要降低整個數(shù)據(jù)集的維度，我們必須把點映射成一條線。下圖中的兩條線都是數(shù)據(jù)集可以映射的，映射到哪條線樣本變化最大？

顯然，樣本映射到黑色虛線的變化比映射到紅色點線的變化要大的多。實際上，這條黑色虛線就是第一主成分。第二主成分必須與第一主成分正交，也就是說第二主成分必須是在統(tǒng)計學上獨立的，會出現(xiàn)在與第一主成分垂直的方向，如下圖所示：

后面的每個主成分也會盡量多的保留剩下的變量，唯一的要求就是每一個主成分需要和前面的主成分正交。 現(xiàn)在假設數(shù)據(jù)集是三維的，散點圖看起來像是沿著一個軸旋轉的圓盤。

這些點可以通過旋轉和變換使圓盤完全變成二維的。現(xiàn)在這些點看著像一個橢圓，第三維上基本沒有變量，可以被忽略。當數(shù)據(jù)集不同維度上的方差分布不均勻的時候，PCA最有用。（如果是一個球殼形數(shù)據(jù)集，PCA不能有效的發(fā)揮作用，因為各個方向上的方差都相等；沒有丟失大量的信息維度一個都不能忽略）。

▌PCA的計算步驟

在介紹PCA的運行步驟之前，有一些術語需要說明一下。

方差，協(xié)方差和協(xié)方差矩陣（對此概念不是很理解可以參考附錄鏈接）

如何通俗易懂地解釋「協(xié)方差」與「相關系數(shù)」的概念？中“GRAYLAMB”的回答。 （https://www.zhihu.com/question/20852004）

方差（Variance）是度量一組數(shù)據(jù)的分散程度。方差是各個樣本與樣本均值的差的平方和的均值：

協(xié)方差（Covariance）是度量兩個變量的變動的同步程度，也就是度量兩個變量線性相關性程度。

如果兩個變量的協(xié)方差為0，則統(tǒng)計學上認為二者線性無關。注意兩個無關的變量并非完全獨立，只是沒有線性相關性而已。計算公式如下：

如果協(xié)方差大于0表示一個變量增大是另一個變量也會增大，即正相關，協(xié)方差小于0表示一個變量增大是另一個變量會減小，即負相關。

協(xié)方差矩陣（Covariance matrix）由數(shù)據(jù)集中兩兩變量的協(xié)方差組成。矩陣的第(i,j)(i,j)個元素是數(shù)據(jù)集中第ii和第jj個元素的協(xié)方差。例如，三維數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣如下所示：

讓我們計算下表數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣：

可以有python中的numpy包計算均值和協(xié)方差：

importnumpyasnpX=[[2,0,-1.4],[2.2,0.2,-1.5],[2.4,0.1,-1],[1.9,0,-1.2]]print(np.mean(X,axis=0))print(np.cov(np.array(X).T))

得到三個變量的樣本均值分別是2.125，0.075和-1.275；協(xié)方差矩陣為：

▌特征向量和特征值

（可以直觀的理解：“特征向量是坐標軸，特征值是坐標”）

向量是具有大?。╩agnitude）和方向（direction）的幾何概念。

特征向量（eigenvector）是由滿足如下公式的矩陣得到的一個非零向量：

其中，是特征向量，A是方陣，λ是特征值。經(jīng)過A變換之后，特征向量的方向保持不變，只是其大小發(fā)生了特征值倍數(shù)的變化。也就是說，一個特征向量左乘一個矩陣之后等于等比例放縮（scaling）特征向量。德語單詞eigen的意思是“屬于…或…專有（ belonging to or peculiar to）”；矩陣的特征向量是屬于并描述數(shù)據(jù)集結構的向量。

特征向量和特征值只能由方陣得出，且并非所有方陣都有特征向量和特征值。如果一個矩陣有特征向量和特征值，那么它的每個維度都有一對特征向量和特征值。矩陣的主成分是由其協(xié)方差矩陣的特征向量，按照對應的特征值大小排序得到的。最大的特征值就是第一主成分，第二大的特征值就是第二主成分，以此類推。

讓我們來計算下面矩陣的特征向量和特征值：

根據(jù)前面的公式AA乘以特征向量，必然等于特征值乘以特征向量。我們建立特征方程求解：

從特征方程可以看出，矩陣與單位矩陣和特征值乘積的矩陣行列式為0，即：

矩陣的兩個特征值都等于-1。現(xiàn)在再用特征值來解特征向量。 把λ=?1帶入：

得：

所以有：

任何滿足方程的非零向量（取）都可以作為特征向量：?

PCA需要單位特征向量，也就是L2范數(shù)等于1的特征向量。?

于是單位特征向量是：

于是單位特征向量是：

這里可以通過numpy檢驗手算的特征向量是否正確。eig函數(shù)返回特征值和特征向量的元組：

importnumpyasnpw,v=np.linalg.eig(np.array([[1,-2],[2,-3]]))print('特征值：{} 特征向量：{}'.format(w,v))

輸出（這里特征值不同為1，是由于python編譯器對浮點數(shù)據(jù)精度要求所致）：

特征值：[-0.99999998 -1.00000002]

特征向量：[[ 0.70710678 0.70710678] [ 0.70710678 0.70710678]]

▌用PCA降維

讓我們用PCA方法把下表二維數(shù)據(jù)降成一維：

PCA第一步是用樣本數(shù)據(jù)減去樣本均值：

然后，我們計算數(shù)據(jù)的主成分。前面介紹過，矩陣的主成分是其協(xié)方差矩陣的特征向量按照對應的特征值大小排序得到的。主成分可以通過兩種方法計算：第一種方法是計算數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣。因為協(xié)方差矩陣是方陣，所以我們可以用前面的方法計算特征值和特征向量。第二種方法是用數(shù)據(jù)矩陣的奇異值分解（singular value decomposition）來找協(xié)方差矩陣的特征向量和特征值的平方根。我們先介紹第一種方法，然后介紹scikit-learn的PCA實現(xiàn)，也就是第二種方法。上述數(shù)據(jù)集的解釋變量協(xié)方差矩陣如下：

用前面介紹過的方法，特征值是1.25057433和0.03398123，單位特征向量是：

下面我們把數(shù)據(jù)映射到主成分上。第一主成分是最大特征值對應的特征向量，因此我們要建一個轉換矩陣，它的每一列都是主成分的特征向量。如果我們要把5維數(shù)據(jù)降成3維，那么我們就要用一個3維矩陣做轉換矩陣。在本例中，我們將把我們的二維數(shù)據(jù)映射成一維，因此我們只需要用特征向量中的第一主成分作為轉換矩陣。最后，我們用數(shù)據(jù)矩陣右乘轉換矩陣。下面就是第一主成分映射的結果：

通過numpy包中的矩陣調用實現(xiàn)過程如下：

importnumpyasnpx=np.mat([[0.9,2.4,1.2,0.5,0.3,1.8,0.5,0.3,2.5,1.3],[1,2.6,1.7,0.7,0.7,1.4,0.6,0.6,2.6,1.1]])x=x.TT=x-x.mean(axis=0)C=np.cov(x.T)w,v=np.linalg.eig(C)v_=np.mat(v[:,0])#每個特征值對應的是特征矩陣的每個列向量v_=v_.T#默認以行向量保存，轉換成公式中的列向量形式y(tǒng)=T*v_print(y)

分割線==================

▌PCA的運用

高維數(shù)據(jù)可視化

二維或三維數(shù)據(jù)更容易通過可視化發(fā)現(xiàn)模式。一個高維數(shù)據(jù)集是無法用圖形表示的，但是我們可以通過降維方法把它降成二維或三維數(shù)據(jù)來可視化。 Fisher1936年收集了三種鳶尾花分別50個樣本數(shù)據(jù)（Iris Data）：Setosa、Virginica、Versicolour。解釋變量是花瓣（petals）和萼片（sepals）長度和寬度的測量值，響應變量是花的種類。鳶尾花數(shù)據(jù)集經(jīng)常用于分類模型測試，scikit-learn中也有。讓我們把iris數(shù)據(jù)集降成方便可視化的二維數(shù)據(jù)：

%matplotlibinlineimportmatplotlib.pyplotaspltfromsklearn.decompositionimportPCAfromsklearn.datasetsimportload_iris

首先，我們導入鳶尾花數(shù)據(jù)集和PCA估計器。PCA類把主成分的數(shù)量作為超參數(shù)，和其他估計器一樣，PCA也用fit_transform()返回降維的數(shù)據(jù)矩陣：

data=load_iris()y=data.targetX=data.datapca=PCA(n_components=2)reduced_X=pca.fit_transform(X)

最后，我們把圖形畫出來：

red_x,red_y=[],[]blue_x,blue_y=[],[]green_x,green_y=[],[]foriinrange(len(reduced_X)):ify[i]==0:red_x.append(reduced_X[i][0])red_y.append(reduced_X[i][1])elify[i]==1:blue_x.append(reduced_X[i][0])blue_y.append(reduced_X[i][1])else:green_x.append(reduced_X[i][0])green_y.append(reduced_X[i][1])plt.scatter(red_x,red_y,c='r',marker='x')plt.scatter(blue_x,blue_y,c='b',marker='D')plt.scatter(green_x,green_y,c='g',marker='.')plt.show()

降維的數(shù)據(jù)如上圖所示。每個數(shù)據(jù)集中三個類都用不同的符號標記。從這個二維數(shù)據(jù)圖中可以明顯看出，有一個類與其他兩個重疊的類完全分離。這個結果可以幫助我們選擇分類模型。

臉部識別

現(xiàn)在讓我們用PCA來解決一個臉部識別問題。臉部識別是一個監(jiān)督分類任務，用于從照片中認出某個人。本例中，我們用劍橋大學AT&T實驗室的Our Database of Faces數(shù)據(jù)集（http://www.cl.cam.ac.uk/Research/DTG/attarchive/pub/data/att_faces.zip），這個數(shù)據(jù)集包含40個人每個人10張照片。這些照片是在不同的光照條件下拍攝的，每張照片的表情也不同。照片都是黑白的，尺寸為92 x 112像素。雖然這些圖片都不大，但是每張圖片的按像素強度排列的特征向量也有（92 x 112=）10304維。這些高維數(shù)據(jù)的訓練可能需要很多樣本才能避免擬合過度。而我們樣本量并不大，所有我們用PCA計算一些主成分來表示這些照片。

我們可以把照片的像素強度矩陣轉換成向量，然后用所有的訓練照片的向量建一個矩陣。每個照片都是數(shù)據(jù)集主成分的線性組合。在臉部識別理論中，這些主成分稱為特征臉（eigenfaces）。特征臉可以看成是臉部的標準化組成部分。數(shù)據(jù)集中的每張臉都可以通過一些標準臉的組合生成出來，或者說是最重要的特征臉線性組合的近似值。

fromosimportwalk,pathimportnumpyasnpimportmahotasasmhfromsklearn.cross_validationimporttrain_test_splitfromsklearn.cross_validationimportcross_val_scorefromsklearn.preprocessingimportscalefromsklearn.decompositionimportPCAfromsklearn.linear_modelimportLogisticRegressionfromsklearn.metricsimportclassification_reportX=[]y=[]

下面我們把照片導入Numpy數(shù)組，然后把它們的像素矩陣轉換成向量：

fordir_path,dir_names,file_namesinwalk('C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/'):#walk()函數(shù)內存放的是數(shù)據(jù)的絕對路徑，同時注意斜杠的方向。forfninfile_names:iffn[-3:]=='pgm':image_filename=path.join(dir_path,fn)X.append(scale(mh.imread(image_filename,as_grey=True).reshape(10304).astype('float32')))y.append(dir_path)X=np.array(X)

然后，我們用交叉檢驗建立訓練集和測試集，在訓練集上用PCA：

X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split(X,y)pca=PCA(n_components=150)

我們把所有樣本降到150維，然后訓練一個邏輯回歸分類器。數(shù)據(jù)集包括40個類；scikit-learn底層會自動用one versus all策略創(chuàng)建二元分類器：

X_train_reduced=pca.fit_transform(X_train)X_test_reduced=pca.transform(X_test)print('訓練集數(shù)據(jù)的原始維度是：{}'.format(X_train.shape))print('PCA降維后訓練集數(shù)據(jù)是：{}'.format(X_train_reduced.shape))classifier=LogisticRegression()accuracies=cross_val_score(classifier,X_train_reduced,y_train)

訓練集數(shù)據(jù)的原始維度是：(300, 10304) PCA降維后訓練集數(shù)據(jù)是：(300, 150)

最后，我們用交叉驗證和測試集評估分類器的性能。分類器的平均綜合評價指標（F1 score）是0.88，但是需要花費更多的時間訓練，在更多訓練實例的應用中可能會更慢。

print('交叉驗證準確率是：{} {}'.format(np.mean(accuracies),accuracies))classifier.fit(X_train_reduced,y_train)predictions=classifier.predict(X_test_reduced)print(classification_report(y_test,predictions))

最終的分析結果：

交叉驗證準確率是：0.829757290513[0.830357140.833333330.8255814]precisionrecallf1-scoresupportC:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s11.001.001.001C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s101.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s111.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s121.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s131.001.001.004C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s141.001.001.003C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s151.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s161.000.750.864C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s171.001.001.004C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s181.001.001.003C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s191.001.001.003C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s21.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s201.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s211.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s221.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s231.001.001.004C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s241.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s251.001.001.004C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s261.001.001.005C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s270.501.000.671C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s281.000.670.803C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s291.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s31.001.001.001C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s301.001.001.003C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s311.001.001.003C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s321.001.001.001C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s331.001.001.001C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s341.001.001.003C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s351.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s360.671.000.802C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s370.501.000.671C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s381.001.001.005C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s391.001.001.003C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s41.001.001.001C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s401.001.001.001C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s51.000.830.916C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s61.001.001.003C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s71.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s81.001.001.002C:/Users/HLB/Desktop/firstblog/att_faces/s91.001.001.001avg/total0.980.970.97100

▌總結

本文主要介紹PCA降維問題。高維數(shù)據(jù)不能輕易可視化。估計器訓練高維數(shù)據(jù)集時，也可能出現(xiàn)維度災難。通過主成分分析法緩解這些問題，將可能解釋變量具有相關性的高維數(shù)據(jù)集，通過將數(shù)據(jù)映射到一個低維子空間，降維成一個線性無關的低維數(shù)據(jù)集。最后拓展用PCA將四維的鳶尾花數(shù)據(jù)集降成二維數(shù)據(jù)進行可視化；并將PCA用在一個臉部識別系統(tǒng)。