PID校正裝置（又稱PID控制器或PID調節器）是一種有源校正裝置，它是最早發展起來的控制策略之一，在工業過程控制中有著最廣泛的應用，其實現方式有電氣式、氣動式和液力式。與無源校正裝置相比，它具有結構簡單、參數易于整定、應用面廣等特點，設計的控制對象可以有精確模型，并可以是黑箱或灰箱系統。總體而言，它主要有如下優點：

（1）原理簡單，應用方便，參數整定靈活。

（2）適用性強。可以廣泛應用于電力、機械、化工、熱工、冶金、輕工、建材、石油等行業。

（3）魯棒性強。即其控制的質量對受控對象的變化不太敏感，這是它獲廣泛應用的最重要的一原因。因為在實際的受控對象，例如由于受外界的擾動時，尤其是外界負荷發生變化時，受控對象特性會發生很大變化，為得到良好的控制品質，必須經常改變控制器的參數，這在實際操作上是非常麻煩的；又如，由于環境的變化或設備的老化，受控對象模型的結構或參數均會發生一些不可知的變化，為保證控制質量，就應對控制器進行重新設計，這在有些過程中是不允許的。因此，如果控制器魯棒性強，則就無須經常改變控制器的參數或結構。

目前，基于PID控制而發展起來的各類控制策略不下幾十種，如經典的Ziegler-Nichols算法和它的精調算法、預測PID算法、最優PID算法、控制PID算法、增益裕量/相位裕量PID設計、極點配置PID算法、魯棒PID等。本節主要介紹PID控制器的基本工作原理及幾個典型設計方法。

6.5.1 PID控制器工作原理

典型PID電原理圖如圖6－11(b)中的有源遲后－超前校正裝置，圖6—26 則為它的控制結構框圖。

由圖6—26可見，PID控制器是通加對誤差信號e(t)進行比例、積分和微分運算，其結果的加權，得到控制器的輸出u(t)，該值就是控制對象的控制值。PID控制器的數學描述為：

(6-36)

式中u(t)為控制輸入，e(t)=r(t)-c(t)為誤差信號，γ(t)為輸入量，c(t)為輸出量。

下面對PID中常用的比例P、比例－積分PI、比例－微分PD和比例－積分－微分PID四種調節器作一簡要分析，從而對比例、微分和積分作用有一個初步的認識。

（一）比例調節器—比例的作用

比例調節器的傳遞函數Gc(S)=Kp，u(t)=Kp·e(t)，即在PID控制器中使Ti→∞，
Td→0 。

根據前面所學，為了提高系統的靜態性能指標，減少系統的靜態誤差，一個可行的辦法是提高系統的穩態誤差系數，即增加系統的開環增益。顯然，若使Kp增大，可滿足上述要求。然而，只有當Kp→∞ ，系統的輸出才能跟蹤輸入，而這必將破壞系統的動態性能和穩定性。

以一個三階系統為例。

一單位反饋系統的開環傳遞函數為： ，其根軌跡如圖6—27，當 時，系統將產生振蕩。同時從圖6—28閉環響應曲線也可以發現，當 增大時，系統穩態輸出增大，系統響應速度和超調量也增大， 時，系統產生等幅振蕩，已不穩定。可見，單純采用 來改善系統的性能指標是不合適的。

Prog6-5-1:

g=tf(1,[1,3,3,1]);p=[1:1:8];

for i=1:length(p)

g_c=feedback(p(i)*g,1);

step(g_c); hold on;

end

?figure; rlocus(g); axis('square');

?K=rlocfind(g)

Select a point in the graphics window

selected_point =

0 + 1.7427i

K = 8.1112

（二）比例積分調節器—積分的作用

在PID調節器中，當Td→0 時，控制輸出u(t)與e(t)具有如下關系：

(6-37)

首先，通過比較比例調節器和比例積分調節器可以發現，為使e(t)→0，在比例調節器中Kp→∞，這樣若|e(t)| 存在較大的擾動，則輸出u(t)也很大，這不僅會影響系統的動態性能，也使執行器頻繁處于大幅振動中；而若采用PI調節器，如果要求e(t)→0，則控制器輸出u(t)由∫e(t)dt/Ti 得到一個常值，從而使輸出c(t)穩定于期望的值。其次，從參數調節個數來看，比例調節器僅可調節一個參數Kp，而PI調節器則允許調節參數Kp 和Ti ，這樣調節靈活，也較容易得到理想的動、靜態性能指標。

但是，因Gc(Sd)=Kp(Tis+1/Tis) ，PI調節器歸根到底是一個遲后環節。根據前面介紹的遲后校正原理，在根軌跡法設計中，為避免相位遲后對系統造成的負面影響，零點-1/Ti靠近原點，即Ti足夠大；在頻域法設計中，也要求轉折頻率(1/Ti)<ωc且遠離 ωc。這表明在考慮系統穩定性時，Ti應足夠大。然而，若Ti太大，則PI調節器中的積分作用變小，會影響系統的靜態性能，同時，也會導致系統響應速度的變慢。此時可通過合理調節Kp和Ti 的參數使系統的動態性能和靜態性能均滿足要求。

對于比例調節器中的示例，利用如下的Matlab程序，可得到圖6－29的結果，顯然，采用PI控制，系統的穩態誤差為零；且當Ti的減少時，系統的穩定性變差；當Ti增加時，系統的響應速度變慢。

Function PI

G=tf(1,[1,3,3,1]);

Kp=1;Ti=[0.7:0.1:1.5];

for i=1:length(Ti)

Gc=tf(Kp*[1,1/Ti(i)],[1,0]); G_c=feedback(G*Gc,1);

step(G_c),hold on

end

axis([0,20,0,2])

(三）PD和PID調節器—微分的作用

當PID調節器的 時，校正裝置成為一個PD調節器，這相當于一個超前校正裝置，對系統的響應速度的改善是有幫助的。但在實際的控制系統中，單純采用PD控制的系統較少，其原因有兩方面，一是純微分環節在實際中無法實現，同時，若采用PD控制器，則系統各環節中的任何擾動均將對系統的輸出產生較大的波動，尤其對階躍信號。因此也不利于系統動態性能的真正改善。實際的PID控制器的傳遞函數如下式：

(6-38)

式中N一般大于10。顯然，當N→∞時，上式即為理想的PID控制器。

為考察PID控制器中微分環節的作用，可通過下面的Matlab程序對上例進行說明。令Kp、Td和Ti固定，N變化，研究近似微分對系統性能的影響。從圖6－30可以發現，當N＞10時，近似精度相當滿意。

綜合前面所述，PID控制器是一種有源的遲后－超前校正裝置，且在實際控制系統中有著最廣泛的應用。當系統模型已知時，可采用遲后－超前校正的設計方法。若系統模塊未知或不準確，則可后述方法進行設計。

Function PID

N=[100,1000,10000,1:10];

G=tf(1,[1,3,3,1]);

Kp=1;Ti=1;Td=1;

Gc=tf(Kp*[Ti*Td,Ti,1]/Ti,[1,0]);

G_c=feedback(G*Gc,1);step(G_c), hold on

for i=1:length(N)

mn=Kp*([Ti*Td,0,0]+conv([Ti,1],[Td/N(i),1]))/Ti;

cd=[Td/N(i),1,0]; Gc=tf(mn,cd);

G_c=feedback(G*Gc,1);

step(G_c)

end

axis([0,20,0,2])

6.5.2 Zieloger-Niclosls整定公式
Zieloger-Niclosls整定公式是一種針對帶有時延環節的一階系統而提出的實用經驗公式。此時，可將系統設定為如下形式：

(6-39)

在實際的控制系統中，大量的系統可用此模型近似，尤其對于一些無法用機理方法進行建模的系統，可用時域法和頻域法對模型參數進行整定。

（一）基于時域響應曲線的整定
基于時域響應的PID參數整定方法有兩種。

第一法：設想對被控對象(開環系統)施加一個階躍信號，通過實驗方法，測出其響應信號，如圖6－31，則輸出信號可由圖中的形狀近似確定參數k,L和T（或α），其中
α=kL/T。如果獲得了參數k,L和T（或α）后，則可根據表6－1確定PID控制器的有關參數。

第二法：設系統為只有比例控制的閉環系統，則當Kp增大時，閉環系統若能產生等幅振蕩，如圖6－32，測出其振幅Kp'和振蕩周期P' ,然后由表6－1整定PID參數。

當然上述二法亦適用于系統模型已知的系統。但是此二法在應用中也有約束，因為許多系統并不與上述系統匹配，例如第一法無法應于開環傳遞中含積分項的系統，第二法就無法直接應用于二階系統。如G0(S)=200/s(s+4)就無法利用Zieloger-Niclosls法進行整定。

下面舉例說明上述整定方法。

例6－10 一伺服系統的開環傳遞函數為：

，要求設計一個控制器使系統的穩態位置誤差為零。

解：采用Zieloger-Niclosls整定公式第一法。

（１） 根據原開環系統的傳遞函數，利用Matlab繪制其階躍響應曲線如圖6－33。

g=tf(10,conv([1,1],conv([1,2],conv([1,3],[1,4]))));

step(g); k=dcgain(g)

k=

0.4167

（２） 由圖可近似得到一階延遲系統的參數，

若由高階近似一階的方法，亦可得到

。由此可得到PI和PID控制器的參數：

（A） PI控制器：

，其控制器：

（B） PID控制器：

，其控制器：

（３） 系統閉環傳遞函數及其階躍響應如下：

1.8947

G_c1(s)= ----------------------------------------------

(s^2 + 0.7215s + 3.457) (s^2 + 9.279s + 24.85)

55.7053 (s+0.4386)

G_c2(s)= --------------------------------------------------------

(s+0.3735) (s^2 + 0.5561s + 2.773) (s^2 + 9.07s + 23.59)

68.4 (s+1.316)^2

G_c3(s)=------------------------------------------------------

(s+6.827) (s^2 + 2.6s + 1.711) (s^2 + 0.5727s + 10.14)

從上圖可以發現，單純采用比例校正，系統存在靜態誤差；采用PID比采用PI校正響應速度快，但存在較大的超調量，為此可改用修正的PID控制器。本例程序清單如下：

function zn4 %demonstrate with time PID method 1

g=tf(10,conv([1,1],conv([1,2],conv([1,3],[1,4]))));

step(g); k=dcgain(g);

L=0.76;T=1.96;

alpha=k*L/T;

Kp=1/alpha;

gc1=tf(Kp,1)

g_c1=feedback(gc1*g,1);

zpk(g_c1)

step(g_c1); hold on

Kp=0.9/alpha;Ti=3*L;

gc2=tf(Kp*[1,1/Ti],[1,0])

g_c2=feedback(gc2*g,1);

zpk(g_c2)

step(g_c2)

Kp=1.2/alpha;Ti=2*L;Td=L/2;

gc3=tf(Kp*[Ti*Td,Ti,1]/Ti,[1,0])

g_c3=feedback(gc3*g,1);

zpk(g_c3)

step(g_c3)

例6－11 有一系統的開環傳遞函數為： ，要求設計一個控制器使系統的穩態速度誤差為零。

解：由于系統開環中存在積分環節，無法采用第一法。因而采用Zieloger-Niclosls整定公式第二法。

（１） 首先，令，則閉環系統的傳遞函數為：

通過Ruth判據容易得到當 時，閉環系統產生持續等幅振蕩。使用Matlab中rltool命令，并增加極點： 在根軌跡與虛軸交界處點擊可得到同樣結果。如圖6－35。

（２） 根據Z－N第二整定法，即可分別得到PI和PID控制器的參數：

（A）PI控制器： 。

（B） PID控制器：

。

（３） 根據上面設計的控制器，分別得到其相應的閉環系統：

13.5 (s+0.4292)

G_c1(s)=-----------------------------------------------------------

(s+5.502) (s+0.4683) (s^2 + 0.02925s + 2.248)

6.3 (s+1.429)^2

G_c2(s)=------------------------------------------

(s+4.139) (s+1.122) (s^2 + 0.739s + 2.769)

（A）

function zn1

g=tf(1,conv([1,0],conv([1,1],[1,5])));

kp=13.5;Ti=2.33

gc1=tf(kp*[Ti,1]/Ti,[1,0])

g_c1=feedback(gc1*g,1)

zpk(g_c1)

step(g_c1)

（B）

function zn2

g=tf(1,conv([1,0],conv([1,1],[1,5])));

kp=18;Ti=1.4;Td=0.35;

gc2=tf(kp*[Ti*Td,Ti,1]/Ti,[1,0]);

g_c2=feedback(gc2*g,1);

zpk(g_c2)

step(g_c2)

（４） 根據校正后的階躍響應曲線圖6－36可以發現，對本題采用PID效果比PI要好。若要得到更好的效果，可在此基礎上調整PID參數。

（二）基于頻域法的整定
如果實驗數據是由頻率響應得到的，則可先畫出其對應的Nyquist圖，如圖6－37，從圖中可以容易得到系統的剪切頻率ωc與系統的極限增益Kc ，若令Tc=2π/ωc ，同樣我們從表6－2給出的經驗公式可以得到PID控制器對應的參數。事實上，此法即時域法的第二法。

在使用Matlab進行設計時，由開環傳遞函數獲取系統的極限增益Kc和剪切頻率ωc ，即[Kc,pp,wc,wp]=margin(g),然后由上節步驟進行設計。

表6－2　Z－N頻域整定法1/Kc