公歷 3 月 12 日是一年一度的植樹節。旨在宣傳保護森林，并動員群眾參加植樹造林活動。說到樹，程序猿們肯定不陌生，趁著這個植樹節，普及一下程序猿們經常遇見的樹。

二叉搜索樹

定義

二叉搜索樹又稱二叉查找樹，亦稱為二叉排序樹。設 x 為二叉查找樹中的一個節點，x 節點包含關鍵字 key，節點x 的 key 值記為 key[x] 。如果 y 是 x 的左子樹中的一個節點，則 key[y] <= key[x] ；如果 y 是 x 的右子樹的一個節點，則 key[y] >= key[x] 。

查找性能

當數據數目為 N，樹高度保持 logN 附近。則平均查找長度與 logN 成正比，查找平均時間復雜度為 O(logN) 。 當先后插入的關鍵字有序時，二叉搜索樹退化成單支樹結構。此時樹高 N 。平均查找長度為 (N+1)/2 ，查找的平均時間復雜度為 O(N) 。

插入性能

插入效率與查找效率一致。??

刪除性能

刪除節點時，若節點為葉子節點，或者節點只有單一子樹，則時間復雜度為 O(1) 。若節點既有左子樹又有右子樹，則需要執行遞歸過程，對應時間復雜度為 O(logN) 。

應用場景

二叉排序樹就既有鏈表的好處，也有數組的好處，因此在處理大批量的動態的數據是比較有用。

種樹

平衡二叉樹

定義

平衡二叉樹是一種特殊的二叉搜索樹。平衡二叉樹保證節點平衡因子的絕對值不超過1，保證了樹的平衡。

查找性能

平衡二叉樹是嚴格平衡的，那么查找過程與二叉搜索樹一樣，只是平衡二叉樹不會出現最差的單支樹情形。因此查找效率最好，最壞情況時間復雜度為 O(logN) 。

插入性能

插入數據之前需要進行查找操作，查找到插入位置。插入數據后需要進行旋轉操作，旋轉操作復雜度為常量級。因此插入數據的時間復雜度與查找相同為 O(logN)。

刪除性能

刪除數據同樣需要查找數據，在刪除數據后需要進行調整。一次刪除最多需要需要O(logN)次旋轉，因此刪除數據的時間復雜度為O(logN)+O(logN)=O(2logN)。

應用場景

SGI/STL的 set/map 底層都是用紅黑樹（平衡二叉樹的一種）實現的。

種樹

紅黑樹

定義

平衡二叉樹的嚴格平衡策略以犧牲建立查找結構(插入，刪除操作)的代價，換來了穩定的O(logN) 的查找時間復雜度。紅黑樹采用了折中策略，即不犧牲太大的建立查找結構的代價，同時又能保證穩定高效的查找效率。

查找性能

由于紅黑樹的性質(最長路徑長度不超過最短路徑長度的 2 倍)，可以說明紅黑樹雖然不像平衡二叉樹一樣是嚴格平衡的，但平衡性能還是要比二叉搜索樹要好。其查找代價基本維持在 O(logN) 左右，但在最差情況下(最長路徑是最短路徑的 2 倍少 1)，比平衡二叉樹效率低一些。

插入性能

紅黑樹插入結點時，需要旋轉操作和變色操作。但由于只需要保證紅黑樹基本平衡就可以了。因此插入結點最多只需要2次旋轉，這一點和平衡二叉樹的插入操作一樣，但是變色操作的時間復雜度為O(logN)。

刪除性能

紅黑樹的刪除操作代價要比平衡二叉樹要好的多，刪除一個結點最多只需要 3 次旋轉操作，保證了刪除時間復雜度維持在常量級。

應用場景

應用場景有很多。

Java 中的 TreeSet ,TreeMap，HashMap

C++ 的 STL中的 map 和 set 都是用紅黑樹實現的

epoll 在內核中的實現，用紅黑樹管理事件塊

nginx 中，用紅黑樹管理 timer 等

linux 進程調度 Completely Fair Schedule r,用紅黑樹管理進程控制塊

種樹

B 樹

定義

B樹是一種多路平衡查找樹，在相同數據數目情形下，B樹的高度更小，這樣就減少了磁盤的IO次數，在文件系統以及數據庫索引等場景下提升了查找效率。

查找性能

B樹的查找分成兩種：一種是從一個結點查找另一結點的地址的時候，需要定位磁盤地址(查找地址)，查找代價極高。另一種是將結點中的有序關鍵字序列放入內存，進行優化查找(可以用折半)，相比查找代價極低。而B樹的高度很小，因此在這一背景下，B樹比任何二叉結構查找樹的效率都要高很多。

插入性能

B樹的插入會發生結點的分裂操作。當插入操作引起了 s 個節點的分裂時，磁盤訪問的次數為 h (讀取搜索路徑上的節點) ＋2s (回寫兩個分裂出的新節點) ＋1（回寫新的根節點或插入后沒有導致分裂的節點）。因此，所需要的磁盤訪問次數是 h+2s+1，最多可達到 3h+1。因此插入的代價較大。

刪除性能

B樹的刪除會發生結點合并操作。最壞情況下磁盤訪問次數是 3h＝（找到包含被刪除元素需要h次讀訪問）+（獲取第2至h層的最相鄰兄弟需要h-1次讀訪問）+（在第3至h層的合并需要h-2次寫訪問）+（對修改過的根節點和第2層的兩個節點進行3次寫訪問）。

應用場景

B樹/B+樹主要用于磁盤文件組織 數據索引和數據庫索引等場景。

種樹

B+ 樹

定義

B+樹是B-樹的一種變體，B+樹相比B-樹的特點：

（1）索引節點的key值均會出現在葉子節點中。（2）索引節點中的key值在葉子節點中或者為最大值或者為最小值。（3）葉子節點使用單鏈表的形式鏈接起來。

查找性能

（1）在相同數量的待查數據下，B+樹查找過程中需要調用的磁盤IO操作要少于普通B-樹。由于B+樹所在的磁盤存儲背景下，因此B+樹的查找性能要好于B-樹。

（2）B+樹的查找效率更加穩定，因為所有葉子結點都處于同一層中，而且查找所有關鍵字都必須走完從根結點到葉子結點的全部歷程。因此同一顆B+樹中，任何關鍵字的查找比較次數都是一樣的。而B樹的查找是不穩定的。

插入性能

B+樹的插入過程與B樹類似，性能也基本一致。

刪除性能

刪除性能與B樹也基本一致。

應用場景

B樹/B+樹主要用于磁盤文件組織 數據索引和數據庫索引等場景。

種樹

霍夫曼樹

定義

給定 n 個權值作為 n 個葉子結點，構造一棵二叉樹，若該樹的帶權路徑長度達到最小，稱這樣的二叉樹為最優二叉樹，也稱為霍夫曼樹(Huffman Tree)。

霍夫曼樹是帶權路徑長度最短的樹，權值較大的結點離根較近。

應用場景

霍夫曼樹主要用于霍夫曼編碼，進行數據壓縮領域。

霍夫曼編碼