AI智能體學習如何跑步、躲避跨越障礙物

近年來，深度學習受到全球關注。成就最為突出的便是深度強化學習，例如Alpha Go等。本文作者Artem Oppermann基于此，對深度強化學習訓練AI智能體所需要的數學背景知識——馬爾科夫鏈做了深入淺出的介紹。

近年來，世界各地的研究員和媒體對深度學習極其關注。而深度學習方面成就最為突出的就是深度強化學習——從谷歌Alpha Go擊敗世界頂級棋手，到DeepMind的AI智能體自學走路、跑步以及躲避障礙物，如下圖所示：

圖2：AI智能體學習如何跑步、躲避跨越障礙物

圖3：AI智能體學習如何跑步、躲避跨越障礙物

還有一些AI智能體打破了自2014年以來人類玩家在雅達利游戲中的最高紀錄。

圖4：AI智能體學習如何玩兒雅達利游戲

而這一切最令人驚奇的是這些AI智能體中，沒有一個是由人類明確編程或者指導他們如何完成這些任務的。他們僅僅是通過深度學習和強化學習的力量在自學！

本文作者Artem Oppermann在Medium中開設了《自學AI智能體》的“連載”課程，本文是其第一篇文章，詳細介紹了AI智能體自學完成任務這一過程背后需要了解的數學知識——馬爾可夫鏈。

Nutshell中的深度強化學習

深度強化學習可以概括為構建一種算法(或AI智能體)，直接從與環境的交互中學習。

圖5：深度強化學習示意圖

環境可以是真實世界，電腦游戲，模擬，甚至棋盤游戲，比如圍棋或象棋。就像人類一樣，人工智能代理人從其行為的結果中學習，而不是從明確的教導中學習。

在深度強化學習中，智能體是由神經網絡表示的。神經網絡直接與環境相互作用。它觀察環境的當前狀態，并根據當前狀態和過去的經驗決定采取何種行動（例如向左、向右移動等）。根據采取的行動，AI智能體收到一個獎勵（Reward）。獎勵的數量決定了在解決給定問題時采取的行動的質量(例如學習如何走路)。智能體的目標是學習在任何特定的情況下采取行動，使累積的獎勵隨時間最大化。

馬爾可夫決策過程

馬爾可夫決策過程（MDP）是一個離散時間隨機控制過程。

MDP是迄今為止我們對AI智能體的復雜環境建模的最佳方法。智能體要解決的每個問題都可以看作是S1、S2、S3、……Sn（狀態可以是圍棋/象棋的棋局配置）的序列。智能體采取行動并從一個狀態移動到另一個狀態。

馬爾可夫過程

馬爾可夫過程是一個描述可能狀態序列的隨機模型，其中當前狀態僅依賴于以前的狀態。這也被稱為馬爾科夫性質（公式1）。對于強化學習，這意味著AI智能體的下一個狀態只依賴于最后一個狀態，而不是之前的所有狀態。

公式1：馬爾可夫性質

馬爾可夫過程是一個隨機過程。這意味著從當前狀態s到下一個狀態s'的轉變“只能在一定概率下發生”（公式2）。在馬爾科夫過程中，一個被告知向左移動的智能體只會在一定概率下向左移動，例如0.998。在概率很小的情況下，由環境決定智能體的最終位置。

公式2：從狀態s到狀態s'的轉變概率

Pss '可以看作是狀態轉移矩陣P中的一個條目，它定義了從所有狀態s到所有后續狀態s'的轉移概率（公式3）。

公式3：轉移概率矩陣

馬爾可夫獎勵（Reward）過程

馬爾可夫獎勵過程是一個元組。這里R是智能體希望在狀態s（公式4）中獲得的獎勵。這一過程的動機是基于AI智能體是“需要達成一定目標”這樣的一個事實，例如贏得國際象棋比賽，在某些狀態下（游戲配置）比起其它狀態來說贏得比賽的概率會更大一些。

公式4：在狀態s中期望獲得獎勵

總獎勵Gt（公式5），它是智能體在所有狀態序列中所獲得的預期累積獎勵。每個獎勵都由所謂的折扣因子γ∈[0,1]加權。

公式5：所有狀態的獎勵總額

價值函數（Value Function）

另一個重要的概念是價值函數v(s)中的一個。價值函數將一個值映射到每個狀態s。狀態s的值被定義為AI智能體在狀態s中開始其進程時將得到的預期總獎勵（公式6）。

公式6：價值函數，從狀態s開始的期望返回值

價值函數可以分解為兩個部分：

處于狀態s時，智能體收到的即使獎勵（immediate reward）R（t+1）；

在狀態s之后的下一個狀態的折現值（discounted value）v（s（t+1））；

公式7：價值函數的分解

貝爾曼方程

馬爾可夫獎勵過程的貝爾曼方程

分解后的值函數（公式8）也稱為馬爾可夫獎勵過程的貝爾曼方程。

該函數可以在節點圖中可視化（圖6），從狀態s開始，得到值v(s)。在狀態s中，我們有特定的概率Pss '到下一個狀態s'中結束。在這種特殊情況下，我們有兩個可能的下一個狀態為了獲得值v（s），我們必須總結由概率Pss'加權的可能的下一個狀態的值v（s'），并從狀態s中添加直接獎勵。 這就產生了公式9，如果我們在等式中執行期望算子E，那么這只不是公式8。

公式8：價值函數分解

圖6：從s到s'的隨機轉變

公式9：執行期望算子E后的貝爾曼方程

馬爾可夫決策過程——定義

馬爾可夫決策過程是一個有決策的馬爾可夫獎勵過程。

馬爾可夫決策過程是馬爾可夫獎勵過程的決策。 馬爾可夫決策過程由一組元組描述，A是智能體可以在狀態s中采取的一組有限的可能動作。 因此，現在處于狀態s中的直接獎勵也取決于智能體在這種狀態下所采取的行動（公式10）。

公式10：期望獎勵取決于狀態s中的行為

策略

在這一點上，我們將討論智能體如何決定在特定狀態下必須采取哪些行動。 這由所謂的策略π（公式11）決定。 從數學角度講，策略是對給定狀態的所有行動的分配。 策略確定從狀態s到智能體必須采取的操作a的映射。

公式11：策略作為從s到a的一個映射

該策略導致狀態價值函數v（s）的新定義（公式12），我們現在將其定義為從狀態s開始的預期返回，然后遵循策略π。

公式12：狀態值函數

動作價值函數

除狀態值函數之外的另一個重要功能是所謂的動作值函數q（s，a）（公式13）。 動作值函數是我們通過從狀態s開始，采取行動a然后遵循策略π獲得的預期回報。 請注意，對于狀態s，q（s，a）可以采用多個值，因為智能體可以在狀態s中執行多個操作。 Q（s，a）的計算是通過神經網絡實現的。 給定狀態作為輸入，網絡計算該狀態下每個可能動作的質量作為標量（圖7）。 更高的質量意味著在給定目標方面采取更好的行動。

圖7：動作價值函數說明

公式13：動作價值函數

狀態值函數v（s）可以分解為以下形式：

公式14：狀態價值函數分解

同樣的分解也適用于動作價值函數：

公式15：動作價值函數分解

在這一點上，我們討論v（s）和q（s，a）如何相互關聯。 這些函數之間的關系可以在圖中再次可視化：

圖8：v（s）和q（s，a）之間關系的可視化

在這個例子中，處于狀態s允許我們采取兩種可能的行動a，根據定義，在特定狀態下采取特定的行動給了我們動作值q（s,a）。價值函數v（s）是概率q（s，a）的和，由在狀態s中采取行動a的概率來賦予權重。

公式16：狀態值函數是動作值的加權和

現在讓我們考慮圖9中的相反情況。二叉樹的根現在是一個我們選擇采取特定動作的狀態。 請記住，馬爾可夫過程是隨機的。 采取行動并不意味著你將以100％的確定性結束你想要的目標。 嚴格地說，你必須考慮在采取行動后最終進入其他狀態的概率。 在采取行動后的這種特殊情況下，你可以最終處于兩個不同的下一個狀態s'：

圖9：v(s)與q(s,a)關系的可視化

為了獲得動作值，你必須用概率加權的折現狀態值來最終得到所有可能的狀態(在本例中僅為2)，并加上即時獎勵:

公式17：q(s,a)和v(s)之間的關系

既然我們知道了這些函數之間的關系，我們就可以將公式16中的v(s)插入公式17中的q(s,a)中。我們得到公式18，可以看出當前的q(s,a)和下一個動作值q(s,a)之間存在遞歸關系。

公式18：動作值函數的遞歸性質

這種遞歸關系可以再次在二叉樹中可視化（圖10）。

圖10：q(s,a)遞歸行為的可視化