RC積分器是一個(gè)串聯(lián)RC網(wǎng)絡(luò)，產(chǎn)生一個(gè)輸出信號(hào)，對(duì)應(yīng)于積分的數(shù)學(xué)過程。

對(duì)于無源RC積分電路，輸入連接到電阻輸出電壓取自電容器，與 RC微分電路完全相反。輸入為高電容時(shí)電容充電，輸入電壓低時(shí)放電。

在電子產(chǎn)品中，基本串聯(lián)電阻 - 電容（RC）電路有許多用途和應(yīng)用，從基本充電/放電電路到高階濾波器電路。這個(gè)雙組分無源RC電路可能看起來很簡(jiǎn)單，但根據(jù)所施加輸入信號(hào)的類型和頻率，這個(gè)基本RC電路的行為和響應(yīng)可能會(huì)有很大差異。

無源RC網(wǎng)絡(luò)是只不過是與電容器串聯(lián)的電阻器，它是與電容器串聯(lián)的固定電阻，該電容器具有頻率相關(guān)的電抗，隨著其板上的頻率增加而減小。因此，在低頻時(shí)，電容的電抗Xc很高，而在高頻時(shí)，由于Xc = 1 /（2πC）的標(biāo)準(zhǔn)電容電抗公式，其電抗很低，我們?cè)陉P(guān)于被動(dòng)的教程中看到了這種效應(yīng)低通濾波器。

如果輸入信號(hào)是正弦波，rc積分器將簡(jiǎn)單地用作其切割之上的簡(jiǎn)單低通濾波器（LPF）截止點(diǎn)或轉(zhuǎn)角頻率對(duì)應(yīng)于串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的RC時(shí)間常數(shù)（tau，τ）。因此，當(dāng)用純正弦波饋電時(shí)，RC積分器充當(dāng)無源低通濾波器，將其輸出降低到截止頻率點(diǎn)之上。

正如我們之前所見，RC時(shí)間常數(shù)反映了這種關(guān)系電阻和電容之間的時(shí)間與時(shí)間的關(guān)系，以秒為單位，與電阻R和電容C成正比。

因此，充電或放電的速率取決于RC時(shí)間常數(shù)，τ= RC 。考慮下面的電路。

RC積分器

對(duì)于RC積分電路，輸入信號(hào)通過電容器輸出電阻，然后V OUT 等于V C 。由于電容器是頻率相關(guān)元件，所以在板上建立的電荷量等于電流的時(shí)域積分。也就是說，電容器需要一定的時(shí)間才能完全充電，因?yàn)殡娙萜鞑荒芰⒓匆灾笖?shù)方式充電。

因此電容器電流可寫為：

上面 i C = C（dVc / dt）的基本等式可以也可以表示為電荷的瞬時(shí)變化率，Q相對(duì)于時(shí)間給出以下標(biāo)準(zhǔn)公式： i C = dQ / dt 其中電荷 Q = C x Vc ，即電容乘以電壓。

電容器充電（或放電）的速率與電阻和電容量成正比，給出時(shí)間常數(shù)電路。因此，RC積分電路的時(shí)間常數(shù)是等于R和C乘積的時(shí)間間隔。

由于電容等于電荷的Q / Vc，Q是電流的流量（i ）隨著時(shí)間的推移（t），這是庫(kù)侖中的ixt的乘積，并且從歐姆定律我們知道電壓（V）等于ix R，將這些代入RC時(shí)間常數(shù)的等式得出：

RC時(shí)間常數(shù)

然后我們可以看到，當(dāng)i和R都取消時(shí)，只剩下T指示RC積分器電路的時(shí)間常數(shù)具有以秒為單位的時(shí)間維度，給出希臘字母tau，τ。請(qǐng)注意，此時(shí)間常數(shù)反映了電容器充電至最大電壓的63.2％或放電至最大電壓的36.8％所需的時(shí)間（以秒為單位）。

電容器電壓

我們之前說過，對(duì)于RC積分器，輸出等于電容器兩端的電壓，即： V OUT 等于V C 。該電壓與電荷成正比，Q存儲(chǔ)在電容上，由下式給出：Q = VxC。

結(jié)果是輸出電壓是輸入電壓的積分，積分量取決于R和C的值以及因此網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù)。

我們?cè)谏厦婵吹诫娙萜麟娏骺梢员硎緸殡姾勺兓蔘相對(duì)于時(shí)間。因此，根據(jù)微積分的基本規(guī)則，Q相對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是dQ / dt，并且當(dāng)i = dQ / dt時(shí)，我們得到以下關(guān)系：

Q =∫idt （電容器在任何時(shí)刻的電荷Q）

由于輸入連接到電阻器，相同的電流，我必須通過電阻器和電容器（i R = i C ）在電阻器兩端產(chǎn)生V R 電壓降，因此電流（i）流過這個(gè)系列的RC網(wǎng)絡(luò)如下：

因此：

當(dāng)i = V IN / R時(shí)，替換和重新排列以求解V OUT 作為時(shí)間的函數(shù)給出：

換句話說，RC積分電路的輸出，即電容兩端的電壓等于時(shí)間積分輸入電壓V IN 加權(quán)1 / RC的常數(shù)。其中RC表示時(shí)間常數(shù)，τ。

然后假設(shè)電容器上的初始電荷為零，即V OUT = 0，并且輸入電壓V IN 是恒定的，輸出電壓V OUT 在時(shí)域中表示為：

RC積分公式

因此RC積分電路是輸出電壓V OUT 與電路成正比的電路輸入電壓的積分，考慮到這一點(diǎn)，讓我們看看當(dāng)我們以階躍電壓的形式將單個(gè)正脈沖施加到RC積分電路時(shí)會(huì)發(fā)生什么。

單脈沖RC積分器

當(dāng)單級(jí)電壓脈沖施加到RC積分器的輸入端時(shí)，電容器會(huì)響應(yīng)脈沖通過電阻充電。然而，輸出不是瞬間的，因?yàn)殡娙萜鲀啥说碾妷翰粫?huì)瞬間改變，而是隨著電容器以RC時(shí)間常數(shù)τ= RC確定的速率充電而呈指數(shù)增長(zhǎng)。

我們現(xiàn)在知道電容器充電或放電的速率取決于電路的RC時(shí)間常數(shù)。如果施加理想的階躍電壓脈沖，即前沿和后沿被認(rèn)為是瞬時(shí)的，則電容器兩端的電壓將隨充電而增加，并隨著時(shí)間的推移而逐漸減小，其速率由下式確定：

電容器充電

電容器放電

因此，如果我們假設(shè)電壓為1伏（1V），我們可以繪制每個(gè)R時(shí)間常數(shù)的電容充電或放電百分比，如下表所示。

請(qǐng)注意，在5個(gè)時(shí)間常數(shù)或以上，電容被認(rèn)為是100％完全充電或完全放電d。

現(xiàn)在我們假設(shè)我們有一個(gè)RC積分器電路，由一個(gè)100kΩ電阻和一個(gè)1uF電容組成，如圖所示。

RC積分電路示例

因此，RC積分電路的時(shí)間常數(shù)τ為：RC =100kΩx1uF= 100ms。

所以如果我們將一個(gè)階躍電壓脈沖施加到輸入端，其持續(xù)時(shí)間為兩個(gè)時(shí)間常數(shù)（200mS），那么從上表我們可以看出電容器將充電到其完全充電值的86.4％。如果此脈沖的幅度為10伏，那么這相當(dāng)于8.64伏，然后當(dāng)輸入脈沖返回到零時(shí)電容器再次通過電阻器放電回到源。

如果我們假設(shè)電容器是允許在5個(gè)時(shí)間常數(shù)的時(shí)間內(nèi)完全放電，或者在下一個(gè)輸入脈沖到達(dá)之前500mS，然后充電和放電曲線圖如下所示：

RC積分器充電/放電曲線

請(qǐng)注意，電容器的初始值為8.64伏（2個(gè)時(shí)間常數(shù)），而不是從10伏輸入開始。

然后我們可以看到，當(dāng)RC時(shí)間常數(shù)固定時(shí)，輸入脈沖寬度的任何變化都會(huì)影響RC積分電路的輸出。如果脈沖寬度增加且等于或大于5RC，則輸出脈沖的形狀將與輸入的形狀類似，因?yàn)檩敵鲭妷哼_(dá)到與輸入相同的值。

If然而，脈沖寬度減小到5RC以下，電容器只會(huì)部分充電而沒有達(dá)到最大輸入電壓，導(dǎo)致輸出電壓變小，因?yàn)殡娙萜鞑荒艹潆姡瑢?dǎo)致輸出電壓與輸入電壓的積分成正比。

因此，如果我們假設(shè)輸入脈沖等于一個(gè)時(shí)間常數(shù)，即1RC，則電容器將在0伏特和10伏特之間充電和放電，但是在電容器兩端的電壓的63.2％和38.7％之間。更改。請(qǐng)注意，這些值由RC時(shí)間常數(shù)確定。

固定RC積分器時(shí)間常數(shù)

因此，對(duì)于連續(xù)脈沖輸入，輸入的周期時(shí)間與電路的RC時(shí)間常數(shù)之間的正確關(guān)系，輸入的積分將產(chǎn)生一種斜升，然后是斜降輸出。但是為了使電路作為積分器正常工作，與輸入周期時(shí)間相比，RC時(shí)間常數(shù)的值必須很大。這是RC？T，通常是10倍。

這意味著輸出電壓的大小（與1 / RC成比例）在高壓和低壓之間將非常小，從而嚴(yán)重削弱輸出電壓。這是因?yàn)殡娙萜髟诿}沖之間充電和放電的時(shí)間要少得多，但平均輸出直流電壓將增加到輸入的一半，在上面的脈沖示例中，這將是5伏（10/2）。

RC積分器作為正弦波發(fā)生器

我們已經(jīng)看到， RC積分器電路可以通過施加脈沖輸入來執(zhí)行積分操作，從而產(chǎn)生斜坡由于電容器的充電和放電特性，輸出和降低三角波輸出。但是如果我們改變過程并對(duì)輸入應(yīng)用三角波形會(huì)發(fā)生什么呢？我們會(huì)得到脈沖波或方波輸出嗎？

當(dāng)RC積分電路的輸入信號(hào)是脈沖形輸入時(shí)，輸出是三角波。但是當(dāng)我們應(yīng)用三角波時(shí)，由于斜坡信號(hào)隨時(shí)間的積分，輸出變?yōu)檎也ā?/p>

有許多方法可以產(chǎn)生正弦波形，但是一種簡(jiǎn)單而廉價(jià)的電子方式產(chǎn)生正弦波型波形是使用一對(duì)串聯(lián)連接在一起的無源RC積分電路，如圖所示。

正弦波RC積分器

這里，第一個(gè)RC積分器將原始脈沖整形輸入轉(zhuǎn)換為斜升和斜降三角波形，該波形成為第二個(gè)RC積分器的輸入。第二個(gè)RC積分電路將三角波的點(diǎn)對(duì)齊，將其轉(zhuǎn)換為正弦波，因?yàn)樗行У貙?duì)原始輸入信號(hào)進(jìn)行雙積分，RC時(shí)間常數(shù)影響積分程度。

由于斜坡的積分產(chǎn)生正弦函數(shù)（基本上是舍入三角波形），其以赫茲為單位的周期頻率將等于原始脈沖的周期T.另請(qǐng)注意，如果我們反轉(zhuǎn)此信號(hào)并且輸入信號(hào)是正弦波，則該電路不會(huì)充當(dāng)積分器，而是作為具有正弦波的簡(jiǎn)單低通濾波器（LPF），純波形不會(huì)改變形狀，只有它的幅度受到影響。

RC積分器摘要

我們?cè)谶@里看到RC積分器基本上是一個(gè)串聯(lián)RC低通濾波器電路，當(dāng)施加階躍電壓脈沖時(shí)其輸入產(chǎn)生的輸出與其輸入的積分成比例。這產(chǎn)生了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)公式： Vo =∫Vi dt 其中Vi是饋送到積分器的信號(hào)，Vo是積分輸出信號(hào)。

輸入階躍函數(shù)的積分產(chǎn)生類似三角斜坡函數(shù)的輸出，其幅度小于原始脈沖輸入的幅度，衰減量由時(shí)間常數(shù)確定。因此，輸出波形的形狀取決于電路的時(shí)間常數(shù)與輸入脈沖的頻率（周期）之間的關(guān)系。

RC積分器時(shí)間常數(shù)總是與周期T相比較輸入，因此較長(zhǎng)的RC時(shí)間常數(shù)將產(chǎn)生與輸入信號(hào)相比具有低幅度的三角波形狀，因?yàn)殡娙萜骶哂休^少的完全充電或放電時(shí)間。短時(shí)間常數(shù)使電容器有更多的時(shí)間進(jìn)行充電和放電，從而產(chǎn)生更典型的圓形形狀。

通過將兩個(gè)RC積分電路并聯(lián)連接，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入脈沖的雙重積分。這種雙重積分的結(jié)果是第一積分電路將階躍電壓脈沖轉(zhuǎn)換成三角波形，第二積分電路通過舍入三角波形的點(diǎn)來轉(zhuǎn)換三角波形，產(chǎn)生正弦波輸出波形，大大減少振幅。