Sallen-Key濾波器拓?fù)溆米鲗?shí)現(xiàn)更高階有源濾波器的構(gòu)建塊

Sallen和Key Filter設(shè)計(jì)是一個(gè)二階有源濾波器拓?fù)洌覀兛梢杂米鲗?shí)現(xiàn)高階濾波器電路的基本構(gòu)建模塊，如低通濾波器（LPF），高通濾波器（HPF）和帶通濾波器電路。

As我們已經(jīng)在這個(gè)濾波器部分看到，無(wú)源或有源電子濾波器用于僅在有限頻率范圍內(nèi)需要信號(hào)幅度的電路中。使用 Sallen-Key濾波器設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)在于它們易于實(shí)現(xiàn)和理解。

Sallen和Key拓?fù)涫且环N基于單個(gè)非反相的有源濾波器設(shè)計(jì)運(yùn)算放大器和兩個(gè)電阻，從而創(chuàng)建一個(gè)壓控電壓源（VCVS）設(shè)計(jì)，具有濾波器特性，高輸入阻抗，低輸出阻抗和良好的穩(wěn)定性，因此允許單獨(dú)的Sallen鍵濾波器部分級(jí)聯(lián)到一起產(chǎn)生更高階的濾波器。

但在我們看一下 Sallen-key濾波器的設(shè)計(jì)和操作之前，讓我們首先提醒自己一個(gè)電阻器 - 電容器的特性，當(dāng)受到一系列輸入頻率時(shí)，RC網(wǎng)絡(luò)或RC網(wǎng)絡(luò)。

分壓器

當(dāng)兩個(gè)（或更多）電阻器在一個(gè)直流電源電壓上連接在一起時(shí)，不同的電壓值將是在每個(gè)電阻器上產(chǎn)生，產(chǎn)生基本上稱(chēng)為分壓器或壓電器的電阻器分壓器網(wǎng)絡(luò)。

電阻分壓器

所示基本電路由兩個(gè)串聯(lián)電阻串聯(lián)電壓， V IN 。

歐姆定律告訴我們電阻上的電壓降是電流的總和流經(jīng)它的電阻值乘以電阻值V = I * R，所以如果兩個(gè)電阻相等，那么兩個(gè)電阻上的電壓下降， R1 和 R2 也會(huì)在電阻 R2 之間產(chǎn)生或下降的電壓代表輸出電壓， V OUT

span>由兩個(gè)電阻和輸入電壓的比值給出。因此，這個(gè)簡(jiǎn)單的分壓器網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)如下：

電阻分壓器傳遞函數(shù)

但是如果我們將輸入電壓改為交流電源或信號(hào)并改變其頻率范圍，輸出電壓 V OUT 會(huì)發(fā)生什么。實(shí)際上沒(méi)什么，因?yàn)殡娮柰ǔ２皇茴l率變化（排除線(xiàn)繞）的影響，因此它們的頻率響應(yīng)為零，允許AC，Irms 2 * R電壓在電阻器上產(chǎn)生或下降與穩(wěn)態(tài)直流電壓相同。

RC分壓器

如果我們將電阻器 R1 更改為電容器， C 如圖所示，這將如何影響我們之前的傳遞函數(shù)。我們從有關(guān)電容器的教程中了解到，當(dāng)連接到直流電源時(shí)，電容的行為就像開(kāi)路一樣。

RC分壓器

因此，當(dāng)穩(wěn)態(tài)直流電源連接到 V IN 時(shí)，電容器將在5個(gè)時(shí)間常數(shù)（5T = 5RC）后充滿(mǎn)電，在這段時(shí)間內(nèi)，它不會(huì)從電源中吸取電流。因此沒(méi)有電流流過(guò)電阻器 R 并且沒(méi)有電壓降產(chǎn)生，因此沒(méi)有輸出電壓。換句話(huà)說(shuō)，電容器一旦充電就會(huì)阻止穩(wěn)態(tài)直流電壓。

如果我們現(xiàn)在將輸入電源改為交流正弦電壓，這個(gè)簡(jiǎn)單的RC電路的特性會(huì)完全隨著直流或恒定部分而變化。信號(hào)被阻止。所以現(xiàn)在我們正在分析頻域中的RC電路，這是信號(hào)中依賴(lài)于時(shí)間的部分。

在交流電路中，電容具有容抗電容電抗

b>，X C但我們?nèi)匀豢梢杂门c電阻電路相同的方式分析RC電路，區(qū)別在于電容器的阻抗現(xiàn)在取決于頻率。

對(duì)于交流電路和信號(hào)，容抗（ X C ），是對(duì)交替的反對(duì)電流以歐姆為單位流過(guò)電容器。電容電抗是頻率相關(guān)的，即在低頻率（??0）時(shí)電容表現(xiàn)得像開(kāi)路并阻塞它們

在非常高的頻率（??∞）下，電容表現(xiàn)得像一個(gè)短路，并將信號(hào)直接傳遞給輸出，因?yàn)?V OUT = V <子> IN 。然而，在這兩個(gè)極端頻率之間的某處，電容器具有由 X C 給出的阻抗。所以我們的上面的分壓器傳遞函數(shù)變?yōu)椋?/p>

因此頻率的變化會(huì)導(dǎo)致的變化X C ，這會(huì)導(dǎo)致輸出電壓幅度的變化。考慮下面的電路。

RC濾波電路

圖表顯示了頻率響應(yīng)這個(gè)簡(jiǎn)單的1 st - 階RC電路。在低頻時(shí)，電壓增益非常低，因?yàn)檩斎胄盘?hào)被電容器的電抗阻擋。在高頻時(shí)，電壓增益很高（單位），因?yàn)殡娍箷?huì)使電容器有效地成為這些高頻的短路，因此 V OUT = V IN

然而，變頻器的電抗等于電阻的電阻的頻率點(diǎn)，即： X C = R ，這稱(chēng)為“臨界頻率”點(diǎn)，或更常稱(chēng)為截止頻率，或轉(zhuǎn)角頻率? C。

當(dāng) X C = R時(shí)發(fā)生截止頻率用于計(jì)算此臨界頻率點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)公式如下：

截止頻率方程

截止頻率? C 定義電路在此示例中從衰減或阻塞以下所有頻率的位置變化， ? C 并開(kāi)始通過(guò)所有頻率ab ove ? C 點(diǎn)。因此，該電路稱(chēng)為“高通濾波器”。

截止頻率是輸入到輸出信號(hào)的比值為0.707，當(dāng)轉(zhuǎn)換為分貝時(shí)等于 - 3分貝。這通常被稱(chēng)為濾波器3dB下降點(diǎn)。

由于電容器的電抗與頻率有關(guān)，即容抗（ X C ）與施加的頻率成反比，我們可以修改上面的分壓器方程，得到這個(gè)簡(jiǎn)單的RC高通濾波器電路的傳遞函數(shù)，如圖所示。

RC濾波電路

RC濾波器的一個(gè)主要缺點(diǎn)是輸出幅度總是小于輸入，所以它永遠(yuǎn)不會(huì)大于1 。此外，更多RC級(jí)或電路對(duì)輸出的外部負(fù)載將對(duì)濾波器特性產(chǎn)生影響。解決此問(wèn)題的一種方法是通過(guò)在基本RC配置中添加運(yùn)算放大器將無(wú)源RC濾波器轉(zhuǎn)換為“有源RC濾波器”。

通過(guò)添加運(yùn)算放大器，基本RC濾波器可以是設(shè)計(jì)用于在其輸出端提供所需的電壓增益，從而將濾波器從衰減器改變?yōu)榉糯笃鳌４送猓捎谶\(yùn)算放大器的高輸入阻抗和低輸出阻抗，可以防止濾波器的外部負(fù)載，從而可以在很寬的頻率范圍內(nèi)輕松調(diào)節(jié)，而不會(huì)改變?cè)O(shè)計(jì)的頻率響應(yīng)。

考慮簡(jiǎn)單的有源下面的RC高通濾波器。

有源高通濾波器

RC濾波器電路的一部分響應(yīng)與上述相同，即通過(guò)高頻但阻擋低頻，截止頻率由R和C的值設(shè)定。運(yùn)算放大器或簡(jiǎn)稱(chēng)運(yùn)算放大器配置為非反相放大器，其電壓增益由兩個(gè)電阻的比率設(shè)定， R 1 和 R 2 。

然后非反相運(yùn)算放大器的通帶中的閉環(huán)電壓增益 A V 為：

截止頻率方程

RC濾波器示例No1

A簡(jiǎn)單的1 st 階有源高通濾波器要求截止頻率為500Hz，通帶增益為9dB。假設(shè)使用標(biāo)準(zhǔn)的741運(yùn)算放大器，計(jì)算所需的元件。

從上面我們已經(jīng)看到截止頻率? C 被確定通過(guò)頻率選擇RC電路中的 R 和 C 的值。如果我們假設(shè) R 的值為5kΩ（任何合理的值都可以），那么 C 的值計(jì)算如下：

C 的計(jì)算值為63.65nF，因此最接近的首選值為62nF。

通帶區(qū)域中高通濾波器的增益為+ 9dB，相當(dāng)于電壓增益， A V 為2.83。假設(shè)反饋電阻的任意值， R 1 為15kΩ，這給出了電阻 R 1 的值：

R 2 的計(jì)算值>是8197Ω。最接近的優(yōu)選值為8200Ω或8.2kΩ。然后，這為我們的有源高通濾波器示例提供了最終電路：

高通濾波器電路

我們已經(jīng)看到，可以使用單個(gè)電阻和電容產(chǎn)生一個(gè)簡(jiǎn)單的一階高通濾波器，產(chǎn)生一個(gè)截止頻率? C 輸出幅度從輸入幅度向下-3dB的點(diǎn)。通過(guò)向第一個(gè)RC濾波器級(jí)添加第二個(gè)RC濾波器級(jí)，我們可以將電路轉(zhuǎn)換為二階高通濾波器。

二階RC濾波器

最簡(jiǎn)單的二階RC濾波器由兩個(gè)RC部分組成，如圖所示。但是，為了使這種基本配置正常工作，兩個(gè)RC級(jí)的輸入和輸出阻抗不應(yīng)影響彼此的操作，即它們應(yīng)該是非相互作用的。

高通濾波器電路

將一個(gè)RC濾波器級(jí)與另一個(gè)（相同或不同的RC值）級(jí)聯(lián)，因?yàn)槊總€(gè)連續(xù)階段都不能很好地工作加載前一個(gè)RC級(jí)，當(dāng)添加更多RC級(jí)時(shí)，截止頻率點(diǎn)進(jìn)一步遠(yuǎn)離設(shè)計(jì)或要求的頻率。

克服無(wú)源濾波器設(shè)計(jì)這個(gè)問(wèn)題的一種方法是使用第二RC級(jí)的輸入阻抗至少比第一RC級(jí)的輸出阻抗大10倍。即 R B = 10 * R 1 和 C B = C A / 10 在截止頻率處。

將元件值增加10倍的優(yōu)點(diǎn)是得到的二階濾波器產(chǎn)生更陡峭的滾降比級(jí)聯(lián)RC級(jí)40dB /十倍。但是如果你想設(shè)計(jì)一個(gè)4 th 或6 th -order過(guò)濾器，那么計(jì)算十倍于前面組件的值可能是耗時(shí)且復(fù)雜的。

將RC過(guò)濾器級(jí)聯(lián)在一起的一種簡(jiǎn)單方法，它們不相互作用或相互加載以創(chuàng)建更高階的過(guò)濾器（各個(gè)過(guò)濾器部分不必相同），可以輕松調(diào)整和設(shè)計(jì)以提供所需的電壓增益是使用 Sallen-key Filter 階段。

Sallen和Key Filters

Sallen-Key是設(shè)計(jì)一階（1 st -order）的最常見(jiàn)過(guò)濾器配置之一和二階（2 nd - 階）濾波器，因此用作創(chuàng)建更高階濾波器的基本構(gòu)建塊。

Sallen-key的主要優(yōu)點(diǎn)過(guò)濾器設(shè)計(jì)是：

簡(jiǎn)潔和理解他們的基本設(shè)計(jì)

使用非反相用于提高電壓增益的放大器

一階和二階濾波器設(shè)計(jì)可以輕松級(jí)聯(lián)在一起

低通和高通階段可以一起級(jí)聯(lián)

每個(gè)RC級(jí)可以有不同的電壓增益

RC組件和放大器的復(fù)制

二階Sallen-key平臺(tái)比級(jí)聯(lián)RC具有陡峭的40dB /十倍滾降

然而，基本Sallen-key濾波器存在一些限制設(shè)計(jì)的原因是電壓增益 A V 和放大系數(shù) Q 由于在Sallen中使用運(yùn)算放大器而密切相關(guān)關(guān)鍵設(shè)計(jì)。幾乎任何大于0.5的 Q 值都可以實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槭褂梅欠聪嗯渲茫妷涸鲆?A V 將始終大于1，（單位）但必須小于3否則會(huì)變得不穩(wěn)定。

最簡(jiǎn)單的Sallen-key濾波器設(shè)計(jì)形式是使用相等的電容和電阻值（但C和R不是必須相等），運(yùn)算放大器配置為單位增益緩沖器，如圖所示。請(qǐng)注意，電容 R A 不再接地，而是為放大器提供正反饋路徑。

Sallen-key高通濾波器電路

被動(dòng)組件 C A ， R A ， C B 和 R B 形式二階頻率選擇電路。因此，在低頻時(shí)，電容 C A 和 C B 顯示為開(kāi)路，因此輸入信號(hào)被阻塞導(dǎo)致無(wú)輸出。在較高頻率下， C A 和 C B 在正弦輸入信號(hào)中顯示為短路，因此信號(hào)直接緩沖到輸出。

但是，在截止頻率點(diǎn)附近， C A 和 C B 與 R A 和 R B 的值相同，如上所述，通過(guò) C B 產(chǎn)生的正反饋提供電壓增益，并增加輸出信號(hào)放大率， Q 。

由于我們現(xiàn)在有兩組RC網(wǎng)絡(luò)，Sallen-Key濾波器的截止頻率的上述公式也被修改：

Sallen-key截止頻率方程

如果兩個(gè)串聯(lián)電容 C A 且 C B 相等（ C A = C B = C ）和兩個(gè)電阻器 R A 和 R B 也相等（ R A = R B = R ），然后上面的等式簡(jiǎn)化為原始截止頻率方程：

由于運(yùn)算放大器配置為單位增益緩沖器，即 A = 1 ，截止頻率? C 和 Q 完全相互獨(dú)立，從而實(shí)現(xiàn)更簡(jiǎn)單的濾波器設(shè)計(jì)。然后放大系數(shù) Q 計(jì)算如下：

因此對(duì)于統(tǒng)一-gain緩沖器配置，濾波器電路的電壓增益（ A V ）在截止頻率點(diǎn)等于0.5或-6dB（過(guò)阻尼），我們希望看到這個(gè)，因?yàn)樗且粋€(gè)二階濾波器響應(yīng)，為0.7071 * 0.7071 = 0.5。那就是-3dB * -3dB = -6dB。

然而，由于 Q 的值決定了濾波器的響應(yīng)特性，正確選擇了運(yùn)算放大器的兩個(gè)反饋電阻， R 1 和 R 2 ，允許我們選擇所需的通帶增益 A 對(duì)于選定的放大系數(shù)， Q 。

請(qǐng)注意，對(duì)于Sallen-key濾波器拓?fù)?，選擇 A 的值非常接近最大值3將導(dǎo)致高 Q 值。高 Q 將使濾波器設(shè)計(jì)對(duì)反饋電阻 R 1 和 R 2的容差變化敏感 。例如，將電壓增益設(shè)置為2.9（A = 2.9）將導(dǎo)致 Q 的值為10（1 /（3-2.9）），因此濾波器在周?chē)兊梅浅Ｃ舾? C 。

Sallen-key Filter Response

然后我們可以看到 Q 的值越低，Sallen和Key濾波器設(shè)計(jì)就越穩(wěn)定。雖然 Q 的高值會(huì)使設(shè)計(jì)不穩(wěn)定，但是增益非常高會(huì)產(chǎn)生負(fù) Q 會(huì)導(dǎo)致振蕩。

Sallen和Key Filter示例No2

設(shè)計(jì)具有以下特征的二階高通 Sallen和Key Filter 電路：? C = 200Hz 和 Q = 3

為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們假設(shè)兩個(gè)串聯(lián)電容 C A 和 C B 相等（ C A = C B = C ）并且兩個(gè)電阻 R A 和 R B 相等（ R A = R <子>乙 = R ）

R 的計(jì)算值為7957Ω，因此最接近的首選值為8kΩ。

對(duì)于 Q = 3 ，增益計(jì)算如下：

如果 A = 2.667 ，那么 R 1 / R <子> 2 = 1.667 如圖所示。

R 2的計(jì)算值 為5998Ω，因此最接近的首選值使用6000Ω或6kΩ。然后，這為我們的Sallen和Key高通濾波器示例提供了最終電路：

Sallen和Key High Pass濾波器

然后截止或轉(zhuǎn)角頻率為200Hz，通帶增益為2.667，截止頻率為8（2.667 * 3）時(shí)的最大電壓增益= 3，我們可以在下面的Bode圖中顯示這個(gè)二階高通Sallen和Key濾波器的特征。

Sallen和Key Filter Bode Plot

Sallen和Key Filter Summary

我們?cè)诒窘坛讨幸呀?jīng)看到Sallen-Key配置，也稱(chēng)為電壓控制，電壓源（VCVS）電路是最廣泛使用的濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，主要是因?yàn)槠湓O(shè)計(jì)中使用的運(yùn)算放大器可配置為單位增益緩沖器或非反相放大器。

基本的Sallen-key濾波器配置可用于實(shí)現(xiàn)不同的濾波器響應(yīng)，例如，Butterworth， Chebyshev，或貝塞爾正確選擇RC濾波器網(wǎng)絡(luò)?？梢允褂?R 和 C 的大多數(shù)實(shí)際值，記住對(duì)于特定的截止頻率點(diǎn)， R 和的值R 成反比。也就是說(shuō)， R 的值變小， C 變大，反之亦然。

Sallen-key是2 nd - 階濾波器設(shè)計(jì)，可以與其他RC階段級(jí)聯(lián)，以創(chuàng)建更高階的濾波器。多個(gè)濾波器級(jí)不需要相同，但可以各自具有不同的截止頻率或增益特性。例如，將低通階段和高通階段組合在一起以創(chuàng)建Sallen和Key帶通濾波器。

這里我們研究設(shè)計(jì)一個(gè)Sallen-key高通濾波器，但同樣的規(guī)則同樣適用于低通設(shè)計(jì)。電壓增益 A V 決定其響應(yīng)并由分壓電阻設(shè)置， R 1 和 R 2 記住電壓增益必須小于3否則，濾波器電路將變得不穩(wěn)定。