1．所謂標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng):

⑴. 系統(tǒng)方塊圖：如圖4-1所示。

⑵.開環(huán)傳遞函數(shù)：
⑶．閉環(huán)傳遞函數(shù):

⑷．特征方程：

(5). 特征根：

２．以之根跡:

(1).時(shí):為兩相異實(shí)根。
(2).時(shí):為兩相等實(shí)根。
⑶．時(shí):為一對共軛復(fù)根。其實(shí)部始終為。虛部為。這意味著這些復(fù)根都集中在根平面上離虛軸處的垂直線上。

⑷．據(jù)上分析可畫出,如圖4-2所示,標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)之根跡（粗線）。

圖中：
× ……表示開環(huán)極點(diǎn)(0,-p)。
……表示開環(huán)零點(diǎn)(本例無)。
……表示閉環(huán)極點(diǎn)(sb)。
→……表示K的增長方向。
有了系統(tǒng)的根規(guī)跡圖，閉環(huán)極點(diǎn)在根平面上的分布就一目了然了。系統(tǒng)的性能也就有數(shù)了。

4.1.2 討論：

⒈ 此二階系統(tǒng)有兩條根跡,分別出發(fā)自開環(huán)極點(diǎn)0及-p。

⒉ 在0≤K＜p2/4即K增加時(shí),根跡向(-p/2,j0)點(diǎn)移動,位于負(fù)實(shí)軸上。對應(yīng)于系統(tǒng)過阻尼運(yùn)動，即兩相異負(fù)實(shí)根。

⒊ 當(dāng)K=p2/4時(shí)為兩相等負(fù)實(shí)根。對應(yīng)于系統(tǒng)臨界阻尼運(yùn)動。

⒋ 當(dāng)K＞p2/4時(shí)，為一對共軛復(fù)根。對應(yīng)于系統(tǒng)欠阻尼運(yùn)動，處于衰減振蕩。K越大，ωd越高。但由于σd=p/2=Constat，所以ts變化不大。對應(yīng)于 =p2/2,阻尼系數(shù)ξ=0.707, ωn=20.5P/2。

⒌ 由此根跡可看出系統(tǒng)的性能，隨K的變化而變化。

4.1.3 結(jié)語：

⒈ 根跡，是指系統(tǒng)特征方程D(s)=0的根sb (閉環(huán)極點(diǎn))，隨系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化的過程,在根平面上所形成的軌跡。從根跡圖，可以看出系統(tǒng)參量的變化,對系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在根平面上分布的影響。以及它們與系統(tǒng)性能的關(guān)系。

⒉ 理論上，隨便變動某參數(shù)，都可得到相應(yīng)的根跡。但最常用的是變化開環(huán)增益k，即K。其相應(yīng)的根跡謂常規(guī)根跡。

⒊ 上述二階系統(tǒng)的根跡，通過對D(s)=0求解sb ,而作出的。但對高階系統(tǒng)的求解，是很困難的。實(shí)際上，常根據(jù)根跡的一些數(shù)學(xué)性質(zhì)，用圖解的辦法，能較快地、大致地畫出滿足一定要求的根跡。現(xiàn)在,由于計(jì)算機(jī)的高度發(fā)展,有相應(yīng)的軟件,能很方便地、較精確地畫出系統(tǒng)的根跡。Matlab就是一個強(qiáng)有力的工具。