什么是回歸分析？

回歸分析是一種預(yù)測(cè)性的建模技術(shù)，它研究的是因變量（目標(biāo)）和自變量（預(yù)測(cè)器）之間的關(guān)系。這種技術(shù)通常用于預(yù)測(cè)分析，時(shí)間序列模型以及發(fā)現(xiàn)變量之間的因果關(guān)系。例如，司機(jī)的魯莽駕駛與道路交通事故數(shù)量之間的關(guān)系，最好的研究方法就是回歸。

回歸分析是建模和分析數(shù)據(jù)的重要工具。在這里，我們使用曲線/線來(lái)擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，在這種方式下，從曲線或線到數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離差異最小。我會(huì)在接下來(lái)的部分詳細(xì)解釋這一點(diǎn)。

我們?yōu)槭裁词褂没貧w分析？

如上所述，回歸分析估計(jì)了兩個(gè)或多個(gè)變量之間的關(guān)系。下面，讓我們舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)理解它：比如說(shuō)，在當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)條件下，你要估計(jì)一家公司的銷售額增長(zhǎng)情況。現(xiàn)在，你有公司最新的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)顯示出銷售額增長(zhǎng)大約是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的2.5倍。那么使用回歸分析，我們就可以根據(jù)當(dāng)前和過(guò)去的信息來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)公司的銷售情況。

使用回歸分析的好處良多。具體如下：

它表明自變量和因變量之間的顯著關(guān)系；

它表明多個(gè)自變量對(duì)一個(gè)因變量的影響強(qiáng)度。

回歸分析也允許我們?nèi)ケ容^那些衡量不同尺度的變量之間的相互影響，如價(jià)格變動(dòng)與促銷活動(dòng)數(shù)量之間聯(lián)系。這些有利于幫助市場(chǎng)研究人員，數(shù)據(jù)分析人員以及數(shù)據(jù)科學(xué)家排除并估計(jì)出一組最佳的變量，用來(lái)構(gòu)建預(yù)測(cè)模型。

我們有多少種回歸技術(shù)？

有各種各樣的回歸技術(shù)用于預(yù)測(cè)。這些技術(shù)主要有三個(gè)度量（自變量的個(gè)數(shù)，因變量的類型以及回歸線的形狀）。我們將在下面的部分詳細(xì)討論它們。

對(duì)于那些有創(chuàng)意的人，如果你覺(jué)得有必要使用上面這些參數(shù)的一個(gè)組合，你甚至可以創(chuàng)造出一個(gè)沒(méi)有被使用過(guò)的回歸模型。但在你開始之前，先了解如下最常用的回歸方法：

01 LinearRegression線性回歸

它是最為人熟知的建模技術(shù)之一。線性回歸通常是人們?cè)趯W(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型時(shí)首選的技術(shù)之一。在這種技術(shù)中，因變量是連續(xù)的，自變量可以是連續(xù)的也可以是離散的，回歸線的性質(zhì)是線性的。

線性回歸使用最佳的擬合直線（也就是回歸線）在因變量（Y）和一個(gè)或多個(gè)自變量（X）之間建立一種關(guān)系。

用一個(gè)方程式來(lái)表示它，即Y=a+b*X+e，其中a表示截距，b表示直線的斜率，e是誤差項(xiàng)。這個(gè)方程可以根據(jù)給定的預(yù)測(cè)變量（s）來(lái)預(yù)測(cè)目標(biāo)變量的值。

一元線性回歸和多元線性回歸的區(qū)別在于，多元線性回歸有（>1）個(gè)自變量，而一元線性回歸通常只有1個(gè)自變量。現(xiàn)在的問(wèn)題是“我們?nèi)绾蔚玫揭粋€(gè)最佳的擬合線呢？”。

如何獲得最佳擬合線（a和b的值）？

這個(gè)問(wèn)題可以使用最小二乘法輕松地完成。最小二乘法也是用于擬合回歸線最常用的方法。對(duì)于觀測(cè)數(shù)據(jù)，它通過(guò)最小化每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)到線的垂直偏差平方和來(lái)計(jì)算最佳擬合線。因?yàn)樵谙嗉訒r(shí)，偏差先平方，所以正值和負(fù)值沒(méi)有抵消。

我們可以使用R-square指標(biāo)來(lái)評(píng)估模型性能。想了解這些指標(biāo)的詳細(xì)信息，可以閱讀：模型性能指標(biāo)Part1,Part2.

要點(diǎn)：

自變量與因變量之間必須有線性關(guān)系

多元回歸存在多重共線性，自相關(guān)性和異方差性。

線性回歸對(duì)異常值非常敏感。它會(huì)嚴(yán)重影響回歸線，最終影響預(yù)測(cè)值。

多重共線性會(huì)增加系數(shù)估計(jì)值的方差，使得在模型輕微變化下，估計(jì)非常敏感。結(jié)果就是系數(shù)估計(jì)值不穩(wěn)定，在多個(gè)自變量的情況下，我們可以使用向前選擇法，向后剔除法和逐步篩選法來(lái)選擇最重要的自變量。

02 LogisticRegression邏輯回歸

邏輯回歸是用來(lái)計(jì)算“事件=Success”和“事件=Failure”的概率。當(dāng)因變量的類型屬于二元（1/0，真/假，是/否）變量時(shí)，我們就應(yīng)該使用邏輯回歸。這里，Y的值從0到1，它可以用下方程表示。

odds= p/ (1-p) = probability of event occurrence / probability of not event occurrence

ln(odds) = ln(p/(1-p))

logit(p) = ln(p/(1-p)) = b0+b1X1+b2X2+b3X3....+bkXk

上述式子中，p表述具有某個(gè)特征的概率。你應(yīng)該會(huì)問(wèn)這樣一個(gè)問(wèn)題：“我們?yōu)槭裁匆诠街惺褂脤?duì)數(shù)log呢？”。

因?yàn)樵谶@里我們使用的是的二項(xiàng)分布（因變量），我們需要選擇一個(gè)對(duì)于這個(gè)分布最佳的連結(jié)函數(shù)。它就是Logit函數(shù)。在上述方程中，通過(guò)觀測(cè)樣本的極大似然估計(jì)值來(lái)選擇參數(shù)，而不是最小化平方和誤差（如在普通回歸使用的）。

要點(diǎn)：

它廣泛的用于分類問(wèn)題。

邏輯回歸不要求自變量和因變量是線性關(guān)系。它可以處理各種類型的關(guān)系，因?yàn)樗鼘?duì)預(yù)測(cè)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)OR使用了一個(gè)非線性的log轉(zhuǎn)換。

為了避免過(guò)擬合和欠擬合，我們應(yīng)該包括所有重要的變量。有一個(gè)很好的方法來(lái)確保這種情況，就是使用逐步篩選方法來(lái)估計(jì)邏輯回歸。它需要大的樣本量，因?yàn)樵跇颖緮?shù)量較少的情況下，極大似然估計(jì)的效果比普通的最小二乘法差。

自變量不應(yīng)該相互關(guān)聯(lián)的，即不具有多重共線性。然而，在分析和建模中，我們可以選擇包含分類變量相互作用的影響。

如果因變量的值是定序變量，則稱它為序邏輯回歸。

如果因變量是多類的話，則稱它為多元邏輯回歸。

03 PolynomialRegression多項(xiàng)式回歸

對(duì)于一個(gè)回歸方程，如果自變量的指數(shù)大于1，那么它就是多項(xiàng)式回歸方程。如下方程所示：y=a+b*x^2

在這種回歸技術(shù)中，最佳擬合線不是直線。而是一個(gè)用于擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線。

重點(diǎn)：

雖然會(huì)有一個(gè)誘導(dǎo)可以擬合一個(gè)高次多項(xiàng)式并得到較低的錯(cuò)誤，但這可能會(huì)導(dǎo)致過(guò)擬合。你需要經(jīng)常畫出關(guān)系圖來(lái)查看擬合情況，并且專注于保證擬合合理，既沒(méi)有過(guò)擬合又沒(méi)有欠擬合。下面是一個(gè)圖例，可以幫助理解：

明顯地向兩端尋找曲線點(diǎn)，看看這些形狀和趨勢(shì)是否有意義。更高次的多項(xiàng)式最后可能產(chǎn)生怪異的推斷結(jié)果。

04 StepwiseRegression逐步回歸

在處理多個(gè)自變量時(shí)，我們可以使用這種形式的回歸。在這種技術(shù)中，自變量的選擇是在一個(gè)自動(dòng)的過(guò)程中完成的，其中包括非人為操作。

這一壯舉是通過(guò)觀察統(tǒng)計(jì)的值，如R-square，t-stats和AIC指標(biāo)，來(lái)識(shí)別重要的變量。逐步回歸通過(guò)同時(shí)添加/刪除基于指定標(biāo)準(zhǔn)的協(xié)變量來(lái)擬合模型。下面列出了一些最常用的逐步回歸方法：

標(biāo)準(zhǔn)逐步回歸法做兩件事情。即增加和刪除每個(gè)步驟所需的預(yù)測(cè)。

向前選擇法從模型中最顯著的預(yù)測(cè)開始，然后為每一步添加變量。

向后剔除法與模型的所有預(yù)測(cè)同時(shí)開始，然后在每一步消除最小顯著性的變量。

這種建模技術(shù)的目的是使用最少的預(yù)測(cè)變量數(shù)來(lái)最大化預(yù)測(cè)能力。這也是處理高維數(shù)據(jù)集的方法之一。

05 RidgeRegression嶺回歸

嶺回歸分析是一種用于存在多重共線性（自變量高度相關(guān)）數(shù)據(jù)的技術(shù)。在多重共線性情況下，盡管最小二乘法（OLS）對(duì)每個(gè)變量很公平，但它們的差異很大，使得觀測(cè)值偏移并遠(yuǎn)離真實(shí)值。嶺回歸通過(guò)給回歸估計(jì)上增加一個(gè)偏差度，來(lái)降低標(biāo)準(zhǔn)誤差。

上面，我們看到了線性回歸方程。還記得嗎？它可以表示為：y=a+b*x

這個(gè)方程也有一個(gè)誤差項(xiàng)。完整的方程是：

y=a+b*x+e (error term), [error term is the value needed to correct for a prediction error between the observed and predicted value]

=> y=a+y= a+ b1x1+ b2x2+....+e, for multiple independent variables.

在一個(gè)線性方程中，預(yù)測(cè)誤差可以分解為2個(gè)子分量。一個(gè)是偏差，一個(gè)是方差。預(yù)測(cè)錯(cuò)誤可能會(huì)由這兩個(gè)分量或者這兩個(gè)中的任何一個(gè)造成。在這里，我們將討論由方差所造成的有關(guān)誤差。

嶺回歸通過(guò)收縮參數(shù)λ（lambda）解決多重共線性問(wèn)題。看下面的公式

在這個(gè)公式中，有兩個(gè)組成部分。第一個(gè)是最小二乘項(xiàng)，另一個(gè)是β2（β-平方）的λ倍，其中β是相關(guān)系數(shù)。為了收縮參數(shù)把它添加到最小二乘項(xiàng)中以得到一個(gè)非常低的方差。

要點(diǎn)：

除常數(shù)項(xiàng)以外，這種回歸的假設(shè)與最小二乘回歸類似；它收縮了相關(guān)系數(shù)的值，但沒(méi)有達(dá)到零，這表明它沒(méi)有特征選擇功能，這是一個(gè)正則化方法，并且使用的是L2正則化。

06 LassoRegression套索回歸

它類似于嶺回歸，Lasso（LeastAbsoluteShrinkageandSelectionOperator）也會(huì)懲罰回歸系數(shù)的絕對(duì)值大小。此外，它能夠減少變化程度并提高線性回歸模型的精度。看看下面的公式：

Lasso回歸與Ridge回歸有一點(diǎn)不同，它使用的懲罰函數(shù)是絕對(duì)值，而不是平方。這導(dǎo)致懲罰（或等于約束估計(jì)的絕對(duì)值之和）值使一些參數(shù)估計(jì)結(jié)果等于零。使用懲罰值越大，進(jìn)一步估計(jì)會(huì)使得縮小值趨近于零。這將導(dǎo)致我們要從給定的n個(gè)變量中選擇變量。

要點(diǎn)：

除常數(shù)項(xiàng)以外，這種回歸的假設(shè)與最小二乘回歸類似；

它收縮系數(shù)接近零（等于零），確實(shí)有助于特征選擇；

這是一個(gè)正則化方法，使用的是L1正則化；

如果預(yù)測(cè)的一組變量是高度相關(guān)的，Lasso會(huì)選出其中一個(gè)變量并且將其它的收縮為零。

07 ElasticNet回歸

ElasticNet是Lasso和Ridge回歸技術(shù)的混合體。它使用L1來(lái)訓(xùn)練并且L2優(yōu)先作為正則化矩陣。當(dāng)有多個(gè)相關(guān)的特征時(shí)，ElasticNet是很有用的。Lasso會(huì)隨機(jī)挑選他們其中的一個(gè)，而ElasticNet則會(huì)選擇兩個(gè)。

Lasso和Ridge之間的實(shí)際的優(yōu)點(diǎn)是，它允許ElasticNet繼承循環(huán)狀態(tài)下Ridge的一些穩(wěn)定性。

要點(diǎn)：

在高度相關(guān)變量的情況下，它會(huì)產(chǎn)生群體效應(yīng)；

選擇變量的數(shù)目沒(méi)有限制；

它可以承受雙重收縮。

除了這7個(gè)最常用的回歸技術(shù)，你也可以看看其他模型，如Bayesian、Ecological和Robust回歸。

如何正確選擇回歸模型？

當(dāng)你只知道一個(gè)或兩個(gè)技術(shù)時(shí)，生活往往很簡(jiǎn)單。我知道的一個(gè)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)告訴他們的學(xué)生，如果結(jié)果是連續(xù)的，就使用線性回歸。如果是二元的，就使用邏輯回歸！然而，在我們的處理中，可選擇的越多，選擇正確的一個(gè)就越難。類似的情況下也發(fā)生在回歸模型中。

在多類回歸模型中，基于自變量和因變量的類型，數(shù)據(jù)的維數(shù)以及數(shù)據(jù)的其它基本特征的情況下，選擇最合適的技術(shù)非常重要。以下是你要選擇正確的回歸模型的關(guān)鍵因素：

數(shù)據(jù)探索是構(gòu)建預(yù)測(cè)模型的必然組成部分。在選擇合適的模型時(shí)，比如識(shí)別變量的關(guān)系和影響時(shí)，它應(yīng)該首選的一步。

比較適合于不同模型的優(yōu)點(diǎn)，我們可以分析不同的指標(biāo)參數(shù)，如統(tǒng)計(jì)意義的參數(shù)，R-square，AdjustedR-square，AIC，BIC以及誤差項(xiàng)，另一個(gè)是Mallows'Cp準(zhǔn)則。這個(gè)主要是通過(guò)將模型與所有可能的子模型進(jìn)行對(duì)比（或謹(jǐn)慎選擇他們），檢查在你的模型中可能出現(xiàn)的偏差。

交叉驗(yàn)證是評(píng)估預(yù)測(cè)模型最好額方法。在這里，將你的數(shù)據(jù)集分成兩份（一份做訓(xùn)練和一份做驗(yàn)證）。使用觀測(cè)值和預(yù)測(cè)值之間的一個(gè)簡(jiǎn)單均方差來(lái)衡量你的預(yù)測(cè)精度。

如果你的數(shù)據(jù)集是多個(gè)混合變量，那么你就不應(yīng)該選擇自動(dòng)模型選擇方法，因?yàn)槟銘?yīng)該不想在同一時(shí)間把所有變量放在同一個(gè)模型中。

它也將取決于你的目的。可能會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，一個(gè)不太強(qiáng)大的模型與具有高度統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的模型相比，更易于實(shí)現(xiàn)。

回歸正則化方法（Lasso，Ridge和ElasticNet）在高維和數(shù)據(jù)集變量之間多重共線性情況下運(yùn)行良好。