二進(jìn)制分?jǐn)?shù)使用與十進(jìn)制數(shù)相同的加權(quán)原則，除了每個二進(jìn)制數(shù)字使用base-2編號系統(tǒng)

我們知道十進(jìn)制（或 denary ）數(shù)字使用十進(jìn)制（基數(shù)為10）編號系統(tǒng)，其中十進(jìn)制數(shù)中的每個數(shù)字都允許采用0到9范圍內(nèi)的十個可能值中的一個。因此，沿著十進(jìn)制數(shù)從右向左移動，每個數(shù)字將它的值比其右邊的數(shù)字大十倍。

但是當(dāng)我們從右向左移動時，每個數(shù)字都比前一個數(shù)字大十倍，每個數(shù)字也可以是當(dāng)我們從左到右沿相反方向移動時，它比它的相鄰數(shù)字小十倍。

然而，一旦我們達(dá)到零（0）和小數(shù)點(diǎn)，我們不需要只停止，但可以繼續(xù)沿著數(shù)字從左到右移動，產(chǎn)生通常稱為分?jǐn)?shù)。

典型的分?jǐn)?shù)

這里以小數(shù)（或單數(shù)）數(shù)字為例，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)字（數(shù)字5）值為小數(shù)點(diǎn)左邊數(shù)字的十分之一（1/10或0.1）作為乘法值為1（1）的點(diǎn)（數(shù)字4）。

因此，當(dāng)我們從左到右移動數(shù)字時，每個后續(xù)數(shù)字將立即成為數(shù)字值的十分之一

然后十進(jìn)制編號系統(tǒng)使用位置或相對加權(quán)值的概念產(chǎn)生位置表示法，其中每個數(shù)字代表不同的加權(quán)值，取決于任何一側(cè)占據(jù)的位置小數(shù)點(diǎn)。

因此在標(biāo)準(zhǔn)的否定編號系統(tǒng)中數(shù)學(xué)上，這些值通常寫為：4 0 ，3 1 ，2 2 ，1 3 對于上面示例中小數(shù)點(diǎn)左邊的每個位置。同樣，對于小數(shù)點(diǎn)右邊的小數(shù)，數(shù)字的權(quán)重變得更負(fù)，給出：5 -1 ，6 -2 ，7 - 3 等。

因此我們可以看到標(biāo)準(zhǔn)十進(jìn)制系統(tǒng)中的每個數(shù)字都表示該數(shù)字內(nèi)該數(shù)字的大小或重量。那么任何十進(jìn)制數(shù)的值將等于其數(shù)字的總和乘以它們各自的權(quán)重，因此對于上面的示例：加權(quán)小數(shù)中的 N = 1234.567 10 格式也是相同的：

1000 + 200 + 30 + 4 + 0.5 + 0.06 + 0.007 = 1234.567 10

或者可以編寫以反映每個否定數(shù)字的權(quán)重：

（1×1000）+（2×100）+（3×10）+（4×1）+（ 5×0.1）+（6×0.01）+（7×0.001）= 1234.567 10

或甚至以多項式形式表示：

<跨度>（1×10 3 ）+（2×10 2 ）+（3×10 1 ）+（4 ×10 0 ）+（5×10 -1 ）+（6×10 -2 ）+（7×10 - 3 ）= 1234.567 10

我們也可以使用這種位置表示法的概念，其中每個數(shù)字代表不同的加權(quán)值取決于它在二進(jìn)制編號系統(tǒng)中占據(jù)的位置。這次的不同之處在于二進(jìn)制數(shù)系統(tǒng)（或簡稱二進(jìn)制數(shù)）是一個位置系統(tǒng)，其中數(shù)字的不同加權(quán)位置是2的冪（base-2）而不是10。

二進(jìn)制分?jǐn)?shù)

二進(jìn)制編號系統(tǒng)是base-2編號系統(tǒng)，只包含兩個數(shù)字，“0”或“1”。因此，二進(jìn)制數(shù)的每個數(shù)字可以取“0”或“1”值，其中0或1的位置表示其值或加權(quán)。但是我們也可以對小于1的值進(jìn)行二進(jìn)制加權(quán)，產(chǎn)生所謂的無符號小數(shù)二進(jìn)制數(shù)。

與小數(shù)小數(shù)類似，二進(jìn)制數(shù)也可以通過將二進(jìn)制數(shù)放入到無符號小數(shù)中來表示小數(shù)點(diǎn)的右邊或在這種情況下，二進(jìn)制點(diǎn)。因此，二進(jìn)制點(diǎn)右側(cè)的所有小數(shù)位具有各自的權(quán)重，其為2的負(fù)冪，從而產(chǎn)生二進(jìn)制分?jǐn)?shù)。換句話說，2的冪是負(fù)的。

因此對于二進(jìn)制點(diǎn)右邊的小數(shù)二進(jìn)制數(shù)，每個數(shù)字的權(quán)重變得更負(fù)，給出：2 -1 ，2 -2 ，2 -3 ，2 -4 ，依此類推。

二進(jìn)制分?jǐn)?shù)

等等

因此，如果我們采用0.1011的二進(jìn)制分?jǐn)?shù) 2 然后考慮每個數(shù)字的位置權(quán)重，給出其十進(jìn)制等值：

對于此示例，二進(jìn)制數(shù)0.1011 2 的小數(shù)部分轉(zhuǎn)換為0.6875 10 。

二進(jìn)制分?jǐn)?shù)示例No1

現(xiàn)在假設(shè)我們有以下二進(jìn)制數(shù)： 1101.0111 2 ，它的等效十進(jìn)制數(shù)是多少。

<跨度> 1101.0111 =（1×2 3 ）+（1×2 2 ）+（0×2 1 ）+（1×2 0 ）+（0×2 -1 ）+（1×2 -2 ）+（1×2 -3 ）+（1×2 -4 ）

<跨度> = 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 1/4 + 1/8 +16分之1

<跨度> = 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 13.4375 10

因此， 1101.0111 2 給出如下：13.4375 10

所以我們可以看到分?jǐn)?shù)二進(jìn)制數(shù)，即加權(quán)小于1的二進(jìn)制數(shù)（2 0 ），可以通過將2的冪的每次減少的二進(jìn)制加權(quán)因子連續(xù)除以2來轉(zhuǎn)換成它們的十進(jìn)制數(shù)當(dāng)量，同時記住2 0 等于1，

其他二元分?jǐn)?shù)實例

0.11 =（1×2 -1 ）+（1×2 - 2 ）= 0.5 + 0.25 = 0.75 <子> 10

<跨度> 11.001 =（1×2 1 ）+ （1×2 0 ）+（1×2 -3 ）= 2 + 1 + 0.125 = 3.125 <子> 10

<跨度> 1011.111 =（1×2 3 ）+（1×2 1 ）+（1×2 0 ）（1×2 -1 ）+（1×2 -2 ）+（1×2 -3 ）

=8+2+1+0.5+0.25+0.12 5 = 11.875 10

將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制分?jǐn)?shù)

使用a將小數(shù)部分轉(zhuǎn)換為小數(shù)二進(jìn)制數(shù)類似于我們用于整數(shù)的方法。但是，這個時間乘法用而不是用整數(shù)除法而不是用于進(jìn)位數(shù)的余數(shù)是十進(jìn)制數(shù)的小數(shù)部分的二進(jìn)制等價。

當(dāng)從十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制時，整數(shù)（正序從右到左）部分和十進(jìn)制數(shù)的小數(shù)（從左到右的部分）部分是單獨(dú)計算的。

對于數(shù)字的整數(shù)部分，二進(jìn)制等價通過連續(xù)地將（稱為連續(xù)除法）十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分重復(fù)地除以2（÷2），從最低有效位（LSB）到最高有效位（MSB）以相反的順序記錄剩余部分，直到找到該值變?yōu)椤?”，產(chǎn)生二進(jìn)制等價。

所以要找到十進(jìn)制整數(shù)的二進(jìn)制等值： 118 10

118 （除以2）= 59plus余數(shù)0（LSB）

59 （除以2）= 29plus剩余nder1（↑）

29 （除以2）= 14plus余數(shù)1（↑）

14 （除以2）= 7plus余數(shù)0（↑ ）

7 （除以2）= 3plus余數(shù)1（↑）

3 （除以2）= 1plus余數(shù)1（↑）

1 （除法by 2）= 0plus余數(shù)1（MSB）

然后二進(jìn)制當(dāng)量 118 10 因此： 1110110 2 ←（LSB）

通過連續(xù)乘法（稱為連續(xù)乘法）找到數(shù)字的小數(shù)部分將十進(jìn)制數(shù)的小數(shù)部分重復(fù)2（×2），以正向順序記錄進(jìn)位，直到該值變?yōu)椤?”，產(chǎn)生二進(jìn)制等價。

因此，如果乘法過程產(chǎn)生的產(chǎn)品更大如果乘法過程產(chǎn)生的產(chǎn)品小于“1”，則進(jìn)位為“1”進(jìn)位是“0”。

另請注意，如果連續(xù)的乘法過程似乎沒有朝向最終的零，則小數(shù)將具有無限長度或直到相等的位數(shù)已經(jīng)獲得，例如8位?；蛘?6位等等，具體取決于所需的精度。

所以要找到等效小數(shù)的二進(jìn)制分?jǐn)?shù)： 0.8125 10

0.8125 （乘以2）=1.625 = 0.625carry1（ MSB）

0.625 （乘以2）=1.25 = 0.25carry1（↓）

0.25 （乘以2）=0.50 = 0.5carry0（↓）

0.5 （乘以2）=1.00 = 0.0carry1（ LSB）

因此， 0.8125 10 的二進(jìn)制當(dāng)量是： 0.1101 2 ← （LSB）

我們可以使用上面的步驟仔細(xì)檢查這個答案，將二進(jìn)制分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成等效的十進(jìn)制數(shù)： 0.1101 = 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 0.8125 10

二進(jìn)制分?jǐn)?shù)示例No2

查找等效于以下十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制分?jǐn)?shù)： 54.6875

首先我們使用從上面的連續(xù)除法以正常方式將整數(shù)54轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

54 （除以2）= 27remainder0（LSB）

27 （除以2）= 13remainder1（↑）

13 （除以2）= 6rem ainder1（↑）

6 （除以2）= 3remainder0（↑）

3 （除以2）= 1remainder1（↑）

1 （除以2）= 0remainder1（MSB）

因此二進(jìn)制當(dāng)量因此， 54 10 ： 110110 2

接下來我們將小數(shù)部分轉(zhuǎn)換為0.6875使用連續(xù)乘法得到二進(jìn)制分?jǐn)?shù)。

0.6875 （乘以2）=1.375 = 0.375carry1（MSB）

0.375 （乘以2）=0.75 = 0.75carry0（↓）

0.75 （乘以2）=1.50 = 0.5carry1（↓）

0.5 （乘以2）=1.00 = 0.0carry1（LSB）

因此， 0.6875 10 的二進(jìn)制等效值是： 0.1011 2 ←（LSB）

因此二進(jìn)制等效的十進(jìn)制數(shù)： 54.6875 10 是 110110.1011 2

二元分?jǐn)?shù)摘要

我們在本教程中已經(jīng)看到二元分?jǐn)?shù)將任何小數(shù)部分轉(zhuǎn)換為等效的二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，我們必須將小數(shù)部分乘以小數(shù)部分，并將小數(shù)部分乘以2并記錄數(shù)字出現(xiàn)在二進(jìn)制點(diǎn)的左側(cè)。這個二進(jìn)制數(shù)字是進(jìn)位數(shù)字，總是為“0”或“1”。

然后我們必須將剩余的小數(shù)部分乘以2再次使用連續(xù)乘法重復(fù)上述序列直到分?jǐn)?shù)對于重復(fù)的二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，已經(jīng)減少到零或者已經(jīng)完成了所需的二進(jìn)制位數(shù)量。分?jǐn)?shù)由2的負(fù)冪表示。

對于混合十進(jìn)制數(shù)，我們必須執(zhí)行兩個單獨(dú)的運(yùn)算。小數(shù)點(diǎn)左邊的整數(shù)部分的連續(xù)除法和小數(shù)點(diǎn)右邊的小數(shù)部分的連續(xù)乘法。

請注意，混合十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分將始終具有精確值二進(jìn)制數(shù)等價，但小數(shù)部分可能不等，因為如果我們想要精確地表示小數(shù)部分，我們可以得到一個重復(fù)分?jǐn)?shù)，產(chǎn)生無限數(shù)量的二進(jìn)制數(shù)字。