在19世紀末，有一款游戲曾風靡了美國、歐洲、澳大利亞和新西蘭等地。游戲的名字叫15-puzzle，即所謂的“十五謎題”推盤游戲：它有一個排列成4×4的16宮格，其中15個格子中含有寫有數字的可移動方塊，還有一個格子是空的。解謎的方法是通過移動這些方塊，對數字進行排序。這是一個經典的數學謎題，只有與空白格相鄰的數字才可以移動。

○十五數字推盤游戲有15個數字方塊和一個空位，游戲者需要移動方塊，讓所有方塊上的數字按照次序排列。華容道游戲與此類似。| 圖片來源：E. Bobrow et. al.

就在140年后的今天，這個游戲再次引發了人們的興趣。不過這次，對它著迷的是一群物理學家，他們通過這個游戲，更近一步地理解了一個看似平常卻復雜異常的謎題：磁鐵的工作原理是什么？

我們對磁性材料并不陌生，鐵和其他物質可以形成永磁體，就像能牢牢地粘在冰箱上的那種那樣，這種磁體的磁性是源于一種叫做鐵磁性的現象。

材料的磁性來自于內部電子的行為：每個電子像是一個微小的磁體，它們的磁場方向與各自的自旋直接相關。對于沒有磁性的材料來說，原子中的電子是成對的，成對的電子總是有著相反的自旋方向，因此它們的磁場會彼此抵消，從而材料在整體不會表現出磁性。而對磁性材料來說，原子的最外層有一些未成對的電子，這些未成對的電子能產生微弱的磁場，從而讓材料整體表現出磁性。

那么，這就是磁體運作原理的全部嗎？

我們今天要著重說的，是一種特殊的鐵磁性——巡游鐵磁性（Itinerant ferromagnetism），它指的是在鐵、鈷、鎳等金屬中，電子可以在材料內部自由移動。每個電子同樣有一個固有磁矩，要準確地理解所有的磁矩如何以及為何在一個磁體中排列，就需要計算所有電子之間的量子相互作用。這是非常復雜的，可以說，巡游鐵磁性是理論凝聚態物理學中最難的問題之一。

而就在最近，十五謎題推盤游戲給了物理學家以靈感，讓我們終于得以更加接近于解開這個難題。這位物理學家叫名叫李易，是約翰霍普金斯大學的一位從事凝聚態物理研究的助理教授。她帶領兩個研究生Eric Bobrow和Keaton Stubis，利用十五謎題推盤游戲中的數學，延伸擴展了一個描述理想情況下巡游鐵磁性的定理，她們的定理可以解釋更寬泛、更接近現實的系統。

面對錯綜復雜的問題，物理學家善于從最簡單的理想化模型開始。李易等人想要從簡單的理想模型中捕捉鐵磁性的基本物理性質，他們的突破就建立在50多年前一個里程碑式的發現之上。

這是一個由物理學家David Thouless和Yosuke Nagaoka在20世紀60年代各自獨立提出的證明，他們從數學的角度，解釋了電子為何排列并形成鐵磁狀態，這一結果被稱為Nagaoka-Thouless定理。

在介紹這個定理之前，我們需要先從最基礎的層面上來看看金屬中的電子所必須遵循的兩個約束條件：

電子帶負電，它們之間具有互相排斥的庫倫力。

電子遵守泡利不相容原理，即：自旋相同的兩個電子，不可以在一個原子周圍占據同樣的量子態；自旋相反的兩個電子則可以。

要讓一群自由運動的電子滿足這兩個條件，最簡單的方法是讓它們保持距離，讓它們的自旋平行（對齊），從而形成鐵磁性。

Nagaoka-Thouless定理就是依賴于原子晶格上的一個理想電子系統。這個定理到底說了什么呢？我們可以想象有一個二維的方形晶格：晶格中的每個頂點都可以容納兩個自旋相反的電子；但同時，這個定理又假設，兩個電子同時占據一個位置所需耗費的能量是無窮大的，這樣就確保了一個位置只有一個電子。這樣一來，每個電子的自旋可以是向上或向下的，并不一定要方向一致，因此系統不一定具有鐵磁性。

這時如果拿走其中一個電子，晶格中就會多出一個空位，我們稱之為空穴（hole）。與之相鄰的電子可以滑入這個空穴，留出另一個空位；然后另一個電子又可以占據這個新的空穴，再一次留出一個新的空穴……通過這種方式，空穴從一個位置跳到另一個位置，穿梭于晶格之中。

在這種情況下，只要添加一個空穴，電子就會自發地進行規則排列，這就是Thouless和Nagaoka所證明的系統的最低能量狀態——鐵磁態。

○在十五數字推盤游戲（左）中，用自旋為1/2的粒子替換數字，得到中圖所表示的結構，其中+表示自旋向上，-表示自旋向下；右圖是與此對應的自旋晶格，其中有一個空穴。| 圖片來源：E. Bobrow et. al.

若要使這個系統維持在最低能量狀態，空穴的自由穿梭必須要在不干擾電子自旋的情況下進行——這就需要額外的能量了。但是當空穴四處移動時，電子也會四處移動。因此若要使電子在不改變自旋的情況下移動，電子就必須規則排列。

這便是Nagaoka和Thouless對鐵磁性的證明。從物理學的角度來看，它是不真實的：例如兩個電子確實需要消耗巨大的能量才能克服彼此間的排斥力來占據同一個位置，但這個能量是有限的，而不是定理中所要求的無窮大；再者，這個定理只適用于簡單的晶格，比如二維的方形、三角形晶格，或三維的立方體晶格，可自然界中的鐵磁性存在于各種晶格結構各異的金屬中。

盡管如此， Nagaoka-Thouless確實首次從理論上解釋了電子自旋為什么應該保持平行。

物理學家認為，如果Nagaoka-Thouless定理真的解釋了鐵磁性，那么它應該適用于所有晶格。

1989年，日本物理學家Hal Tasaki對這個定理進行了一定程度的延伸。他發現，只要晶格中具有“連通性”這種數學性質，這個定理就能適用。比如說，在一個二維的方形晶格中有一個可移動的空穴，如果移動這個空穴，可以在維持自旋向上和向下的電子數量不變的同時，對每一個自旋進行創造，那么就滿足連通性條件。

但問題在于，我們并不知道除了二維的正方形、三角形晶格，和三維立方體晶格之外，其他晶格結構是否也滿足連通性條件。

因此在此基礎上，李易和她的團隊想要弄清的就是：這個定理是否適用于更一般的情況。

他們將研究對象鎖定在蜂窩狀的六角晶格上，在研究過程中，他們意識到這個問題類似和風靡19世紀的十五謎題推盤游戲迷之相似！只不過對他們來說，方塊上的數字變成了向上或向下的自旋。如果可以讓這些方塊重新排列成任何序列，那么難題就解決了——這正是連通性條件的本質所在。

所以，問題“對于一個給定的晶格，連通性條件是否滿足”就等價于問題“具有同樣晶格結構的推盤游戲是否可解”。

結果，他們又驚喜地發現，早在1974年，數學家Richard Wilson就已經解決了這個問題！他已經成功地對具有所有結構的十五謎題推盤游戲進行推廣：證明了只要滑動方塊的次數為偶數，那么幾乎對于所有的不可分割晶格（在移除一個頂點后，頂點仍然保持連接的晶格）來說，都可以通過滑動方塊來得到任何想要的結構。唯二的例外是超過三個頂點的多邊形，以及一種名為“θ?圖”的結構。

因此，研究人員可以直接將Wilson的證明結果應用于Nagaoka-Thouless定理。于是，他們證明了對于有單個空穴的電子系統，幾乎所有晶格都滿足連通性條件，包括二維六角形結構和三維菱形晶格等常見結構。而例外的那兩種結構實際上并不會出現于真實的鐵磁結構中。

就這樣，李易等人通過十五謎題推盤游戲，將電子晶格與圖論聯系了起來。朝著解決巡游鐵磁性的磁性原理問題邁進了重要的一步。雖然成果喜人，但也仍存在需要進一步解決的問題，其中之一便是當在晶格中移動的空穴的步數為奇數，Nagaoka-Thouless定理并不總是有效；而另一個更為突出的問題是，在這個定理只能存在一個空穴，不能多也不能少——但是在金屬中的空穴可以非常多，有時甚至可以占據一半的晶格。

于是，研究人員將這個擴展過的定理推廣到具有多個空穴的系統中去。計算結果表明，對于正方形晶格，當空穴占據晶格不超過30%時，Nagaoka和Thouless描述的鐵磁性似乎仍是適用的。

在李易等人發表于《物理評論B》的論文中，他們精確地對二維六角晶格和三維菱形晶格進行了分析，得出的結果是：對于二維六角晶格和三維菱形晶格來說，只要空穴數量分別小于格點數量的1/2次方和2/5次方，鐵磁性就應該可以存在。

這些精確的數字有助于科學家在今后建立一個更加完整的巡游鐵磁性模型，從而幫助我們更深刻地理解磁鐵的運作原理。