相機(jī)標(biāo)定可以說是計算機(jī)視覺/機(jī)器視覺的基礎(chǔ)，但是初學(xué)者不易上手，本文將給讀者整理一遍相機(jī)標(biāo)定的邏輯，并在文末回答評論區(qū)提出的問題。分為以下內(nèi)容：

相機(jī)標(biāo)定的目的和意義

相機(jī)成像過程的簡化與建模

針孔相機(jī)模型的數(shù)學(xué)描述

標(biāo)定針孔相機(jī)模型的參數(shù)

相機(jī)標(biāo)定的目的和意義

我們所處的世界是三維的，而照片是二維的，這樣我們可以把相機(jī)認(rèn)為是一個函數(shù)，輸入量是一個場景，輸出量是一幅灰度圖。這個從三維到二維的過程的函數(shù)是不可逆的。

相機(jī)標(biāo)定的目標(biāo)是我們找一個合適的數(shù)學(xué)模型，求出這個模型的參數(shù)，這樣我們能夠近似這個三維到二維的過程，使這個三維到二維的過程的函數(shù)找到反函數(shù)。

這個逼近的過程就是「相機(jī)標(biāo)定」，我們用簡單的數(shù)學(xué)模型來表達(dá)復(fù)雜的成像過程，并且求出成像的反過程。標(biāo)定之后的相機(jī)，可以進(jìn)行三維場景的重建，即深度的感知，這是計算機(jī)視覺的一大分支。

相機(jī)成像過程的簡化與建模

提到相機(jī)的成像，從根本上來說，就是在討論相機(jī)的鏡頭。固定結(jié)構(gòu)的相機(jī)鏡頭決定了一對固定的物像共軛關(guān)系，所謂「共軛」，意思是鏡頭前某個位置的物，它的像一定在鏡頭后的某個位置，這個關(guān)系是固定的。舉個最簡單的例子，無窮遠(yuǎn)處的物必然會在鏡頭的焦點(diǎn)處成像。這里說的固定結(jié)構(gòu)，指的是鏡頭的焦距固定，光圈固定。

上圖是Canon EF 85mm/F1.2L II USM，我們可以找一個與這個鏡頭具有相同的物像共軛關(guān)系的凸透鏡來等效這個鏡頭，我們把這個凸透鏡稱作等效透鏡，用朝外的雙箭頭表示，如下圖。

這里說的等效，只是針對物像共軛關(guān)系的等效，也就是光路的等效，鏡頭中之所以用了形態(tài)各異的透鏡主要是為了消除各種各樣的像差，提高清晰度。換句話說，等效透鏡的目的絕不是為了在實(shí)際應(yīng)用中取代鏡頭（畢竟一個鏡頭都好貴），只是為了幫助我們理解。這樣我們就可以畫出相機(jī)拍攝到清晰的蠟燭燃燒場景的草圖，如下圖。

其中， 是火苗尖的物點(diǎn)， 是火苗尖的像點(diǎn) ， 是蠟燭根的物點(diǎn)，是蠟燭根的像點(diǎn)， ?是等效透鏡的中心（也稱為光心），紅色虛線表達(dá)了物點(diǎn) ?到 像點(diǎn)成像光路中的兩條，綠色虛線表達(dá)了物點(diǎn) 到像點(diǎn) 成像光路中的兩條，紅色是CCD面。注意，剛剛說到我們畫的是「相機(jī)拍攝到清晰的蠟燭燃燒場景的草圖」，這表明像點(diǎn) 和像點(diǎn) 剛好落在CCD面上，那么假如像點(diǎn)沒有落在CCD面上，也就是CCD拍攝的圖像不清晰，我們?nèi)绾未_定像點(diǎn)的位置？

根據(jù)幾何光學(xué)的作圖法，由過等效透鏡的焦點(diǎn) 的光線和過光心 的光線，我們可以作出像點(diǎn) 與 的位置，現(xiàn)在我們對「相機(jī)拍攝到清晰的蠟燭燃燒場景的草圖」同樣用作圖法，只考慮 與 點(diǎn)的物像關(guān)系。

這樣我們就能夠得到成像光路中的4條：①是過透鏡上邊沿的光路，④是過透鏡下邊沿的光路，②是過等效透鏡焦點(diǎn)的光路，③是過光心的光路。它們都表達(dá)了物點(diǎn) 與像點(diǎn) 的物像共軛關(guān)系，顯然③過光心的光路是最容易建立物像共軛關(guān)系數(shù)學(xué)模型，因此我們用③來代表成像光路，對相機(jī)成像過程進(jìn)行簡化。

到這里我們發(fā)現(xiàn)，簡化后的相機(jī)模型和針孔相機(jī)的成像原理很相似，因此我們把簡化后的相機(jī)模型稱為針孔相機(jī)模型。上圖中的 是針孔相機(jī)模型的焦距，但請注意，此針孔相機(jī)「焦距」非彼等效透鏡「焦距」，只是借用了「焦距」匯聚光線的概念，表達(dá)的是CCD面到光心的距離。

但是我們說的是簡化后的相機(jī)模型和針孔相機(jī)的成像原理僅僅是相似，絕不能等同，由于針孔相機(jī)的原理是光沿直線傳播，所以真實(shí)的針孔相機(jī)是沒有「焦距」的概念的，也不存在像差，其物像關(guān)系不具有一一對應(yīng)性，如下圖。

所以準(zhǔn)確的講把相機(jī)的成像過程簡化成針孔相機(jī)模型，只是借用了針孔相機(jī)中簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系來表達(dá)一些本來難以表達(dá)的數(shù)學(xué)關(guān)系，使得數(shù)學(xué)上大大降低了復(fù)雜性，但是這個簡化的代價同樣很大，它本身不考慮像差（雖然針孔相機(jī)模型補(bǔ)充了消畸變模型）、不考慮景深（針孔相機(jī)模型物像關(guān)系不具有一一對應(yīng)性，認(rèn)為凡是物總能成清晰像），并且假定等效透鏡是薄透鏡。所以說針孔相機(jī)模型僅僅是一種真實(shí)相機(jī)的成像過程的近似，甚至于我們可以說這是一種非常粗糙的近似，這使得這個模型對越符合針孔相機(jī)模型的真實(shí)相機(jī)近似程度越高，如網(wǎng)絡(luò)攝像頭、手機(jī)鏡頭、監(jiān)控探頭等等。

針孔相機(jī)模型的描述

我們對相機(jī)成像過程進(jìn)行簡化和建模得到了針孔相機(jī)模型，如下圖示。

首先建立相機(jī)坐標(biāo)系，我們以光心 為坐標(biāo)系的原點(diǎn)， 與 方向是CCD像素排列的水平和豎直兩個方向， 方向垂直與CCD面，建立右手坐標(biāo)系，這是一個三維坐標(biāo)系。其次，我們還需要建立CCD標(biāo)號坐標(biāo)系：以CCD左上角像素標(biāo)號為原點(diǎn)，CCD像素排列的水平和豎直兩個方向?yàn)?與 方向，這是一個二維坐標(biāo)系。為了方便描述，我們之后將把針孔相機(jī)模型對稱翻轉(zhuǎn)過來，如下圖所示，從數(shù)學(xué)的角度，它們是等價的。

由光心著光軸出發(fā)，像平面在上，是相機(jī)的物理焦距（單位：）。

點(diǎn)在空間中，在相機(jī)坐標(biāo)系下的位置是

點(diǎn)在像平面上，有兩個等價的位置描述：1. 在相機(jī)坐標(biāo)系下的位置是；2. 在CCD標(biāo)號坐標(biāo)系下的位置是。

在無鏡頭畸變的條件下，光心、點(diǎn)與點(diǎn)在一條直線上。

與是CCD單個像素在水平和豎直兩個方向上的尺寸（單位：/像素），因此定義焦距為（單位：像素）。

CCD標(biāo)號坐標(biāo)系原點(diǎn)到光軸的偏移量為（單位：像素）。根據(jù)相似三角形關(guān)系，可以得出：

(1) 二維CCD標(biāo)號坐標(biāo)二維CCD像素坐標(biāo)建立CCD像面上的點(diǎn)標(biāo)號坐標(biāo)與物理坐標(biāo)之間關(guān)聯(lián)，由于像平面在上，可省略。

(2) 像點(diǎn)的二維像素坐標(biāo)物點(diǎn)的三維空間中的坐標(biāo)建立CCD像面上像點(diǎn)物理坐標(biāo)與對應(yīng)的三維空間中物點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)聯(lián)。

(3) 像點(diǎn)的二維CCD標(biāo)號坐標(biāo)物點(diǎn)的三維空間中的坐標(biāo)連接(1)和(2)的兩個關(guān)聯(lián)，也是實(shí)際進(jìn)行標(biāo)定得到參數(shù)

由以上三個關(guān)聯(lián)可以得到：像點(diǎn)標(biāo)號像點(diǎn)坐標(biāo)物點(diǎn)坐標(biāo)。

在OpenCV及Matlab標(biāo)定工具箱直接使用了(3)關(guān)聯(lián)，不需要知道CCD單個像素的尺寸，因此在標(biāo)定過程是得不到物理焦距的，只能得到像素焦距。

很容易發(fā)現(xiàn)，(3)關(guān)聯(lián)是不約束的，也就是說，針孔相機(jī)模型本身是欠定的，通過被點(diǎn)亮的CCD像素我們只能知道物點(diǎn)在射線上，但無法確定具體的點(diǎn)，所以我們講，針孔相機(jī)模型是一個射線方程模型，點(diǎn)的射線方程：

以上的關(guān)系是在無鏡頭畸變的條件下建立的，但是實(shí)際上存在鏡頭畸變，可以理解成像點(diǎn)和物點(diǎn)之間的光線是彎曲的，要得到射線模型，要進(jìn)行消除畸變。

(4) 補(bǔ)充消畸變模型

以像面中心像素坐標(biāo)為中心，像面上的點(diǎn)到中心的距離為

合成畸變其中：

徑向畸變

切向畸變

把消畸變模型補(bǔ)充進(jìn)針

孔相機(jī)模型，因此「像點(diǎn)標(biāo)號像點(diǎn)坐標(biāo)物點(diǎn)坐標(biāo)」被修正為：像點(diǎn)標(biāo)號像點(diǎn)坐標(biāo)物點(diǎn)坐標(biāo)消畸變后的射線方程是：

標(biāo)定針孔相機(jī)模型的參數(shù)

針孔相機(jī)模型中，只要確定這9個參數(shù)就可以唯一的確定針孔相機(jī)模型， ，這個過程就稱為「相機(jī)標(biāo)定」，其中前4個我們稱為內(nèi)參數(shù)，后5個稱為畸變參數(shù)，畸變參數(shù)是為了補(bǔ)充內(nèi)參的。所以一旦相機(jī)結(jié)構(gòu)固定，包括鏡頭結(jié)構(gòu)固定，對焦距離固定，我們就可以用這9個的參數(shù)去近似這個相機(jī)。這里說的「鏡頭結(jié)構(gòu)固定」，按我個人的理解，除了焦距固定之外，也應(yīng)當(dāng)包含光圈固定，因?yàn)楦淖児馊Φ拇笮。司吧钪猓怯锌赡芨淖冡樋紫鄼C(jī)模型中的光心位置，但是影響并不是很大。這意味著標(biāo)定好的相機(jī)如果改變光圈大小，會使得標(biāo)定誤差變大但應(yīng)該不會大到難以接受的地步。對于針孔相機(jī)本身需要擬合的方程如下：

其中 代表了畸變圖像和消畸變圖像之間的變換。因此，我們現(xiàn)在的任務(wù)就是找出一大堆具有對應(yīng)關(guān)系的像點(diǎn) 和物點(diǎn) 的點(diǎn)對作為樣本，來訓(xùn)練出模型的9個參數(shù) 。那么這里就引發(fā)了兩個問題：(1) 這么多像點(diǎn)和物點(diǎn)到底誰和誰是一對兒？(2) 即便我知道物點(diǎn)在哪里，可是我怎么樣用相機(jī)坐標(biāo)系來表達(dá)物點(diǎn)的位置 ?為了解決上述的兩個問題，標(biāo)定板應(yīng)運(yùn)而生。標(biāo)定板的第一大作用，確定物點(diǎn)和像點(diǎn)的對應(yīng)性。這里用到的原理主要是「透視不變性」，打個比方，你近看一個人和遠(yuǎn)看一個人，雖然他的鼻子大小變了，你看鼻子的視角也變了，但是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)肯定是不變的，你也不可能把鼻子看成是嘴巴。

所以在標(biāo)定板中，印刷了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，廣泛應(yīng)用的是棋盤格和圓點(diǎn)格，這兩種之所以成為主流，不僅是因?yàn)樗鼈兊耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu)明確且均勻，更重要的是檢測其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的算法簡單且有效。棋盤格檢測的是角點(diǎn)，只要對拍攝到的棋盤格圖像橫縱兩個方向計算梯度就可獲得；而圓點(diǎn)格的檢測只需要對拍攝到的圓點(diǎn)格圖樣計算質(zhì)心即可。假如你開發(fā)了一套非常完美的檢測人臉全部特征的算法，你完全可以用你的照片當(dāng)作標(biāo)定板。按照我的經(jīng)驗(yàn)，圓點(diǎn)格的效果應(yīng)該是好于棋盤格，因?yàn)閳A點(diǎn)質(zhì)心的「透視不變性」要比棋盤格的角點(diǎn)穩(wěn)定的多。下圖是同樣尺寸、同樣比例棋盤格和圓點(diǎn)在最大重投影誤差處的誤差對比，紅色十字是提取的角點(diǎn)/質(zhì)心，綠色圓圈是針孔相機(jī)模型計算出來認(rèn)為的角點(diǎn)/質(zhì)心位置。

下圖是棋盤格與圓點(diǎn)格的重投影誤差圖，顯然圓點(diǎn)格的重投影誤差的誤差空間要小。

但是圓點(diǎn)格的檢測似乎是Halcon的專利（存疑），因此OpenCV和Matlab標(biāo)定工具箱用的是棋盤格，要用圓點(diǎn)格得要自己寫算法。下文中提到的標(biāo)定板說的都是棋盤格。標(biāo)定板的第二大作用是把標(biāo)定板中的角點(diǎn)變換到相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo) 。對于標(biāo)定的初學(xué)者來說，很容易忽略的一點(diǎn)是標(biāo)定板是具有標(biāo)定板坐標(biāo)系的。換句話說，標(biāo)定板中的每個角點(diǎn)，在標(biāo)定板坐標(biāo)系下的位置是確定并且是已知的。

而標(biāo)定板坐標(biāo)系變換到相機(jī)坐標(biāo)系的變換矩陣，我們稱它的元素為外參數(shù)，所以在我眼中，相機(jī)標(biāo)定的外參根本就是標(biāo)定內(nèi)參的副產(chǎn)品，它會隨著標(biāo)定板的擺放不同而不同，由標(biāo)定板坐標(biāo)系變換到相機(jī)坐標(biāo)系的變換矩陣可以由下式表達(dá)：

其中， 稱為旋轉(zhuǎn)矩陣， 稱為平移矩陣，下表 代表board to camera。注意這個坐標(biāo)系的變換是一個線形變換，反應(yīng)到物理上講，這意味者標(biāo)定板必須盡可能的平，如果標(biāo)定板不平，這個變換就不是線形的了。我們把這個變換帶到原本要擬合的方程中去：

如此一來，我們就把能夠把CCD上拍攝的到角點(diǎn)的像素標(biāo)號 和每一個角點(diǎn)已知的在標(biāo)定板坐標(biāo)系下的坐標(biāo) 對應(yīng)起來，通過各種各樣的姿態(tài)作為樣本，訓(xùn)練出全部參數(shù) 。

至于參數(shù)訓(xùn)練的方法，最小二乘，極大似然估計等等，很容易找到相關(guān)的資料，在此不再贅述。如果用OpenCV或Matlab標(biāo)定工具箱進(jìn)行標(biāo)定，需要給出棋盤格的物理尺寸，這其實(shí)就是在建立標(biāo)定板坐標(biāo)系，從測量的角度講，標(biāo)定板的精度是相機(jī)標(biāo)定精度的基準(zhǔn)，是誤差傳遞鏈上的第一個環(huán)節(jié)。所以為了使針孔相機(jī)模型更逼近真實(shí)相機(jī)，對標(biāo)定板的質(zhì)量有以下要求（按重要性順序）：

標(biāo)定板的平面度高，棋盤格是直角；

標(biāo)定板每個格子尺寸的高一致性；

真實(shí)尺寸與標(biāo)稱尺寸的差異小。

向祖師爺張正友致敬。